Fourierrækker - en repræsentation af et vilkårligt valgte funktion til en bestemt periode i træk.Generelt træffes den udvidelse element i ortogonale basis.Udvidelsen af funktioner i Fourierrækker er en temmelig stærkt værktøj til at løse forskellige problemer på grund af egenskaberne for transformation i integration, differentiering og flytte argument udtryk og foldning.
person, der ikke er bekendt med højere matematik, samt med arbejdet i den franske videnskabsmand Fourier sandsynligvis vil ikke forstå, hvad "rækker", og hvad de gør.Alligevel denne transformation er ganske fast indtastet vores liv.Det bruges ikke kun matematik, men også fysikere, kemikere, læger, astronomer, seismologer, oceanografer og andre.Lad os, og vi tager et nærmere kig på værker af den store franske videnskabsmand, der gjorde opdagelsen, forud for sin tid.
Mennesket og Fouriertransformation
Fourierrækker er en af de metoder (sammen med analyser og andre) i Fouriertransformation.Denne proces sker hver gang en person hører en lyd.Vores ører konverterer automatisk lydbølge.Den vibrationelle bevægelse af elementarpartikler i et elastisk medium er arrangeret i serie (i spektret) træk lydstyrken for tonerne af forskellige pladser.Dernæst hjernen konverterer data i lyde velkendte for os.Alt dette kommer i tillæg til vores ønske eller bevidsthed selv, men for at forstå disse processer vil tage flere år at studere højere matematik.
detaljer om Fouriertransformation
Fourier transformation kan udføres analytisk, tal og andre metoder.Fourier-serien er talord proces til nedbrydning eventuelle oscillerende processer - fra havets tidevand og bølger af lys til sol cykler (og andre astronomiske objekter) aktivitet.Ved hjælp af disse matematiske teknikker kan adskille funktioner, der repræsenterer nogen oscillerende processer i en række sinusformede komponenter, der går fra minimum til maksimum og tilbage.Fouriertransformation er en funktion, der beskriver fasen og amplituden af sinusoider svarende til en bestemt frekvens.Denne fremgangsmåde kan anvendes til de meget komplekse ligninger, der beskriver de dynamiske processer, der forekommer under indvirkning af varme, lys eller elektrisk energi.Også den Fourierrækker anvendes til at skelne DC-komponenter i komplekse bølgeformer, hvilket gør det muligt korrekt at fortolke de eksperimentelle observationer i medicin, kemi og astronomi.
Baggrund
grundlæggeren af denne teori er den franske matematiker Jean Baptiste Joseph Fourier.Hans navn blev efterfølgende kaldt denne transformation.I første omgang, forskerne brugte en teknik til at studere og forklare mekanismerne i varmeledning - varmen formering i faste stoffer.Fourier antages, at den indledende fordeling af uregelmæssig hedebølgen kan opdeles i simple sinusoid, som hver vil have sin temperatur minimum og maksimum, samt dens fase.Således hver sådan komponenten, målt fra minimum til maksimum og omvendt.Den matematiske funktion, som beskriver de øvre og nedre spidser af kurven, og fasen af hver harmonisk, kaldet Fouriertransformation af ekspressionen af temperaturfordelingen.Forfatteren af teorien om nedsat samlet fordelingsfunktion, som er vanskelig at matematisk beskrivelse, i en meget let at håndtere en række periodiske funktioner af sinus og cosinus, hvilket i alt giver den oprindelige fordeling.
princip om konvertering og synspunkter samtidige
samtidige videnskabsmand - de førende matematikere i det tidlige nittende århundrede - accepterede ikke denne teori.Den vigtigste indvending var godkendelsen af Fourier at bryde funktion, der beskriver en lige linje eller kurve er revet, det kan repræsenteres som en sum af sinusformede udtryk, som er kontinuerlig.Som et eksempel, overveje "step" Heaviside: dens værdi er nul til venstre for hullet og retten enhed.Denne funktion beskrives afhængighed af den elektriske strøm fra den midlertidige variable til lukning af kredsløbet.Samtidige teori dengang aldrig stødt på en lignende situation, når bryde udtryk beskriver en kombination af kontinuerte, fælles funktioner, såsom eksponentiel, sinus, lineær eller kvadratisk.
der forvirrer de franske matematikere i teorien om Fourier?
