studeret avanceret matematik skal være kendt, at summen af en potensrække i intervallet konvergensen af en række af os, er en kontinuerlig og ubegrænset antal gange differentierede funktion.Opstår spørgsmålet: Er det muligt at argumentere for, at i betragtning en vilkårlig funktion f (x) - er summen af en magt serien?Det vil sige, på hvilke betingelser f-Ia f (x) kan være repræsenteret ved en potensrække?Vigtigheden af dette spørgsmål er, at det er muligt at erstatte ca. Q-uw f (x) er summen af de første par form af en potensrække, det er polynomium.En sådan udskiftning funktion er ganske enkelt udtryk - polynomium -. Er praktisk og løse visse problemer i matematisk analyse, nemlig at løse integraler i beregningen differentialligninger, og så videre D.
bevist, at for nogle f-ii f (x)der kan beregne de afledte former af (n + 1) th, herunder det seneste, i nærheden af (α - R; X0 + R) på et punkt x = α er en fair formel:
Denne formel er opkaldt efter den berømte videnskabsmand Brooke Taylor.Serien, som er afledt af den foregående, der kaldes en Maclaurin serien:
regel, der gør det muligt at producere en Maclaurin serie ekspansion:
- Bestem derivater af den første, anden, tredje ... orden.
- beregnet, som er derivater i x = 0.
- Record Maclaurin serie for denne funktion, og derefter til at bestemme intervallet konvergens.
- bestemme intervallet (-R, R), hvor den resterende del af Maclaurin formel
Rn (x) - & gt;0 for n - & gt;uendelighed.Hvis den er monteret, skal den funktion f (x) er lig med summen af Maclaurin serien.
Betragt nu Maclaurin serie for de enkelte funktioner.
1. Således er det første er f (x) = ex.Naturligvis ved deres egenskaber såsom f-Ia har derivater af en række ordrer, og f (k) (x) = ex, hvor k er lig med de naturlige tal.Substituerende x = 0.Vi får f (k) (0) = e0 = 1, k = 1,2 ... På baggrund af ovenstående, en række ex vil være som følger:
2. Maclaurin serie for funktionen f (x) = sin x.Umiddelbart angive, at f-Ia for alle ubekendte får derivater udover f '(x) = cos x = sin (x + n / 2), f' '(x) = -sin x = sin (x+ 2 * n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), hvor k er lig med en hvilken som helst positivt heltal.Det vil sige, ved at udføre simple beregninger, kan vi konkludere, at serien for f (x) = sin x er af denne type:
3. Lad os nu betragte det teologiske Fakultet f (x) = cos x.Det er for alle de ukendte har derivater af vilkårlig orden, og | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) | & lt; = 1, k = 1,2 ... endnu en gang, hvilket givervisse beregninger, finder vi, at serien for f (x) = cos x ville se sådan ud:
Så har vi listet de vigtigste funktioner, der kan udvides i en Maclaurin serien, men de supplerer Taylorrækken til visse funktioner.Nu vil vi liste dem så godt.Det skal også bemærkes, at Taylor og Maclaurin serien er en vigtig del af workshoppen serien i opløsninger af højere matematik.Så Taylor serie.
1. Den første er den serie for f-ii f (x) = ln (1 + x).Som i de foregående eksempler, for dette har vi f (x) = ln (1 + x) kan foldes i træk, anvendelse af den generelle form af Maclaurin serien.Imidlertid kan denne funktion Maclaurin opnås meget nemmere.Integrere en geometrisk serie, får vi serien for f (x) = ln (1 + i) af prøven:
2. Og den anden, som vil være endelig i denne artikel, er serien for f (x) = arctg s.For x tilhører intervallet [-1, 1] er en udvidelse af messen:
Det er alt.I denne artikel er vi betragtes som den mest anvendte Maclaurin og Taylor serie i højere matematik, især på det økonomiske og tekniske skoler.
