-Line - er et særligt tilfælde af en firkant, der har et par af parallelle sider er.Udtrykket "Keystone" er afledt af det græske ord τράπεζα, som betyder "bord", "bord".I denne artikel ser vi de typer af trapez og dets egenskaber.Også ser vi på, hvordan man beregner de enkelte elementer i den geometriske figur.For eksempel diagonalen i en ligesidet trapez, den midterste linje, område, og andre. Materialet præsenteres i stil med den populære elementære geometri, t. E. I en let tilgængelig form.
General
Først, lad os forstå, hvad firkant.Dette tal er et særligt tilfælde af en polygon med fire sider og fire hjørner.To knudepunkter af quadrangle, der ikke støder op kaldes modsatte.Det samme kan siges om de to ikke-tilstødende sider.De vigtigste typer af firkanter - et parallelogram, rektangel, diamant, firkantede, trapez og deltoid.
Så tilbage til trapez.Som vi har sagt, er dette tal de to sider er parallelle.De kaldes baser.De andre to (ikke-parallelle) - sider.Materialerne i de forskellige undersøgelser og undersøgelser meget ofte kan du finde de opgaver, der er forbundet med trapezoider hvis løsning kræver ofte den studerendes viden, der ikke er fastsat af programmet.Skolen geometri kursus introducerer eleverne til egenskaberne af vinkler og diagonaler og midterlinjen af en ligebenet trapez.Men bortset fra at henviste til en geometrisk figur har andre funktioner.Men om dem senere ...
trapez
Typer Der er mange typer af denne figur.Men de fleste enige om at overveje to af dem - ligebenet og rektangulære.
1. Rectangular Trapezoid - et tal, hvor en af siderne vinkelret på basen.Hun har to vinkler er altid halvfems grader.
2. ligebenet trapez - en geometrisk figur, hvis sider er lige.Og det betyder, og vinklerne på de basepar som lige.
vigtigste principper i metoder til at studere egenskaberne af en trapez
til de grundlæggende principper omfatter anvendelse af såkaldte opgave tilgang.I virkeligheden er der ingen grund til at indgå i et teoretisk kursus Geometry af nye egenskaber af denne figur.De kan være åbne eller i færd med at formulere de forskellige opgaver (bedre system).Det er meget vigtigt, at læreren ved, hvad opgaver, du har brug for at sætte foran eleverne i et givet øjeblik af den pædagogiske proces.Endvidere kan hver ejendom trapez være repræsenteret som en central opgave i opgaven.
Det andet princip er det såkaldte spiral organisering af undersøgelsen "bemærkelsesværdige" ejendom trapez.Dette indebærer en tilbagevenden til processen med at lære de enkelte funktioner i geometrisk figur.Således er det lettere for studerende at huske dem.For eksempel fire karakteristiske punkter.Det kan bevises som i undersøgelsen af lighed, og efterfølgende ved hjælp af vektorerne.Og af lige trekanter støder op til siderne af figuren, er det muligt at bevise, at anvende ikke blot egenskaberne af trekanter med samme højde, båret ud til siderne, der ligger på en ret linie, men også med S formlen = 1/2 (ab * sinα).Desuden er det muligt at finde ud af sinusrelation indskrevet på trapez eller en retvinklet trekant beskrevet på trapez, og så videre D.
brugen af "somme" funktioner en geometrisk figur i indholdet af skolens kursus -. Tasking er teknologien i deres undervisning.Konstant henvisning til at studere egenskaberne af passagen af den anden giver eleverne til at lære trapez dybere og giver løsningen af opgaverne.Så vi går over til studiet af denne bemærkelsesværdige tal.
elementer og egenskaber af en ligebenet trapez
Som vi har bemærket, i denne geometrisk figur siderne er lige.Men det er kendt som en ret trapez.Og hvad er hun så bemærkelsesværdig, og hvorfor fik sit navn?De særlige træk ved dette tal fortæller, at hun ikke kun lige store sider og vinkler på baserne, men også diagonalt.Desuden vinklerne af en ligebenet trapez er lig med 360 grader.Men det er ikke alt!Af alle de ligebenede trapezer kun omkring en cirkel kan beskrives.Dette skyldes det faktum, at summen af modstående vinkler i figuren er 180 grader, men kun når denne tilstand kan beskrives ved en cirkel omkring quad.Følgende egenskaber af geometriske figurer anses at afstanden fra toppen af basen modsat projektionen af toppunktet på en lige linie, som indeholder denne base vil være lig med midterlinjen.
