В пространството равнина може да се определи по различни начини (по една точка и вектор, а векторът на две точки, на три точки, и т.н.).Тя е в това уравнение на равнината може да има различни видове.Също така, при определени условия, самолетът може да бъде паралелно, перпендикулярно, пресичащи се, и т.н.На тази и се говори в тази статия.Ние ще се научат да правят цялостната уравнението на равнината и не само.
Нормално уравнение
предположим, има пространство R3, която е с правоъгълна координатна система XYZ.Определяме векторни а, които ще бъдат освободени от първоначалната точка А. Чрез края на тази векторна алфа изготвят равнината Р, която е перпендикулярна на нея.
Let P върху произволна точка Q = (X, Y, Z).Векторът на радиус от точка Q подпише писмо стр.Дължината на вектор алфа е равна р = IαI и Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).
Това е единичен вектор, който е насочен към страната, както и вектора на α.α, β и γ - е ъгълът, образуван между вектор Ʋ и положителни посоки на осите на място X, Y, Z, съответно.Проекцията на точка на вектора Ʋ QεP е константа, която е равна на р (р, Ʋ) = р (r≥0).
Горното уравнение има смисъл, когато р = 0.Единственият равнината Р в този случай ще се пресичат точка D (α = 0), която е произходът и единичен вектор Ʋ, освободен от точка O ще бъде перпендикулярна на P, въпреки своята посока, което означава, че вектор Ʋ определядо подпише.Предишна уравнение е нашият самолет II, изразени във векторен формат.Но в координатите на рода си, за да бъде така:
P е по-голям от или равен на 0. Ние открихме, уравнението на равнина в пространството в нормален начин.
общо уравнение
Ако уравнението на координатите размножават всеки номер, който не е равно на нула, ние получаваме уравнение, еквивалентна на тази, която дефинира много равнина.Тя ще има изглед:
Тук A, B, C - е броят в същото време е различно от нула.Това уравнение се нарича уравнението равнина на общата форма.
уравнение на равнината.Особено случаи
уравнение в общ вид може да бъде модифициран с допълнителни условия.Помислете за някои от тях.
приемем, че коефициент е равен на 0. Това означава, че равнина е успоредна на дадена ос Ox.В този случай, промените формата на уравнението: Vu + Cz + D = 0.
подобна форма на уравнението ще се промени и при следните условия:
- Първо, когато B = 0, тогава промените уравнение Ax + Cz + D = 0, които да показват, успоредна на оста у.
- Второ, ако C = 0, уравнението се трансформира в Ах + С + D = 0, ще се говори за успоредна на оста предварително определен Оз.
- Трето, когато D = 0, уравнението ще изглежда Ax + С + Cz = 0, което би означавало, че самолетът пресича O (произхода).
- Четвърто, ако А = В = 0, тогава промените уравнение Cz + D = 0, което ще се окажат успоредно Oxy.
- Пето, ако B = C = 0, уравнението става Ax + D = 0, което означава, че самолетът е успоредна Oyz.
- Шесто, ако A = C = 0, уравнението приема формата Vu + D = 0, тогава няма да има паралелно доклада Oxz.
тип уравнения в участъци от
В случаите, когато броят на A, B, C, D, са различни от нула, под формата на уравнение (0) може да бъде както следва:
х / а + г / б + Z / а= 1,
където А = -D / A, B = -D / B, C = -D / С
Вземете уравнение на равнината резултат на парчета.Трябва да се отбележи, че това ще равнина пресичат оста Ox в координати (а, 0,0), ди - (0, Ь, 0) и Оз - (0,0, S).
С оглед на уравнение х / а + г / б + Z / с = 1, то е лесно да се визуализира разположението на самолета спрямо дадена координатна система.
координатите на нормалния вектор
нормален вектор Н към равнината Р има координати, които са коефициентите на общото уравнение на равнината, т.е. п (A, B, C).
За да определи координатите на нормалния п, е достатъчно да се знае общото уравнение на даден самолет.
При използване на уравнения в сегмента, който има формата X / A + Y / б + Z / с = 1, като при използване на общото уравнение може да се запише координати на всеки нормален вектор дадена равнина: (1 / а + 1 / б +1 / S).
Заслужава да се отбележи, че нормалната вектор помага за решаване на различни проблеми.Най-често това са проблемите, е доказателство за перпендикулярни или успоредни равнини, задачата за намиране на ъглите между равнините или ъглите между равнини и линии.
оглед равнина уравнение според координатите на точката и нормалния вектор
ненулев вектор п, перпендикулярна на даден самолет, наречен нормално (нормално) за даден самолет.
приемем, че координатната пространство (правоъгълна координатна система) попита Oxyz:
- Mₒ точка с координати (hₒ, uₒ, zₒ);
- нула вектор п = A * I + к + B C * * к.
необходимо да се направи уравнението на равнината, която минава през точката, перпендикулярна на нормалната Mₒ п.В пространството
изберете произволна точка и нека я M (х ш, щ).Нека радиус вектора на всяка точка M (X, Y, Z) е г = х * I + у * й + Z * к, и радиус вектора на точка Mₒ на (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * I + uₒ* й + zₒ * к.Точка M принадлежи към дадена равнина, ако векторът е перпендикулярна на вектор MₒM п.Пишем състоянието на ортогоналност посредством скаларната продукта:
[MₒM, п] = 0.
