enkel iteration metode, også kaldet metoden til successive tilnærmelser - en matematisk algoritme til at finde værdierne af de ukendte mængder ved gradvist afklare det.Essensen af denne fremgangsmåde er, som navnet antyder, er gradvist udtrykker en indledende tilnærmelse af de efterfølgende, bliver mere raffinerede resultater.Denne metode anvendes til at finde værdien af en variabel i en given funktion, og løse systemer af ligninger, både lineære og ikke-lineære.
Overvej hvordan denne metode er implementeret i løsning af lineære systemer.Metode til enkel iteration algoritme er som følger:
1. Kontroller tilstanden af konvergens i den oprindelige matrix.Teorem konvergens hvis den oprindelige matrix-systemet har en diagonal dominans (dvs. hver række af de vigtigste diagonale elementer skal være større i størrelse end summen af diagonale elementer i den side af modulet), fremgangsmåden til simpel iteration - konvergent.
2. matrix af det oprindelige system er ikke altid den diagonale dominans.I sådanne tilfælde kan systemet konvertere.Ligningerne, der opfylder konvergens tilstand efterlades intakt, men med utilfredsstillende lave lineære kombinationer, dvs.formere, trække fra, tilføje op ligningerne sammen for at få det ønskede resultat.
Hvis det resulterende system i de vigtigste diagonale koefficienter er ubehageligt, derefter til begge sider af denne ligning er tilføjet hvad angår formen ci * xi, tegn, som skal falde sammen med tegn på de diagonale elementer.
3. Konverter det resulterende system til normal visning:
x- = β- + α * x-
Dette kan gøres på mange måder, for eksempel: fra den første ligning udtrykker x1 gennem andre ukendte fra vtorogo- x2 fratretego- x3 etc.Samtidig bruger vi formlen:
αij = - (Aij / AII)
i = bi / AII
bør igen sikre, at ordningen med normale type svarer til konvergens stand:
Σ (j = 1) | αij | ≤ 1,mens i = 1,2, ... n
4. Begynd at bruge, i virkeligheden, metoden til successive tilnærmelser.
x (0) - indledende tilnærmelse, udtrykker vi gennem x (1), efterfulgt af x (1) udtrykkelige x (2).Den generelle formel for en matrix form, ser sådan ud:
x (n) = β- + α * x (n-1)
beregne, indtil vi når den ønskede nøjagtighed:
max | xi (k) -xi (k + 1) ≤ ε
Så lad os se på praksis af metoden til enkel iteration.Eksempel:
løse lineære systemer:
4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 med nøjagtighed ε = 10-3
Lad os se, om domineret af de diagonale elementer i modulet.
Vi ser, at de konvergens tilstand opfylder kun den tredje ligning.Den første og anden konvertere til den første ligning, vi tilføjer den anden:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
trække den første fra den tredje:
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
Vi forvandlede den oprindeligeSystemet svarer:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4
nu giver systemet til normalform:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Tjek konvergensen af iteration proces:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, dvs.betingelsen er opfyldt.
0,3947
indledende tilnærmelse x (0) = 0,4762
0,8511
Stedfortræder disse værdier ind i ligningen for normale form, får vi følgende værdier:
0,08835
x (1) = 0,486793
0, 446.639
erstatte nye værdier, får vi:
0,215243
x (2) = 0,405396
0,558336
fortsat beregne indtil det øjeblik endnu ikke er kommet tæt på de værdier, der opfylder nærmere angivne betingelser.
0,18813
x (7) = 0,441091
0,544319
0,188002
x (8) = 0,44164
0,544428
kontrollere rigtigheden af resultaterne:
45 * 0,1880 -1,7 * 0.441 + 3,5 * 0.544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0.441 + 4,7 *0,544 = 3,9977
opnåede resultater ved at erstatte de værdier, der findes i den oprindelige ligning, fuldt ud opfylder ligningen.
Som vi kan se, metoden til enkel iteration giver en temmelig nøjagtige resultater, men for løsning af denne ligning, vi var nødt til at bruge en masse tid og gøre besværlige beregninger.
