Geometri er smukt fordi, i modsætning algebra, hvilket ikke altid er klart som hvad du mener, giver en visuel objekt.Denne vidunderlige verden af forskellige organer pryder regulære polyedre.
Forståelse regelmæssig polyedre
Ifølge mange, regelmæssige polyedre, eller som de kaldes de platoniske legemer har unikke egenskaber.Med disse objekter tilsluttet flere videnskabelige hypoteser.Når du begynder at studere de geometriske data i kroppen, indser du, at næsten ikke ved noget om et sådant begreb som regulære polyedre.Præsentationen af disse objekter i skolen er ikke altid interessant, så mange ikke engang huske, hvad de blev kaldt.I hukommelsen af de fleste mennesker er det bare en terning.Ingen af de organer i geometrien ikke besidder en sådan perfektion som regulære polyedre.Alle navnene på disse geometriske organer stammer fra det antikke Grækenland.De repræsenterer antallet af ansigter: den tetraeder - fire-sidet, heksaeder - Allen, oktaeder - oktaeder, dodekaeder - dodecahedral, ikosaeder - tyvefladet.Alle disse geometriske krop indtager en vigtig plads i Platons opfattelse af universet.Fire af dem repræsenterer elementer eller enheder: den tetraeder - brand ikosaeder - vand terning - jord, oktaeder - luft.Dodekahedron legemliggjort alle ting.Han blev betragtet som den vigtigste, fordi han var et symbol på universet.
generalisering af begrebet et polyeder
polyeder er et sæt af endeligt antal polygoner således at:
- hver side af nogen af polygoner er også den part af kun én anden polygon på samme side;
- fra hver af polygoner kan nås ved at gå til de andre tilstødende polygoner med ham.
polygoner udgør polyhedron er dets flader og deres side - ribben.Knudepunkter af er knudepunkter i de polygoner.Hvis du forstår ved begrebet en polygon flad lukkede polylinjer, så kom til en definition af et polyeder.I det tilfælde, hvor dette begreb forstås den del af det plan, som er afgrænset af punkterede linier, er det nødvendigt at forstå overfladen, der består af polygonale stykker.Konvekse polyeder kaldes legemet liggende på den ene side af planet, der støder op til dets flader.
En anden definition af et polyeder og dens elementer
polyeder er en overflade bestående af polygoner, hvilket begrænser den geometriske legeme.De er:
- ikke-konvekse;
- konveks (rigtigt og forkert).
regelmæssig polyhedron - er konveks polyeder med maksimal symmetri.Elementer af regulære polyedre:
- tetraeder 6 kanter, 4 ansigter, 5 knuder;
- hexahedron (terning) 12, 6, 8;
- Dodecahedron 30, 12, 20;
- oktaeder 12, 8, 6;
- ikosaeder: 30, 20, 12.
Eulers sætning
Den etablerer en relation mellem antallet af kanter, hjørner og ansigter er topologisk svarer til en kugle.Tilføjelse af antallet af knuder og ansigter (B + D) i forskellige regulære polyedre og sammenligne dem med antallet af ribben, kan du indstille én regel: summen af antallet af ansigter og toppunkter lig med antallet af kanter (F), forøget med 2. Du kan få vist en simpel formel:
- B + F = P + 2.
Denne formel gælder for alle konvekse polyedre.
Grundlæggende definitioner
begrebet en regelmæssig polyeder er umuligt at beskrive i én sætning.Det er en multi-værdi og volumen.Et organ at blive anerkendt som sådan, er det nødvendigt, at den opfylder en række definitioner.For eksempel vil den geometriske kroppen være en regelmæssig polyhedron i udførelsen af disse betingelser:
- er konvekse;
- det samme antal ribber konvergerer i hver af sine knuder;
- alle facetter af det - regulære polygoner, svarende til hinanden;
- alle toplansvinklerne er ens.
egenskaber af regulære polyedre
Der er 5 forskellige typer af regulære polyedre:
- Cube (heksaeder) - det har en flad vinkel på toppunktet er 90 °.Det har en 3-sidet hjørne.Summen af de plane vinkler på spidsen af 270 °.
- Tetrahedron - flad vinkel i toppen - 60 °.Det har en 3-sidet hjørne.Summen af de plane vinkler på spidsen - 180 °.
- Oktahedron - flad vinkel i toppen - 60 °.Det har en 4-sidet hjørne.Summen af de plane vinkler på spidsen - 240 °.
- Dodecahedron - en flad vinkel på toppen af 108 °.Det har en 3-sidet hjørne.Summen af de plane vinkler på spidsen - 324 °.
- ikosaeder - hans flad vinkel i toppen - 60 °.Det har 5-sidet hjørne.Summen af de plane vinkler på spidsen af 300 °.
