Triangle er en polygon med tre sider (de tre vinkler).Den mest almindelige side repræsenterer små bogstaver, den tilsvarende stort bogstav, som angiver de modsatte hjørner.I denne artikel vil vi tage et kig på disse typer af geometriske former, sætningen, der bestemmer, hvilke lig med summen af vinklerne i en trekant.
Typer største vinkler
følgende typer af polygon med tre knudepunkter:
- akut-vinklede hvor alle skarpe vinkler;
- rektangulært med én ret vinkel med siden af sit billede, kaldet ben, og den side, som er placeret modsat den rette vinkel kaldes hypotenusen;
- stump når den ene vinkel er stump;
- ligebenet, som de to parter lige, og de kaldes lateral, og den tredje - i bunden af trekanten;
- ligesidet har tre lige sider.
Properties
Der er grundlæggende egenskaber, der er karakteristiske for hver type trekant:
- overfor større side har altid en stor vinkel, og omvendt;
- modstående sider af samme størrelsesorden er ens vinkler, og omvendt;
- har nogen trekant har to spidse vinkler;
- udvendige vinkel er større end nogen intern vinkel er ikke relateret til ham;
- summen af to vinkler er altid mindre end 180 grader;
- udvendige vinkel er lig med summen af de to andre hjørner, der ikke er mezhuyut ham.
teorem på summen af vinklerne i en trekant
sætning, at hvis du tilføje op alle hjørner af geometrisk figur, som er placeret i den euklidiske plan, vil deres sum være 180 grader.Lad os prøve at bevise dette teorem.
Lad vi har en vilkårlig trekant med knudepunkter KMN.Gennem top M tegne en linie parallelt med den linje KN (selv denne linie kaldes den linje af Euclid).Det skal bemærkes, punkt A på en sådan måde, at det punkt K og A blev placeret på forskellige sider lige MN.Vi får den samme vinkel og AMS MUF, der ligesom den indre ligger på tværs til dannelse af krydsende MN i samarbejde med KN og MA linjer, der er parallelle.Heraf følger, at summen af vinklerne i en trekant beliggende ved hjørnerne af M og N er lig med størrelsen af vinklen på CMA.Alle tre vinkler består af et beløb svarende til summen af vinklerne CMA og MCS.Da disse vinkler er internt i forhold til ensidige parallelle linjer CN og MA på at skære KM, deres sum er 180 grader.QED.
undersøgelse
Ovenfra denne sætning indebærer følgende konsekvens: hver trekant har to spidse vinkler.For at bevise dette, så lad os antage, at dette geometrisk figur har kun én spids vinkel.Desuden kan det antages, at ingen vinkel ikke er akut.I dette tilfælde skal det være mindst to vinkler, hvis størrelse er lig med eller større end 90 grader.Men så summen af vinklerne er større end 180 grader.Og det kan ikke være, da ved Sætning summen af vinklerne i en trekant er 180 ° - hverken mere eller mindre.Det er, hvad der skulle bevises.
ejendom udvendige hjørner
Hvad er summen af vinklerne i en trekant, som er ekstern?Svaret på dette spørgsmål kan opnås ved hjælp af en af to metoder.Det første er behovet for at finde summen af de vinkler, der er taget en på hvert hjørne, det vil sige tre vinkler.Den anden indebærer, at du har brug for at finde summen af de seks vinkler på knudepunkter.Til at begynde med lader aftale med den første.Således trekanten har seks udvendige vinkler - på hvert hjørne af de to.Hvert par har lige vinkelret på hinanden, fordi de er vertikalt:
∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.
Desuden er det kendt, at den ydre vinkel i trekanten er lig med summen af de to indvendige, ikke mezhuyutsya med det.Derfor
∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.
Det viser sig, at summen af de eksterne vinkler er taget en efter en nær toppen af hver, vil være lig med:
∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A ∟S + + + ∟A ∟V + + ∟V ∟S= 2 x (+ ∟A ∟V + ∟S).
betragtning af, at summen af vinklerne er lig 180 grader, kan det hævdes, at ∟A + ∟V ∟S = + 180 °.Det betyder, at ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °.Hvis der anvendes den anden mulighed, så summen af de seks vinkler vil være tilsvarende større fordoblet.Det er summen af de udvendige vinkler i en trekant vil være:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.
retvinklet trekant
Hvad lig med summen af vinklerne i en retvinklet trekant er øens?Svaret, igen, fra Sætning, som siger, at vinklerne i en trekant tilføje op til 180 grader.Og vores påstand lyde (ejendom) på følgende måde: i retvinklet trekant spidse vinkler tilføje op til 90 grader.Vi bevise sin sandfærdighed.Lad der være givet en trekant KMN, som ∟N = 90 °.Vi skal bevise, at ∟K ∟M + = 90 °.