Efter alt, hvis en matematiker var korrekt i sine påstande, så summen af en uendelig trigonometriske Fourierrækker, kan du få en nøjagtig gengivelse af det trin udtryk, selv om det har mange lignende skridt.I begyndelsen af det nittende århundrede, dette udsagn virkede absurd.Men trods alle de tvivl, har mange matematikere udvidet omfanget af studiet af dette fænomen, at flytte den ud over forskningen af varmeledningsevne.Men de fleste forskere fortsatte med at lide under spørgsmålet: "? Kan summen af sinus serie konvergerer til den nøjagtige værdi af diskontinuerlig funktion"
Konvergens af Fourierrækker: eksemplet
spørgsmålet om konvergens rejst når det er nødvendigt summation af uendelig række tal.For at forstå dette fænomen, overveje det klassiske eksempel.Kunne du nogensinde nå væggen, når hvert skridt vil være halvdelen af den tidligere?Antag, at du er to meter fra mål, det første skridt tættere på halvvejen, den næste - til niveauet for tre fjerdedele, og efter den femte du overvinde næsten 97 procent af vejen.Men uanset hvor mange skridt du gør, det tilsigtede mål du kommer i streng matematisk forstand.Ved hjælp af numeriske beregninger, kan vi bevise, at i sidste ende kan gribes an på en vilkårligt lille given afstand.Dette svarer til et bevis demonstrerer, at den samlede værdi af halvdelen, en fjerdedel og så videre. E. vil være tilbøjelige til enhed.
spørgsmål konvergens: genkomst, eller Enhed Lord Kelvin
igen opstod spørgsmålet i slutningen af det nittende århundrede, da Fourier forsøgte at bruge til at forudsige intensiteten af ebbe og flod.På det tidspunkt var Lord Kelvin opfundet enhed er en analog computerenhed, der tillader søfolk militær og handelsflåden til at spore denne naturfænomen.Denne mekanisme definerer et sæt af faser og amplituder af bordhøjden af tidevandet og de tilsvarende tidspunkter øjeblikke, omhyggeligt målt i havnen i løbet af året.Hver parameter er en sinusformet komponent bølge af udtryk er en af de regelmæssige komponenter.Måleresultaterne er input til computerenhed Lord Kelvin, syntese kurve, der forudsiger højden af vand som tidsfunktion for det næste år.Meget snart disse kurver blev foretaget for alle havne i verden.
Og hvis processen vil blive brudt diskontinuert funktion?
Dengang virkede det indlysende, at den enhed, forudser en flodbølge, med masser af elementer konti kan beregne et stort antal faser og amplituder, og så give en mere præcis forudsigelse.Men det viste sig, at dette mønster ikke overholdes i tilfælde, hvor tidevandet udtryk, der vil blive syntetiseret, indeholdt en skarp spring, dvs. det er diskontinuert.I så fald, hvis data bliver indgået enheden fra en tabel over tidspunkter, beregner få Fourier koefficienter.Den oprindelige funktion er genoprettet takket være sinusformet komponent (i overensstemmelse med de fundne koefficienter).Kan måles uoverensstemmelse mellem originalen og den rekonstruerede udtryk på noget tidspunkt.Under den gentagne beregning og sammenligning viser, at værdien af den største fejl er reduceret.Men de er lokaliseret i området svarende til brudpunktet, og alle andre punkter tendens til nul.I 1899 blev dette resultat bekræftet teoretisk Joshua Willard Gibbs af Yale University.