Тъй MₒM = г-rₒ, вектор уравнение на равнината ще изглежда така:
[г - rₒ, п] = 0.
Това уравнение може да има различна форма.За тази цел, свойствата на скаларен продукт, и се трансформира в лявата страна на уравнението.[R - rₒ, п] = [R, п] - [rₒ, п].Ако [rₒ, п] обозначена като лидер, ние получаваме следното уравнение: [п, п] - с = 0 или [R, п] = ите, който изразява последователността на проекциите на нормалното вектора на радиус-вектори на дадените точки, които принадлежат на самолета.
Сега можете да получите от вида на запис координира нашия самолет вектор уравнение [г - rₒ, п] = 0. Тъй като г-rₒ = (х-hₒ) * аз + (у-uₒ) * й + (Z-zₒ) * ки п = A * I + к + B C * * к, имаме:
Оказва се, се образува в нашия уравнение на равнината, минаваща през точката, перпендикулярна на нормалната п:
A * (х hₒ) + B *(uₒ у) * S (Z-zₒ) = 0.
Вид равнина уравнение съгласно координатите на две точки и вектор колинеарни равнина
Определяне две точки M "(X ', Y", Z') и М '(X ", Y", Z "), както и вектор(A ', A "и ‴).
Сега можем да се равнява на даден самолет, който ще се проведе през съществуващи точки M "и М", както и всяка точка M с координати (X, Y, Z), успоредна на дадена вектор.
Това M'M вектори {X, X ', Y, Y "; ZZ"} и M "M = {х" -x ", у" у "; Z" -Z'} трябва да е в една равнинавектор = (а ", а", а ‴), и че средства (M'M, M "M, а) = 0.
Така че нашето уравнение на равнина в пространството ще изглежда така:
тип уравнение плоскост, пресичаща трите точки
допуснем, че имаме три точки (х ", у", Z "), (х", у"Z"), (х ‴ Have ‴, Z ‴), които не принадлежат на една и съща линия.Необходимо е да се напише уравнението на равнина, минаваща през определените три точки.Теорията на геометрията твърди, че този вид самолет съществува, той е само един и само.От тази равнина пресича точка (X ', Y ", Z"), под формата на неговата уравнение е както следва:
Тук А, В и С са различни от нула в същото време.Също дадена равнина пресича двете точки (х ", у", Z ') и (х ‴ Have ‴, Z ‴).В тази връзка следва да се извършва този вид условия:
Сега можем да се създаде единна система от уравнения (линейни) с неизвестни U, V, W:
В нашия случай, X, Y или Z изглежда произволна точка, която удовлетворяваУравнение (1).Като се има предвид уравнение (1) и система от уравнения (2) и (3), система от уравнения е показано на фигурата по-горе, векторът отговаря N (А, В, С), който е nontrivial.Това е, защото детерминантата на системата е равна на нула.
Equation (1), който ние имаме, това е уравнението на равнината.След 3 точка тя наистина отива, и е лесно да се провери.За да направите това, ние се разложи на детерминанта на елементите, намиращи се на първия ред.На съществуващите свойства на детерминанта това предполага, че нашата равнина в същото време три кръста първоначално дадени точки (X ', Y ", Z'), (X ', Y", Z'), (X ‴ Have ‴, Z ‴).Затова решихме да се сложи пред нас.
двустенен ъгъл между равнините
двустенен ъгъл е пространствено геометрична форма, образувана от две половинки самолети, които идват от една и съща линия.С други думи, тази част на пространството, която е ограничена до половината равнина.
Да предположим, че имате две равнини, с помощта на следното уравнение:
Ние знаем, че векторите N = (A, B, C) и N¹ = (¹, Н ', S¹) съгласно набора перпендикулярни равнини.В тази връзка, ъгълът φ между векторите N и N¹ равен ъгъл (двустенна), който се намира между тези равнини.The скаларна продукт се изчислява по формулата:
NN¹ = | N || N¹ | COS φ,
именно защото
cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (² + V²s² +)) * (√ (¹) ² + (Н ') ² + (S¹) ²)).
е достатъчно, за да се счита, че 0≤φ≤π.
всъщност две равнини, които се пресичат, за да образуват два ъгъла (двустенен ъгъл): φ1 и φ2.Сумата е равна на тяхната π (φ1 + φ2 = π).Що се отнася до техните уют, техните абсолютни стойности са равни, но те са различни признаци, това е, защото φ1 = -cos φ2.Ако в уравнението (0) се заменя с А, В и С на -А, -С -В и съответно уравнението, получаваме, ще определи една и съща равнина, само ъгъла φ в уравнение COS φ = NN1 / | N|| N1 | ще бъде заменен с π-φ.
