I rum fly kan defineres på forskellige måder (ved et punkt og en vektor og vektor af to punkter, tre punkter, etc.).Det er i denne ligning af flyet kan have forskellige former.Også visse betingelser flyet kan være parallelle, vinkelrette, krydsende etc.På denne og taler i denne artikel.Vi vil lære at gøre det samlede ligning af flyet og ikke kun.
Normal ligningen
Antag at der er et rum R3, som har et rektangulært koordinatsystem XYZ.Vi definerer vektor α, som vil blive frigivet fra det første punkt A. Gennem slutningen af vektor α trækker planet P, som er vinkelret på den.
Lad P på et vilkårligt punkt Q = (x, y, z).Radius vektor af punkt Q underskrive brevet s.Længden af vektoren α er lig med p = IαI og ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).
Det er en enhedsvektor, der er rettet til siden, samt vektor α.α, β, γ og - er vinklen dannet mellem vektoren ʋ og positiv retning af akserne i rummet x, y, z, henholdsvis.Projektionen af et punkt på vektoren ʋ QεP er en konstant, som er lig med p (p, ʋ) = p (r≥0).
Ovenstående ligning giver mening, når p = 0.Den eneste plan P i dette tilfælde vil overskride punkt D (α = 0), som er oprindelsen og enhedsvektor ʋ, frigives fra det punkt O vil være vinkelret på P, trods sin retning, hvilket betyder, at vektoren ʋ bestemtop til at underskrive.Foregående ligning er vores planet II, udtrykt i vektor form.Men i koordinaterne for sin art til at være så:
P er større end eller lig med 0. Vi har fundet ligningen af flyet i rummet i en normal måde.
generelle ligning
Hvis ligningen i koordinaterne formere et vilkårligt antal, der ikke er lig med nul, får vi ligningen svarende til denne, som definerer selve flyet.Det vil have en visning:
Her A, B, C - er nummeret på samme tid forskellig fra nul.Denne ligning er benævnt planet ligning med den almene form.
ligning af flyet.Særlige tilfælde
ligning i generelle form kan modificeres med yderligere betingelser.Overveje nogle af dem.
antage, at koefficienten A er lig med 0. Dette betyder, at flyet er parallel med en given akse Ox.I dette tilfælde skal ændre form af ligningen: Vu + Cz + D = 0.
lignende form af ligningen vil ændre sig, og under følgende betingelser:
- først, når B = 0, så ligningen ændringer til Ax + Cz + D = 0, der indikerer, parallel med y-aksen.
- andet, hvis C = 0, ligningen er omdannet til Ax + By + D = 0, vil der være tale om parallel med forudbestemte akse Oz.
- tredje, når D = 0, vil ligningen ligner Ax + By + Cz = 0, hvilket ville betyde, at plan skærer O (oprindelse).
- fjerde, hvis A = B = 0, så ligningen ændringer Cz + D = 0, som vil vise sig parallelt med Oxy.
- femte hvis B = C = 0 er ligningen bliver Ax + D = 0, hvilket betyder, at flyet er parallel med Oyz.
- sjette, hvis A = C = 0 er ligningen tager form Vu + D = 0, så vil der være parallel med rapporten Oxz.
typen ligninger i sektioner af
I tilfælde, hvor antallet af A, B, C, D er forskellige fra nul, i form af ligningen (0) kan være som følger:
x / a + y / b + z / a= 1,
hvor en = -D / A, b = -D / B, C = -D / C.
Få et resultat ligning af flyet i stykker.Det skal bemærkes, at dette plan skærer aksen Ox ved koordinater (a, 0,0), Dy - (0, b, 0) og Oz - (0,0, s).
På baggrund af ligningen x / a + y / b + z / c = 1, er det let at visualisere placeringen af plan i forhold til et givet koordinatsystem.
koordinater af den normale vektor
normal vektor n til planet P har koordinater, som er koefficienterne i det generelle udtryk af flyet, dvs. n (A, B, C).
For at bestemme koordinaterne for det normale n, er nok til at vide den generelle ligning for en given plan.
Ved anvendelse ligninger i segmenter, som har formen x / a + y / b + z / c = 1, som ved brug af generelle ligning kan skrives koordinater enhver normal vektor en given plan: (1 / a + 1 / b +1 / s).
værd at bemærke, at den normale vektor er med til at løse forskellige problemer.De mest almindelige er de problemer, er et bevis på vinkelrette eller parallelle planer, til opgave at finde vinklerne mellem fly eller vinkler mellem fly og linjer.
view fly ligning efter koordinaterne for det punkt, og den normale vektor
nul vektor n, vinkelret på en given planet, kaldet normal (normal) for en given plan.
antage, at koordinatsystemet plads (et rektangulært koordinatsystem) Oxyz spurgte:
- Mₒ punkt med koordinaterne (hₒ, uₒ, zₒ);
- nul vektor n = A * i + j + B C * * k.
nødvendigt at gøre ligningen af flyet, der passerer gennem punktet vinkelret på normale Mₒ n.I rummet
vælge en vilkårligt punkt og lad hende M (x y, z).Lad radius vektor af ethvert punkt M (x, y, z) er r = x * i + y * j + z * k, og radius vektor af punktet Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* j + zₒ * k.Pointen M tilhører en bestemt plan, hvis vektoren er vinkelret på vektoren MₒM n.Vi skriver orthogonality tilstand ved hjælp af skalar produkt:
[MₒM, n] = 0.
