givet en simpel funktion fra trigonometri = sin (x) er differentiabel i ethvert punkt i hele domænet.Det er nødvendigt at bevise, at den afledte af sinus af et argument er cosinus af den samme vinkel, det vil sige '= Cos (x).
bevis er baseret på definitionen af afledte
Define x (vilkårlig) i et lille kvarter af et bestemt punkt på △ x x0.Vi viser værdien af en funktion i den, og på det punkt x for at finde forøgelse af den angivne funktion.Hvis △ x - tilvækst af argumentet, så et nyt argument - er x0 + Ax = x, værdien af denne funktion ved en given værdi af argumentet y (x) er Sin (x0 + Ax), værdien af en funktion på et bestemt punkt ved (x0) er også kendt.
Nu har vi Au = Sin (X0 + △ x) -Sin (x0) - modtaget tilvækst funktionen.
Ifølge formlen for sinus summen af to ulige vinkler vil konvertere forskellen Au.
Au = Sin (x0) · Cos (△ x) + Cos (x0) · Sin (Ax) minus Sin (x0) = (Cos (Ax) -1) · Sin (x0) + Cos (x0) · Sin (△ x).
swapping af termer grupperet den første til den tredje Sin (x0), gennemført en fælles faktor - sinus - konsollerne.Vi fik at udtrykke forskellen Cos (△ x) -1.Du ændrer tegn på beslaget og i parentes.Vide, hvad er de 1-cos (△ x), gør vi ændringen og få et forenklet udtryk Au, som derefter divideres med △ x.
Au / △ x er af formen: Cos (x0) · Sin (△ x) / △ x 2 · sin2 (0,5 · △ x) · Sin (x0) / △ x.Dette er forholdet mellem tilvæksten funktion til antagelser tilvækst argument.
stadig at finde grænsen for forholdene er opnået ved os under lim △ x tendens til nul.
kendt, at grænsen Sin (△ x) / Ax er lig med 1, for en given tilstand.Og udtrykket 2 · sin2 (0,5 · △ x) / △ x af den resulterende sum privat transformation til et produkt, der som første bemærkelsesværdige grænse faktor: tælleren i fraktion og znemenatel dividere med 2, kvadratet på sinus udskifte produktet.Altså:
(Sin (0,5 · Ax) / (0,5 · Ax)) · Sin (Ax / 2).
grænse for dette udtryk △ x tendens til nul, antallet er lig med nul (1 multipliceret med 0).Det viser sig, at grænsen for forholdet Ay / △ x er lig med Cos (x0) · 1-0, er dette Cos (x0), et udtryk, der ikke afhænger af △ x, tendens til 0. Derfor er konklusionen: differentialkvotienten af sinus af enhver vinkel x er lig med cosinus til xvi skriver så: '= Cos (x).
Denne formel er angivet i tabellen over kendte derivater, hvor alle elementære funktioner
Når løse problemer, hvor han møder den afledte af sinus, kan du bruge reglerne for differentiering og færdige formler fra bordet.For eksempel, for at finde den afledte af en simpel funktion y = 3 · sin (x) -15.Vi bruger de grundlæggende regler for differentiering, fjernelse af den numeriske faktor for tegn på derivatet og afledte beregning konstant antal (det er nul).Anvend tabelværdien af derivatet af sinus af vinklen x lig Cos (x).Vi får svaret: y '= 3 · Cos (x) -O.Dette derivat, til gengæld er også en elementær funktionen y = G · cos (x).
derivat af sinus kvadreret af ethvert argument
Ved beregning af udtrykket (sin2 (x)), skal du huske, hvordan at skelne en kompleks funktion.Så = sin2 (x) - er en eksponentiel funktion som sinus potens.Argumentet er det også en trigonometrisk funktion, en kompliceret argument.Resultatet i dette tilfælde er produktet af den første faktor er differentialkvotienten af kvadratet på et komplekst argument, og det andet - et derivat af sinus.Her er reglen for at differentiere en funktion af en funktion: (u (v (x))) 'er (u (v (x)))' · (v (x)) «.Expression v (x) - en kompleks argumentation (intern funktion).Hvis given funktion er "y er lig med sinus kvadreret x", derivatet af en sammensat funktion er y = 2 · sin (x) · cos (x).Produktet fra den første faktor er fordoblet - kendt derivat af en potensfunktion og Cos (x) - derivat af sinus af argumentet af komplekse kvadratisk funktion.Det endelige resultat kan omdannes ved hjælp af formlen for den trigonometriske sinus af den dobbelte vinkel.A: Den afledte er Sin (2 · x).Denne formel er let at huske, er det ofte brugt som en tabel.
