метод проста итерация, наричан също метода на последователни приближения - математически алгоритъм за намиране на стойностите на неизвестните количества, като постепенно го изясни.Същността на този метод е, че, както подсказва името, постепенно изразяване първоначална приблизителна сума на последващи такива, стават все по-рафинирани резултати.Този метод се използва за намиране на стойността на дадена променлива в дадена функция, както и решаване на системи уравнения, линейни, така и нелинейни.
Помислете как този метод се прилага при решаването на линейни системи.Начин на прост алгоритъм итерация е както следва:
1. Проверете състоянието на конвергенцията в оригиналната матрица.Теоремата за конвергенция ако първоначалната матрица система има диагонал доминантност (т.е., всеки ред от основните диагоналните елементи трябва да бъде по-голяма по размер от сумата на диагоналните елементи от страна на модула), метода на проста итерация - конвергентна.
2. матрицата на оригиналната система не винаги е диагоналната доминация.В такива случаи, системата може да конвертира.Формулите, които отговарят на условието за сближаване се оставят непокътнати, но с незадоволителен правят линейни комбинации, т.е.размножават, се изважда, добавите до уравненията заедно, за да получите желания резултат.
Ако получената система в главното диагонални коефициентите са неудобни, а след това и за двете страни на това уравнение се добавя по форма CI * XI в, знаци, които трябва да съвпада с признаците на диагоналните елементи.
3. Конвертиране получената система към нормален изглед:
x- = β- + α * х-
Това може да стане по много начини, например: от първото уравнение изразяваме x1 през други неизвестни от vtorogo- x2 отtretego- x3 т.н.В същото време ние използваме формулата:
αij = - (Aij / АП)
аз = дву / AII
отново трябва да се гарантира, че системата за нормален тип отговаря на условието за сближаване:
Σ (J-1) | αij | ≤ 1,докато аз = 1,2, ... п
4. Започнете да използвате, в действителност, на метода на последователните приближения.
х (0) - начална сближаване, ние изразяваме чрез х (1), следвани от х (1) експресни х (2).Общата формула на матрична форма изглежда така:
х (п) = β- + α * х (п-1)
изчисли, докато не достигне желаната точност:
макс | XI (к) -xi (к + 1) ≤ ε
Така че, нека да погледнем практиката на метода на проста итерация.Пример:
решаване на линейни системи:
4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 с точност ε = 10-3
Нека да видим, дали контролирани от диагоналните елементи на модула.
Виждаме, че състоянието на сближаването задоволява само третото уравнение.Първата и втората конвертирате в първото уравнение прибавим втора:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
изважда първият от третото:
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
Ние трансформира оригиналасистема еквивалент:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4
сега дават на системата към нормална форма:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Проверете за конвергенция на процеса итерация:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0.6429 + 0.2857 = 0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319 = 0.9149 ≤ 1, т.е.условието е изпълнено.
0,3947
първоначална приблизителна х (0) = 0,4762 0,8511
Заместник тези стойности в уравнението на нормална форма, получаваме следните стойности:
0,08835
х (1) = 0,486793
0, 446639
заменен нови стойности, получаваме:
0,215243
х (2) = 0,405396
0,558336
продължи да се изчисли до момента все още не е дошъл в близост до стойностите, които отговарят на определени условия.
0,18813
х (7) = 0,441091
0,544319
0,188002
х (8) = 0,44164
0,544428
проверят верността на резултатите:
45 * 0,1880 -1,7 * 0.441 + 3,5 * 0.544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0.441 + 4,7 *0,544 = 3,9977 резултати
получени чрез заместване на установени при първоначалното уравнение стойности, напълно отговарят на уравнението.
Както можем да видим, метода на проста итерация дава доста точни резултати, но за решаването на това уравнение, ние трябваше да прекарват много време и правим изчисления тромави.