Siden MₒM = r-rₒ vil vektor ligning af flyet se således ud:
[r - rₒ, n] = 0.
Denne ligning kan have en anden form.Til dette formål, egenskaber skalarproduktet og transformeret den venstre side af ligningen.[r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n].Hvis [rₒ, n] betegnes som s, får vi følgende ligning: [r, n] - c = 0 eller [R, n] = s, som udtrykker sammenhængen i fremskrivningerne på den normale vektor af radius-vektorer af de givne punkter, der hører til flyet.
Nu kan du få den slags optagelse koordinere vores planet vektor ligning [r - rₒ, n] = 0. Da r-rₒ = (x-hₒ) * I + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * kog n = A * i + j + B C * * k, vi har:
viser sig, dannes i vores ligning af plan, som går gennem punktet vinkelret på normale n:
A * (x hₒ) + B *(uₒ y) S * (z-zₒ) = 0.
Type af flyet ligning ifølge koordinaterne for to punkter og en vektor kolineære fly
Definer to punkter M '(x', y ', z'), og M '(x ", y", Z "), såvel som vektor en(A ', A "og' '').
Nu kan vi sætte lighedstegn mellem en given plan, som vil finde sted gennem de eksisterende punkter M og M ", såvel som ethvert punkt M med koordinater (x, y, z) parallelt med en given vektor.
Denne M'M vektorer {x, x ', y, y'; zz '} og M "M = {x" -x', y 'y', z "z"} skal være i samme planvektor a = (a ', a ", a' ''), og at organer (M'M, M 'M, a) = 0.
Så vores ligning af et fly i rummet ville se sådan ud:
typen ligning flyet skærer de tre punkter
formoder, at vi har tre punkter (x ', y', z '), (x', y"z"), (x '' 'Har' '', z '' '), der ikke tilhører den samme linje.Det er nødvendigt at skrive ligningen for plan gennem de angivne tre punkter.Teorien om geometri hævder, at denne form for plan findes, det er bare en og kun.Da dette plan skærer punktet (x ', y', z '), i form af dens ligning er som følger:
Her A, B, og C er forskellig fra nul på samme tid.Også givet plan skærer de to punkter (x ', y', z '), og (x' '' Har '' ', z' '').I den forbindelse bør udføres denne form for betingelser:
Nu kan vi skabe et ensartet system af ligninger (lineære) med ubekendte u, v, w:
i vores tilfælde, x, y eller z forekommer vilkårligt punkt, der tilfredsstillerLigning (1).I betragtning af ligning (1) og et system af ligninger (2) og (3), et system af ligninger vist i figuren ovenfor vektor tilfredsstiller N (A, B, C), som er nontrivial.Det er fordi determinanten af systemet er nul.
ligning (1), som vi har fået, er dette ligningen af flyet.Efter 3 punkt hun virkelig går, og det er let at kontrollere.For at gøre dette, vi nedbrydes determinanten af de elementer, der ligger i første række.Af de eksisterende egenskaber determinanten det indebærer, at vores planet samtidig tre kors oprindeligt givne punkter (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x '' 'Har' '', z '' ').Så vi besluttede at sætte foran os.
toplansvinkel mellem planerne
toplansvinklen er en rumlig geometrisk form dannet af to halve fly, der kommer fra den samme linje.Med andre ord, denne del af rummet, som er begrænset til det halvplan.
Antag vi har to planer med følgende ligninger:
Vi ved, at vektorerne N = (A, B, C) og Nl = (A¹, H¹, S¹) i henhold til den indstillede vinkelrette planer.I denne henseende er vinklen φ mellem vektorerne N og Nl lige vinkel (planer), som er placeret mellem disse planer.Det skalar produkt er givet ved:
NN¹ = | N || Nl | cos φ,
netop fordi
coscp = NN¹ / | N || Nl | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (a² + V²s² +)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).
er nok til at antage, at 0≤φ≤π.
faktisk to fly, der skærer til at danne to vinkler (planer): φ1 og φ2.Beløbet er lig med deres π (φ1 + φ2 = π).Som for deres cosines, deres absolutte værdier er ens, men de er forskellige tegn, der er, cos φ1 = -cos φ2.Hvis i ligningen (0) erstattes af A, B og C i -A, -B og -C henholdsvis ligningen, får vi, vil bestemme den samme plan, kun vinklen φ i ligningen cos φ = NN1 / | N|| N1 | vil blive erstattet af π-φ.
ligning vinkelret på planet vinkelret på
kaldes plan, mellem hvilke vinklen er 90 grader.Brug af materiale, der præsenteres ovenfor, kan vi finde ligningen for et plan vinkelret på den anden.Antag vi har to planer: ax + by + Cz + D = 0 og A¹h + + S¹z V¹u + D = 0.Vi kan sige, at de er vinkelrette hvis cos = 0.Det betyder, at AA¹ NN¹ = + + VV¹ SS¹ = 0.
ligning parallelle plan
Parallel kaldet to planer, der ikke indeholder fælles punkter.
tilstand parallelle planer (deres ligninger er de samme som i det foregående afsnit), er, at vektorerne N og Nl, som dem vinkelret, collinear.Det betyder, at følgende betingelser om proportionalitet:
A / A¹ = V / H¹ = C / S¹.