Lad os nu se på, hvordan man kan finde hjørnerne af en ligebenet trapez.Overvej tilfældet af løsninger på dette problem, forudsat at de kendte dimensioner af siderne af figuren.
beslutning
normalt rektangel betegnes ved bogstaverne A, B, C, D, hvor BC og AD - et fundament.De ligebenet trapez sider er lige.Vi antager, at x er lig med deres størrelse, og størrelsen af basen er Y og Z (mindre og større, henholdsvis).For at udføre beregningen af vinklen nødvendigt at holde i højden H. Resultatet er en retvinklet trekant ABN, hvor AB - hypotenusen, og BN og AN - ben er.Vi beregner størrelsen af benet AN: Med udgangspunkt tager mindre og resultatet divideres med 2. Vi skriver som en formel: (ZY) / 2 = F. Nu til beregning af den spidse vinkel i trekanten vi bruge funktionstasterne cos.Vi får følgende oplysning: cos (β) = X / F.Nu beregner vi vinklen: β = arcos (X / F).Endvidere, vel vidende det ene hjørne, kan vi bestemme den anden, for det er elementært aritmetiske operation: 180 - β.Alle vinkler er defineret.
Der er en anden løsning på dette problem.I begyndelsen vi udelader fra hjørne til at beregne værdien af højden H. benet BN.Vi ved, at kvadratet på hypotenusen af en retvinklet trekant er lig med summen af kvadraterne af de to andre sider.Vi får: BN = √ (X2 F2).Dernæst bruger vi trigonometriske funktion tg.Resultatet er: β = arctg (BN / F).Spids vinkel fundet.Dernæst definerer vi en stump vinkel svarende til den første metode.
ejendom diagonaler en ligebenet trapez
skrive de første fire regler.Hvis diagonalen i en ligebenet trapez vinkelret, så:
- højden af tal er summen af de baser, divideret med to;
- sin højde og den midterste linje er lige;
- område af en trapez er lig med kvadratet på højden (den midterste linie, halvdelen af summen af de baser);
- diagonal firkant er halvdelen af summen af kvadratet af baser eller to gange kvadratet af gennemsnitslinjen (højde).
Nu betragter formlen bestemme diagonalen af en ligesidet trapez.Denne oplysning kan opdeles i fire dele:
1. Formel længde diagonalt over hende.
accepteret, at A - lavere base, B - øvre C - lige sider, D - diagonal.I dette tilfælde kan længden bestemmes som følger:
D = √ (C2 + A * B).
2. Formel for længden af diagonalen af Cosinusrelation.
accepteret, at A - nedre bund, B - øvre C - lige sider, D - diagonal, α (ved den nedre base) og β (den øvre basis) - hjørnerne af et trapez.Vi får følgende formel, hvormed du kan beregne længden af diagonalen:
- D = √ (A2 + S2-2A * Til * cosα);
- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).
3. Formel længder af diagonaler en ligebenet trapez.
accepteret, at A - lavere base, B - øvre, D - diagonal, M - midterste linje, H - højde, P - arealet af en trapez, α og β - vinklen mellem diagonaler.Bestem længden af følgende formler:
- D = √ (M2 + H2);
- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);
- D = √ (H (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M + H / sinα).
Adhoc lighed: sinα = sinβ.
4. Formel skråt over længden og højden af den del.
accepteret, at A - lavere base, B - øvre C - sider, D - diagonal, H - højde, α - vinkel lavere udgangspunkt.
Bestem længden af følgende formler:
- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);
- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);
- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C 2 H 2)).
elementer og egenskaber af rektangulære trapez
Lad os se, hvad det er interessante geometriske former.Som vi har sagt, har vi et rektangulært trapez to rette vinkler.
Udover den klassiske definition, er der andre.For eksempel en rektangulær trapez - en trapez, hvis ene side er vinkelret på substraterne.Eller figurer, der har den side vinkler.I denne type trapezoider højde er den side, der er vinkelret på basen.Den midterste linje - et segment forbinder midtpunkterne af de to sider.Egenskaben af elementet er, at den er parallel med baserne, og er lig med halvdelen af deres sum.
