дадена проста функция от тригонометрията = Sin (х) е диференцируема във всяка точка на целия домейн.Необходимо е да се докаже, че производната на синуса на всеки аргумент е косинус на същия ъгъл, това е, "= Cos (х).
доказателство се основава на определението за дериватив
Дефинирайте х (произволна) в малък квартал на определена точка от х x0 △.Ние показваме стойността на дадена функция в нея, и в точка х да намерите нарастване на определения функция.Ако △ х - нарастване на аргумента, тогава нов аргумент - е x0 + Δx = х, стойността на тази функция при дадена стойност на аргумента у (х) е Sin (x0 + Δx), стойността на функция в определена точка в (x0) е известен също.
Сега имаме Δu = Sin (X0 + △ х) -Sin (x0) - получи функцията за увеличение.
Според формулата на синусова сума от две неравни ъгли ще конвертира разликата Δu.
Δu = Sin (x0) · Cos (△ х) + Cos (x0) · Sin (Δx) минус Sin (x0) = (Cos (Δx) -1) · Sin (x0) + Cos (x0) · Sin (△ х).
смяна на термини групирани първия до третия грях (x0), проведено на общ фактор - задължително - конзолите.Имаме да изразя разликата Cos (△ х) -1.Ти си променя знака на скобата и в скоби.Знаейки това, което е на 1-во Cos (△ х), ние правим промяната и да получат опростена изразяване Δu, които след това се разделя на х △.
Δu / △ х е от вида: Cos (x0) · Sin (△ х) / △ х 2 · Sin2 (0,5 · △ х) · Sin (x0) / △ х.Това е съотношението на функцията за увеличение на довода предположения увеличение.
остава да се намери на границата на съотношенията, получени от нас по време Лим △ х клони към нула.
известно, че ограничение Sin (△ х) / Δx е равно на 1, за дадено състояние.И словото 2 · Sin2 (0,5 · △ х) / △ х на получената сума частния трансформацията на продукт, съдържащ като първата забележителна граница фактор: числителя на фракция и znemenatel разделете на 2, на площада на синуса замени продукта.Така че:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
граница на този израз като △ х клони към нула, броят е равен на нула (1 умножено по 0).Оказва се, че границата на съотношението Δy / △ х е равно на Cos (x0) · 1-0, това е Cos (x0), израз, който не зависи от △ х, с тенденция към 0. Оттук и изводът: производната на синуса на всеки ъгъл х е равно на косинус от хпишем така: "= Cos (х).
Тази формула в таблицата на известни производни, където всички елементарни функции
Когато решават задачи, където той отговаря на производната на синуса, които можете да използвате правилата на диференциация и готови формули от масата е вписана.Например, за да се намери производната на една проста функция у = 3 · Sin (х) -15.Ние използваме най-основните правила за диференциране, премахването на цифровата фактор за знака на производната и производно изчисляване постоянна номер (той е нула).Нанесете таблична стойност на производната на синуса на ъгъла х равно Cos (х).Ние получите отговор: у '= 3 · Cos (х) -О.Това производно, от своя страна, също е една елементарна функция у = G · Cos (х).
производно на синуса на квадрат на всеки аргумент
При изчисляване на израза (Sin2 (х)), което трябва да запомните как да се направи разграничение на сложна функция.Така че, Sin2 = (х) - е експоненциална функция като задължително квадрат.В него аргумент е и тригонометрични функции, сложен аргумент.Резултатът в този случай е продукт на първия фактор е производната на площада на сложен аргумент, а вторият - производно на синусите.Ето правилото за диференциране функция на функция: (U (V (х))) се (U (V (х))) "· (V (X)).Expression о (х) - комплекс аргумент (вътрешна функция).Ако дадена функция е "у е равно на синус квадрат X", производното на съставно функция е у = 2 · Sin (X) · Cos (X).Продуктът на първия фактор се удвоява - известно производно на функция власт и Cos (х) - производно на синуса на аргумента на комплекс квадратна функция.Крайният резултат може да се превърне с помощта на формулата на тригонометрични синуса на ъгъла двойно.A: The производно е Sin (2 · х).Тази формула е лесна за запомняне, то често се използва като маса.