уравнение, перпендикулярна на равнината, перпендикулярна
наречен равнина, между които ъгълът е 90 градуса.Използването на материала, представен по-горе, можем да намерим уравнението на равнина, перпендикулярна на другата.Да предположим, че имаме две равнини: Ax + С + Cz + D = 0 и A¹h + + S¹z V¹u + D = 0.Можем да кажем, че те са перпендикулярни, ако cosφ = 0.Това означава, че AA¹ NN¹ = + + VV¹ SS¹ = 0.
уравнение паралелна равнина
Parallel нарича две равнини, които не съдържат общи точки.
условие за успоредни равнини (техните уравнения са същите, както в предишната точка) е, че векторите N и N¹, които да ги перпендикулярно, лежат на една права.Това означава, че следните условия на пропорционалност:
A / ¹ = V / Н '= C / S¹.
Ако условията на пропорционалност се удължава - A / ¹ = V / Н '= C / S¹ = ий,
това показва, че самолетът на данни от един и същ.Това означава, че уравнение Ах + С + D + Cz = 0 и + A¹h V¹u S¹z + + й = 0 опише една равнина.
разстояние до самолета от точката
предположим имаме самолет P, която се дава от Уравнение (0).Необходимо е да я намеря разстояние от точката с координати (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.За да направите това, което трябва да донесе на уравнението на равнината Р в нормална форма:
(ρ, о) = р (r≥0).
В този случай, ρ (X, Y, Z) е радиус вектора на нашия точка Q, разположен на N, P - е перпендикулярна разстояние Р, която е освободена от нулевата точка, V - е вектор единица, която се намира в посока на,
разлика ρ-ρº радиус вектора на точка Q = (X, Y, Z), собственост на P и радиус вектора от дадена точка, Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) е такъв вектор, абсолютната стойностчиито прогнози от о е равна на разстоянието г, което е необходимо да се намери от Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) да P:
D = | (ρ-ρ0, х) |, но
(ρ-ρ0, V) = (ρ, обем) - (ρ0, о) = р (ρ0, о).
Оказва се,
г = | (ρ0, о) р |.
сега виждал да се изчисли разстоянието г от Q0 към равнината Р, трябва да използвате нормалната форма на уравнението на равнината, преминаването от лявата страна на реката, а последното място на X, Y, Z заместител (hₒ, uₒ, zₒ).
Така, ние откриваме, абсолютната стойност на получения израз, че се иска г.
Използването езиковите настройки, ние получаваме очевидното:
D = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (² + V² + s²).
Ако дадена точка Q0 е от другата страна на равнината Р за начало, между вектор ρ-ρ0 и V е тъп ъгъл, като по този начин:
г = - (ρ-ρ0, х) = (ρ0, о) -р и при 0.
В случая, когато точката Q0 на заедно с произхода намира на една и съща страна на U, генерираната ъгълът е остър, че е:
г = (ρ-ρ0, о) = р - (ρ0, о) и GT;0.
Резултатът е, че в първия случай (ρ0, о) и GT р, втората (ρ0, о) и LT р.
равнина, допирателна и неговото уравнение
Що се отнася до равнината на повърхността в точката на контакт Mº - равнина, съдържаща всички възможни допирателна към кривата изтегля през тази точка на повърхността.
При този вид уравнение на повърхността F (X, Y, Z) = 0 уравнението на допирателната равнина в допирателна точка Mº на (hº, uº, zº) ще изглежда така:
Fx (hº, uº, zº) (х hº)+ Fx (hº, uº, zº) (uº у) + Fx (hº, uº, zº) (Z-zº) = 0.
Ако укажете изрично повърхностния г = F (X, Y), допирателната равнина се описва с уравнението:
Z-zº = е (hº, uº) (hº х) + F (hº, uº) (у- uº).
пресичане на две равнини
в триизмерното пространство е координатна система (правоъгълна) Oxyz, дадени две равнини P 'и P ", които се припокриват и не са същите.Тъй като всяка равнина, която е в правоъгълна координатна система се определя от Общото уравнение, ние приемаме, че п 'и п "са дадени от уравнения A'x + + V'u S'z + D' = 0 и" х + В "+ YС "D + Z" = 0.В този случай имаме нормална N '(А', В ', С') на равнината Р "и нормалната N '(А', В ', С') на равнината Р".Като наш самолет не са успоредни и не съвпадат, тези вектори не лежат на една права.Използването на езика на математиката, ние имаме това условие може да се изписва така: п '≠ п "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * В ", λ * C"), λεR.Нека правата линия, която се намира в пресечната точка P 'и P ", ще бъде обозначен с буквата а, в този случай а = п' ∩ P".
един - това е пряк, състояща се от набор от точки (общо) равнини P "и Р".Това означава, че координатите на всяка точка, принадлежащи към линията и трябва да отговарят едновременно на уравнението A'x + + V'u S'z + D '= 0 и А "х + B" ш + C "Z + D" = 0.Тогава, координатите на точката, ще бъдат конкретно решение на следните уравнения:
Резултатът е, че решението (General) на системата от уравнения ще определи координатите на всяка точка от линията, която ще бъде в точката на пресичане P 'и P ", и за определяне на преките ив координатна система Oxyz (правоъгълна) пространство.