Lad os nu overveje de grundlæggende formler, der definerer de geometriske former.For at gøre dette antager vi, at A og B - base;C (vinkelret på basen) og D - den del af den rektangulære trapez, M - midterste linje, α - en spids vinkel, P - Square.
1. Den side, vinkelret på basen, et tal lig med højden (C = N), og er lig med længden af den anden side A og sinus af vinklen α ved en højere basis (C = A * sinα).Desuden er det lig med produktet af tangens af den spidse vinkel α og forskellen i baser: C = (A-B) * tgα.
2. Den side af D (ikke vinkelret på basen) lig med kvotienten af forskellen mellem A og B og cosinus (α) en spids vinkel eller en privat figur højde H og sinus spids vinkel: A = (A-B) / cos α = C / sinα.
3. side som er vinkelret på basen er lig med kvadratroden af forskellen mellem den firkantede D - anden side - og kvadratet af forskellen mellem baserne:
C = √ (q2 (AB 2)).
4. Party Et rektangulært trapez er lig med kvadratroden af summen af kvadratet på side C, og forskellen mellem de firkantede baser af geometriske figurer: D = √ (C2 + (A-B) 2).
5. Den side af C er lig med kvotienten af summen af det dobbelte areal af sine grunde: C = P / M = 2n / (A + B).
6. Område defineret af produktet M (midterste linje i et rektangulært trapez) til højden eller den side, vinkelret på basen: P = M * N = M * C.
7. Party C er lig med kvotienten af to gange arealet af figuren i arbejdet i sinus spids vinkel og summen af dets baser: C = P / M * sinα = 2n / ((A + B) * sinα).
8. Formel side af rektangulære trapez over dens diagonal og vinklen mellem dem:
- sinα = sinβ;
- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,
hvor D1 og D2 - diagonal trapez;α og β - vinklen mellem dem.
9. Formula side gennem et hjørne i den nedre base og de andre parter: D = (A-B) / cosα = C / sinα = N / sinα.
Siden trapez med en ret vinkel er et særligt tilfælde af trapez, vil de andre formler, der bestemmer disse tal mødes og rektangulære.
Properties indskrevne cirkel
Hvis betingelsen siges, at i en rektangulær trapez indskrevne cirkel, kan du bruge de følgende egenskaber:
- beløbet er summen af de baser sider;
- afstanden fra toppen af en rektangulær form til de kontaktpunkter i den indskrevne cirkel er altid lig;
- lig med højden af trapez side, vinkelret på basen, og er lig med diameteren af cirklen;
- centrum af cirklen er det punkt, hvor skærer bisectors for vinklerne;
- hvis side er opdelt i segmenter af kontaktpunktet H og M, så radius af cirklen er lig med kvadratroden af produktet af disse segmenter;
- firkant, som dannede de kontaktpunkter, spidsen af trapez og centrum af den indskrevne cirkel - et kvadrat, hvis side er lig med radius;
- område af tal er lig med produktet af grundlaget og begrundelsen for dets højde halve beløb.
Lignende trapez
Dette emne er meget nyttigt til at studere egenskaberne af geometriske figurer.For eksempel diagonalt opdelt trapez i fire trekanter, og grænsende op til baser er ens, og til siderne - ved lige.Denne erklæring kan kaldes en egenskab af trekanter, som er brudt trapez sine diagonaler.Den første del af denne erklæring er bevist ved en angivelse af lighed i de to hjørner.For at bevise den anden del er bedre at bruge den metode nedenfor.
Beviset
accepteret, at tallet ABSD (AD og BC - basis af trapez) er brudt diagonaler HP og AC.Skæringspunktet - O. Vi får fire trekanter: AOC - på lavere udgangspunkt, BOS - på den øverste base, ABO og SOD i siderne.Trekanter SOD og biofeedback har en fælles højde i så fald, hvis segmenterne CD og OD er deres baser.Vi finder, at forskellen i deres områder (P) er lig med forskellen mellem disse segmenter: PBOS / PSOD = BO / ML = K. Derfor PSOD PBOS = / K.Tilsvarende trekanter AOB og biofeedback har en fælles højde.Vi accepterer deres base segmenter SB og OA.Vi får PBOS / PAOB = CO / OA = K og PAOB PBOS = / K.Heraf følger, at PSOD = PAOB.