Ifølge sætningen om summen af vinklerne ∟K + ∟M ∟N = + 180 °.I denne tilstand er det sagt, at ∟N = 90 °.Det viser sig ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °.Det er ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °.Det er det, vi skal have til at bevise.
Ud over de ovennævnte egenskaber i en retvinklet trekant, kan du tilføje disse:
- vinkler, der ligger mod benene er skarpe;
- trekantede hypotenusen er større end nogen af benene;
- benene mere end summen af hypotenusen;
- katete i trekanten, som ligger modsat hjørne 30 grader, en halvdel af hypotenusen, dvs. det er lig halvdelen.
Som en anden egenskab ved den geometriske form kan identificeres pythagoræiske læresætning.Hun hævder, at i en trekant med en vinkel på 90 grader (rektangulære) er lig med summen af kvadraterne af benene til kvadratet på hypotenusen.
summen af vinklerne i en ligebenet trekant
Tidligere sagde vi, at en ligebenet trekant kaldes en polygon med tre knudepunkter indeholder to ens sider.Denne egenskab er kendt geometrisk figur: vinklerne på sin base lige.Lad os bevise dette.
Tag trekant KMN, som er ligebenet, SC - sin base.Vi er forpligtet til at bevise, at ∟K = ∟N.Så lad os antage, at MA - bisector er vores trekant KMN.Triangle MCA med det første tegn på en trekant er lig MNA.Nemlig betingelsen eftersom CM = HM, MA er en fælles side, ∟1 = ∟2, fordi AI - en bisector.Brug af lighed mellem de to trekanter, kunne man argumentere for, at ∟K = ∟N.Derfor er sætningen bevist.
Men vi er interesseret, hvad er summen af vinklerne i en trekant (ligebenet).Da der i denne forbindelse ikke har dens funktioner, vil vi starte fra teorem diskuteret ovenfor.Det vil sige, at vi kan sige, at ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, eller 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (som ∟K = ∟N).Denne ejendom vil ikke bevise, da hun Theorem summen af vinklerne i en trekant blev vist tidligere.
Også i betragtning af egenskaberne af hjørnerne af trekanten, er der også så vigtige udsagn:
- i en ligesidet trekant højde, der er blevet sænket til basen, er også medianen, bisector af den vinkel, som er mellem lige parter, samt symmetriaksen af dets fundament;
- median (bisector højde), som holdes til siderne af en geometrisk figur er lige.
ligesidet trekant
Det kaldes også den rigtige, er den trekant, der er ens for alle parter.Og derfor også lige vinkler.Hver af dem er 60 grader.Vi bevise denne egenskab.
Lad os antage, at vi har en trekant KMN.Vi ved, at KM = NM = CL.Det betyder, at i henhold til ejendommen hjørner, beliggende ved foden i en ligesidet trekant, ∟K = = ∟M ∟N.For ifølge summen af vinklerne i en trekant teorem ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, den 3 x ∟K = 180 ° eller ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °.Således erklæringen dokazano.Kak set ovenfra på grundlag af beviset for sætning, at summen af vinklerne i en ligesidet trekant som summen af vinklerne i enhver anden trekant er 180 grader.Igen beviser denne sætning er ikke nødvendig.
Der er stadig nogle egenskaber er karakteristiske for en ligesidet trekant:
- median, vinkelhalveringslinjen, højde på en sådan geometrisk figur er de samme, og deres længde er beregnet som (a × √3): 2;
- hvis beskrive en polygon omkring denne cirkel, så dens radius er lig med (a x √3): 3;
- hvis en ligesidet trekant indskrevet i en cirkel, så radius vil være (og x √3): 6;
- område på denne geometrisk figur beregnes som følger: (a2 x √3): 4.
stump trekant
Per definition stump-vinklet trekant, en af dens hjørner er mellem 90 til 180 grader.Men da vinklen på de to andre geometriske former er skarpe, kan det konkluderes, at de ikke overstiger 90 grader.Følgelig sætningen på summen af vinklerne i en trekant arbejde i at beregne summen af vinklerne i en stump trekant.Så kan vi roligt sige, baseret på ovenstående sætning, at summen af vinklerne stumpe trekant er 180 grader.Igen er denne sætning ikke behøver at re-bevis.