Konvergens af Fourier-serien og udviklingen af matematik i almindelighed
Fourier analyse gælder ikke for udtryk, der indeholder et uendeligt antal byger med et bestemt tidsinterval.Generelt Fourierrækker, hvis den oprindelige funktion at præsentere resultaterne af den faktiske fysiske målinger altid konvergerer.Spørgsmål om konvergens af processen for bestemte klasser af funktioner har ført til nye grene af matematik, som teorien om generelle funktioner.Det er forbundet med navne som L. Schwartz, J .. Mikusiński og George. Templet.Inden for rammerne af denne teori blev etableret klare og præcise teoretiske grundlag for sådanne udtryk som Dirac delta funktion (den beskriver regionen samlet område, koncentreret i et uendeligt lille kvarter i det punkt) og "step" Heaviside.Gennem dette arbejde blev Fourierrækker nyttigt til løsning af ligninger og problemer, som involverer intuitive begreber: punkt afgift, punkt masse, magnetiske dipoler, og den koncentrerede belastning på bjælken.
Fourier metode
Fourierrækker, i overensstemmelse med principperne for interferens, begynder med nedbrydning af komplekse former i enklere.For eksempel kan en ændring i varmeflux på grund af dets passage gennem de forskellige forhindringer af isolerende materiale af uregelmæssig form, eller en ændring i jordens overflade - et jordskælv, en ændring i kredsløb om et himmellegeme - indflydelse af planeterne.Typisk er disse ligninger, der beskriver enkle klassiske systemer elementære løst for hver runde.Fourier viste, at enkle løsninger kan opsummeres som for mere komplekse opgaver.På det sprog, matematik, Fourier-serien - en metode til indsendelse af udtrykket mængde overtoner - cosinus og sinus bølger.Derfor er denne analyse også kendt som "harmonisk analyse."
Fourier Series - en ideel metode til "computer alder»
Forud for oprettelsen af computerteknologi Fourier teknik er det bedste våben i arsenal af forskere, der arbejder med den bølge karakter af vores verden.Fourierrækker i kompleks form giver dig mulighed for at ikke kun løse simple problemer, der egner sig til direkte anvendelse af Newtons love mekanik, men også de grundlæggende ligninger.De fleste af de opdagelser af det nittende århundrede newtonske videnskab blev kun mulig på grund af den Fourier-metoden.
Fourierrækker dag
Med udviklingen af computere Fourier steget til et kvalitativt nyt niveau.Denne teknik er solidt forankret i næsten alle områder inden for videnskab og teknologi.Som et eksempel, en digital audio og videosignal.Dens gennemførelse er blevet gjort muligt kun takket være den teori, som er udviklet af franske matematiker i begyndelsen af det nittende århundrede.Således har Fourier serier i kompleks form tilladt at skabe et gennembrud i studiet af det ydre rum.Desuden påvirkede studiet af fysik af halvledermaterialer og plasma, mikroovn akustik, oceanografi, radar, seismologi.
trigonometriske Fourierrækker
I matematik, Fourier-serien er en måde at repræsentere vilkårlige komplekse funktioner som en sum af enklere.I almindelige tilfælde kan antallet af sådanne udtryk være uendelig.Jo større i betragtning ved beregning nummer, er mere nøjagtig det endelige resultat.Den mest almindelige brug af simple trigonometriske funktioner cosinus og sinus.I dette tilfælde er Fourier serie kaldet trigonometriske, og afgørelsen af sådanne udtryk - harmoniske nedbrydning.Denne fremgangsmåde har en vigtig rolle i matematik.Først og fremmest, en trigonometrisk serie tilvejebringer et middel til at afbilde og studere de funktioner, som det er hovedenheden af teorien.Derudover er det muligt for os at løse en række problemer i matematisk fysik.Endelig har denne teori bidraget til udviklingen af matematisk analyse gav anledning til en række meget vigtige grene af matematikken (integreret teori, teorien om periodiske funktioner).Hertil kommer, at udgangspunktet for udviklingen af de følgende teorier: sæt, funktioner af en reel variabel, funktionel analyse, og markerede begyndelsen på harmonisk analyse.