At konsolidere materialet anbefales for studerende at finde en forbindelse mellem områderne trekanter opnåede, som er brudt trapez sine diagonaler, beslutter den næste opgave.Det er kendt, at trekanter Bos og ADP områder er ens, skal du finde arealet af en trapez.Da PSOD = PAOB, derefter PABSD PBOS + = PAOD + 2 * PSOD.Fra ligheden af trekanter BIM og ADP viser, at BO / OD = √ (PBOS / PAOD).Følgelig PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD).Vi får PSOD = √ (* PBOS PAOD).Så PABSD PBOS + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.
Properties lighed
fortsat at udvikle dette tema, du kan bevise de andre interessante funktioner i trapezoider.Ved anvendelse ligheden kan bevise ejendom sektion, der passerer gennem det punkt dannet ved skæringen mellem diagonaler denne geometrisk figur, parallelt med bunden.For at gøre dette vil løse følgende problem: du nødt til at finde længden af segment af RK, som passerer gennem punktet O. Fra ligheden af trekanter ADP og biofeedback følger, at AO / OS = BP / BS.Fra ligheden af trekanter ADP og ASB følger, at AB / AC = PO / BS = AD / (BS + BP).Dette indebærer, at PO = BS * BP / (BS + BP).Ligeledes fra ligheden mellem trekanter MLC og DBS følger, at OK = BS * BP / (BS + BP).Dette indebærer, at PO = OK og RK = 2 * BS * BP / (BS + BP).Segmentet passerer gennem skæringspunktet for diagonalerne, parallelt med basen og forbinder de to sider af den opdelte skæringspunktet af to.Dets længde - er den harmoniske gennemsnit af baser i figuren.
Overvej følgende kvalitet trapez, som kaldes ejendom af de fire punkter.Skæringspunkterne af diagonalerne (D), skæringspunkterne fortsætte sider (E), og den midterste base (T og G) altid ligger på samme linje.Dette er let bevist ved lighed.Disse trekanter BES og AED er ens, og i hver af dem, og medianen ET HEDGEHOG opdele spidsen vinkel E i lige store dele.Derfor punktet E, T og F er collinear.Ligeledes på samme linje er arrangeret i form af T, O og G. Dette følger af ligheden af trekanter BIM og ADP.Derfor konkluderer vi, at alle fire punkter - E, T, O og F - vil ligge på en ret linje.
Brug lignende trapezer, kan tilbydes til studerende for at finde længden af segmentet (LF), som deler sig i to lignende figur.Dette segment skal være parallelt med baser.Siden opnåede trapez ALFD og LBSF lignende, BS / LF = LF / AD.Dette indebærer, at LF = √ (BS * BP).Vi finder, at segmentet rev som et trapez i to, har en længde lig med den geometriske gennemsnitlige længde af basen figuren.
Overvej følgende egenskab af lighed.Den er baseret på det segment, der deler trapez i to lige store stykker.Vi accepterer, at Keystone ABSD segment er opdelt i to ligesom EN.Fra toppen af B sænkede højden af dette segment er opdelt i to dele DA - B1 og B2.Vi får PABSD / 2 = (BS EN +) * B1 / 2 = (AD + EN) * B2 / 2 = PABSD (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Næste komponere systemet, den første ligning er (BS EN +) * B1 = (AD + EN) * B2 og den anden (BS EN +) * B1 = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Heraf følger, at B2 / B1 = (BS EH +) / (AD + EH) og BS EN + = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1).Vi finder, at længden af segmentet, dividere trapez i to lige store, svarer til den gennemsnitlige kvadratiske længde af basen: √ ((BS2 + w2) / 2).
Konklusioner ligheden
Således har vi vist, at:
1. linjestykke sammenføjning i midten af de trapezformede sider, parallelt med AD og BC og er lig med den gennemsnitlige BC og AD (længden af bunden af trapez).
2. linje gennem skæringspunktet af parallelle diagonaler AD og BC vil være lig med det harmoniske gennemsnit BP numre og BS (2 * BS * BP / (BS + BP)).
3. Klip, bryde på trapez lignende, har en længde på det geometriske gennemsnit af baserne BC og AD.
4. element, der opdeler figuren i to lige store, har en længde på gennemsnitlige kvadratiske antal AD og BC.
At konsolidere materialet og forståelse af forbindelserne mellem segmenter af studerende er nødvendig for at bygge dem til et bestemt trapez.
.