Hvis betingelserne om proportionalitet er forlænget - A / A¹ = V / H¹ = C / S¹ = DD¹,
indikerer dette, at data plan det samme.Det betyder, at ligningen Ax + By + Cz + D = 0 og + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 beskriver et enkelt plan.
afstand til flyet fra punktet
Antag, at vi har en plan P, som er givet ved ligning (0).Det er nødvendigt at finde hende afstand fra punktet med koordinaterne (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.For at gøre dette, er du nødt til at bringe ligningen for planet P i den normale form:
(ρ, v) = p (r≥0).
I dette tilfælde ρ (x, y, z) er radius vektor af vores Q, som ligger på n, P - er den vinkelrette afstand P, som er blevet udledt fra nulpunktet, v - er enhedsvektor, som er placeret i retning af en.
forskel ρ-ρº radius vektor af et punkt Q = (x, y, z), der ejes af P og radius vektor af et givet punkt Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) er en sådan vektor, den absolutte værdihvis fremskrivninger af v er lig med afstanden d, som er nødvendig for at finde fra Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) til P:
D = | (ρ-ρ0, v) |, men
(ρ-ρ0, v) = (ρ, v) - (ρ0, v) = p (ρ0, v).
Det viser sig,
d = | (ρ0, v) p |.
nu ses at beregne afstanden d fra Q0 til planet P, skal du bruge den normale form af ligningen flyet, skiftet til venstre for floden, og det sidste sted, x, y, z erstatning (hₒ, uₒ, zₒ).
Således finder vi den absolutte værdi af den resulterende udtryk, der søges d.
Brug af sprogindstillinger, får vi det indlysende:
d = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (a² + V² + s²).
Hvis et givet punkt Q0 er på den anden side af planet P som oprindelsen, mellem vektoren ρ-ρ0 og v er en stump vinkel, således:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) -p & gt; 0.
I det tilfælde, hvor punktet Q0 sammen med oprindelsen placeret på den samme side af U, den genererede vinkel er akut, som er:
d = (ρ-ρ0, v) = p - (ρ0, v) & gt;0.
Resultatet er, at i det første tilfælde (ρ0, v) & gt; p, den anden (ρ0, v) & lt; s.
tangent fly og dets ligning
Som for flyet til overfladen ved kontaktpunkt Mº - en plan, der indeholder alle mulige tangent til kurve trukket gennem det punkt på overfladen.
I denne type ligning af overfladen F (x, y, z) = 0 ligning af tangenten flyet på tangenten punkt Mº (hº, uº, zº) ville se sådan ud:
Fx (hº, uº, zº) (x hº)+ Fx (hº, uº, zº) (uº y) + Fx (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.
Hvis du angiver eksplicit overfladen z = f (x, y), er tangentialplan beskrevet ved ligningen:
z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y- uº).
skæringspunktet mellem to planer
i tre-dimensionelle rum er et koordinatsystem (rektangulære) Oxyz, givet to planer P 'og P ", der overlapper hinanden, og er ikke det samme.Siden helst plan, som er i et rektangulært koordinatsystem er defineret ved den generelle ligning, antager vi, at n 'og n "er givet ved ligningerne A'x + + V'u S'z + D' = 0 og A" x + B "Y +Med "D + z" = 0.I dette tilfælde har vi normalt n '(A', B ', C') af flyet P 'og den normale n' (A ', B', C ') af flyet P ".Som vores planet ikke er parallelle, og ikke falder sammen, er disse vektorer ikke collinear.Brug sproget i matematik, har vi denne tilstand kan skrives som: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * I ", λ * C"), λεR.Lad den lige linie, der ligger ved skæringspunktet P 'og P ", vil blive betegnet med bogstavet a, i dette tilfælde a = n' ∩ P".
a - dette er en direkte, som består af et sæt af punkter (samlet) fly P 'og P ".Det betyder, at koordinaterne for ethvert punkt der tilhører linjen og skal samtidig opfylder ligningen A'x + + V'u S'z + D '= 0 og A "x + B" y + C "z + D" = 0.Derefter vil koordinaterne for punktet være en bestemt løsning af følgende ligninger:
Resultatet er, at beslutningen (generelt) af ligningssystemet vil bestemme koordinaterne for hvert punkt på linjen, som vil være skæringspunktet P 'og P ", og for at bestemme den direkte ogi et koordinatsystem Oxyz (rektangulære) plads.
