Hvad irrationelle tal?Hvorfor er de hedder?Hvor de anvendes, og at repræsentere?Få kan uden tøven at besvare disse spørgsmål.Men i virkeligheden, svarene er ret enkle, men ikke alle er nødvendige, og i meget sjældne situationer
essens og betegnelse
irrationelle tal er uendelige engangskarakter decimal.Behovet for at indføre dette begreb på grund af det faktum, at for at behandle nye kommende udfordringer har været utilstrækkelige, før de eksisterende begreber faktiske eller reelle, hele, naturlige og rationelle tal.For eksempel til at beregne kvadratet på en variabel er 2, skal du bruge en ikke-periodiske uendelige decimaler.Desuden er mange simple ligninger har heller ingen løsning uden indførelsen af begrebet irrationelle tal.
Dette sæt omtales som I. Og som det fremgår, kan disse værdier ikke være repræsenteret som en simpel fraktion, tælleren, som er et heltal, og nævneren - et naturligt tal.
først alligevel dette fænomen står indiske matematikere i VII århundrede f.Kr., da det blev opdaget, at de firkantede rødder visse mængder ikke klart kan identificeres.Et første bevis for eksistensen af sådanne numre er krediteret Hippasus Pythagoras, der gjorde det i studiet af en ligebenet retvinklet trekant.En alvorlig bidrag til studiet af dette sæt har bragt endda nogle videnskabsmænd, der levede før Kristus.Indførelsen af begrebet irrationelle tal førte til en revision af den eksisterende matematiske system, som er hvorfor de er så vigtige.
oprindelsen af navnet
Hvis forholdet på latin - er "skudt", "attitude", præfikset "ir"
giver dette ord med modsat betydning.Således navnet på en flerhed af disse numre indikerer, at de ikke kan korreleres til et helt tal eller fraktioneret, er separat sted.Dette følger af deres essens.
sted i det samlede klassement
irrationelle tal sammen med rationel refererer til en gruppe af virkelig eller virtuel, hvilket igen er integreret.Der er en delmængde, men skelne algebraiske og transcendentale arter, som vil blive diskuteret i det følgende.
Ejendomme
Siden irrationelle tal - det er en del af det sæt af reelle, der gælder for dem alle deres egenskaber, som er undersøgt i aritmetiske (også kaldet grundlæggende algebraiske love).
a + b = b + a (kommutativ);
(a + b) + c = a + (b + c) (associativitet);
a + 0 = en;
a + (-a) = 0 (eksistensen af additiv invers);
ab = ba (kommutativ ret);
(ab) c = a (bc) (distributivitet);
en (b + c) = ab + ac (distributive lov);
ax 1 = en
ax 1 / a = 1 (eksistensen af tilbagevenden);
sammenligning er også lavet i overensstemmelse med de generelle love og principper:
Hvis en & gt;b, og b & gt;c, så en & gt;c (transitiv relation), og.t. e.
Selvfølgelig kan alle de irrationelle tal omregnes ved hjælp af de grundlæggende aritmetiske operationer.Ingen særlige regler for dette.
Desuden irrationelle tal er omfattet af aksiom af Arkimedes.Det hedder, at for to værdier af a og b er sandt, at, ved at tage en som sigt nok gange, er det muligt at slå b.
bruger
trods af, at i det virkelige liv er ikke så ofte nødt til at beskæftige sig med dem, behøver irrationelle tal ikke give konto.De er rigtig mange, men de er stort set usynlige.Vi er omgivet af irrationelle tal.Eksempler velkendte for alle - antallet pi, svarende til 3.1415926 ... eller e, er i virkeligheden en base af naturlige logaritmer, 2,718281828 ... I algebra, trigonometri og geometri nødt til at bruge dem konstant.Af den måde, den velkendte betydning af "gyldne snit", dvs. forholdet mellem hvor meget af en lavere, og omvendt, gælder også for dette sæt.Mindre kendte "sølv" - også.
om antallet linje, de er meget tæt, så mellem to værdier, der er omfattet af et sæt rationelle, irrationelle nødvendigvis forekomme.
Indtil nu er der en masse uløste spørgsmål i forbindelse med dette sæt.Der er kriterier som foranstaltningen af irrationalitet og det normale antal.Matematikere fortsætte med at undersøge de væsentligste eksempler for deres tilhørsforhold til den ene eller den gruppe.For eksempel antager, at E -. Normale antal, t E. Sandsynligheden for hans rekord forskellige figurer det samme.Som wee, du respekterer det er under efterforskning.Foranstaltningen også kaldet irrationalitet værdi angiver, hvor godt et bestemt nummer kan tilnærmes ved rationale tal.
algebraiske og transcendente
som allerede nævnt, irrationelle tal betinget opdelt i algebraiske og transcendental.Konventionelt, da strengt taget denne klassifikation anvendes til at opdele den indstillede C.
Under denne betegnelse gemmer sig komplekse tal, som omfatter den faktiske eller reelle.
Så algebraisk kaldes en værdi, som er roden til polynomium er ikke identisk nul.For eksempel vil kvadratroden af 2 falder i denne kategori, da det er en løsning af ligningen x2 - 2 = 0.
Alle andre reelle tal, der ikke opfylder denne betingelse kaldes transcendental.Denne art og er de mest kendte og allerede nævnte eksempler - PI og bunden af den naturlige logaritme e.
Interessant, ingen, heller ikke det andet var oprindeligt opdrættet af matematikere som sådan, deres irrationalitet og transcendens er blevet bevist gennem mange år efter deres opdagelse.PI-beviser blev givet i 1882 og forenklet i 1894, der satte en stopper for debatten om problemet med cirklens kvadratur, som varede i over 2500 år.Det er stadig ikke helt forstået, så moderne matematik har arbejde at gøre.Af den måde, det første rimeligt nøjagtig beregning af denne værdi havde Archimedes.Foran ham alle beregninger var for omtrentlig.
for e (Eulers nummer, eller Napier), bevis på hans transcendens blev fundet i 1873.Det bruges til at løse ligninger logaritmisk.
Blandt andre eksempler - værdierne sinus, cosinus og tangens til eventuelle ikke-nul algebraiske værdier.