Area
regulære polyedre Overfladearealet af geometriske faste stoffer (S) er beregnet som arealet af en regulær polygon, ganget med antallet af ansigter (G):
- S = (a: 2) x 2G CTG π / s.
volumen af en regelmæssig polyhedron
Denne værdi beregnes ved at gange mængden af en regulær pyramide, hvis grundlag er en regulær polygon, antallet af ansigter, og dens højde er radius af den indskrevne kugle (r):
- V = 1: 3R.
volumen af regelmæssig polyedre
Ligesom alle andre geometriske faste, regelmæssige polyedre har forskellige mængder.Nedenfor er de formler, som de kan beregnes:
- tetraeder: α x 3√2: 12;
- oktaeder: α x 3√2: 3;
- ikosaeder;α x 3;
- hexahedron (terning): a x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaeder: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elements regulære polyedre
heksaeder og oktaeder er dual geometriske organer.Med andre ord kan de komme ud af hinanden i tilfælde af, at det geometriske tyngdepunkt af den ene tages som toppen af den anden, og vice versa.Det er også den dobbelte icosahedron og dodecahedron.Myself Kun tetraeder er dual.Som Euclid kan fås fra en dodecahedron heksaeder ved at konstruere "tagene" på ansigterne af terningen.Toppunkterne af tetraeder er nogen 4 knudepunkter af terningen, ikke tilstødende par af ribben.Fra hexahedron (terning) kan opnås, og andre regelmæssige polyedre.På trods af at regulære polygoner har utallige, regelmæssig polyedre, er der kun 5.
radier af regulære polygoner
Med hver af disse geometriske organer knyttet 3 koncentriske sfærer:
- beskrevet passerer gennem sit højdepunkt;
- afmærket med hensyn til hver af sine ansigter i midten af det;
- median vedrørende alle kanter i midten.
radius af kuglen beregnes som beskrevet ved følgende formel:
- R = en: 2 x tg π / g x tg θ: 2.
radius af den indskrevne kugle beregnes som følger:
- R = en: 2 x CTGπ / p x tg θ: 2,
hvor θ - toplansvinkel, som er placeret mellem de tilstødende flader.
median radius af kuglen kan beregnes ved følgende formel:
- ρ = en cos tt / p: 2 sin π / t,
værdi, hvor h = 4,6, 6,10, eller 10. Forholdet mellem radier som beskrevet og indskrevetsymmetrisk i forhold til p og q.Den beregnes ved formlen:
- R / r = tg π / p x tg π / k.
Symmetry Symmetry polyedre
regulære polyedre er af primær interesse for disse geometriske organer.Det er underforstået, som en bevægelse af et legeme i rummet, hvilket efterlader det samme antal knuder og kanter.Med andre ord, under indflydelse af symmetri Transformations kant, vertex, ansigt eller bevarer sin oprindelige position, eller flytter til startpositionen på en anden ribbe, de andre toppunkter eller overflader.
regelmæssige polyedre symmetri elementer fælles for alle typer af geometriske faste stoffer.Her udføres om identiteten transformation, hvilket efterlader et eller flere af punkterne i den oprindelige position.Ved således at dreje det polygonale prisme kan modtage flere symmetrier.Enhver af disse kan være repræsenteret som produktet af refleksioner.Den symmetri, der er produktet af et lige antal refleksioner, kaldet direkte.Hvis det er et produkt af et ulige antal refleksioner, kaldes det tilbage.Således er alle vindingerne omkring linjen som en lige symmetri.Alle afspejling af polyhedron - en omvendt symmetri.
For bedre at forstå de elementer af symmetri af regulære polyedre, kan du tage eksemplet med en tetraeder.Enhver linje, der vil passere gennem et af de knudepunkter og centrum af denne geometrisk figur, vil passere gennem centrum og kanten modsat hende.Hver af hjørnerne 120 og 240 ° rundt linjen tilhører flertal tetraedrisk symmetri.Fordi han har 4 knudepunkter og ansigter, får vi i alt otte direkte symmetrier.Enhver af de linjer gennem midten af kanterne og midten af kroppen, passerer gennem midten af dens modstående kanter.Hver tur på 180 °, der kaldes en halv tur omkring linjen er en symmetri.Siden tetraeder, er der tre par ribben, får du tre linjer af symmetri.Baseret på ovenstående kan det konkluderes, at det samlede antal direkte symmetri, og herunder identiteten transformation, vil være op til tolv.Anden direkte symmetri tetraeder ikke eksisterer, men det har 12 invers symmetri.Derfor er tetraeder præget af i alt 24 symmetrier.For klarhedens skyld kan du bygge en model af en regelmæssig tetraeder lavet af pap og sørg for at det er det geometriske krop har virkelig kun 24 symmetri.
dodecahedron og ikosaeder - nærmest det område af kroppen.Den ikosaeder har det største antal ansigter, den største toplansvinkel og strammere alle kan klamre sig til den indskrevne sfære.Dodekaedret har den laveste kantede defekt, den største rumvinkel på toppen.Det kan beskrives som meget som muligt at fylde i anvendelsesområdet.
Sweep polyedre
Regelmæssig polyedre scanning, som vi alle bundet i barndommen har en masse begreber.Hvis der er et sæt af polygoner, er hver sidelængde på identificeret med kun den ene side af polyeder, skal identifikationen af parterne overholder to betingelser:
- af hver polygon, kan man gå til en polygon med sider identificeres;
- identificerbare parter skal have samme længde.
Det er et sæt af polygoner, der opfylder disse betingelser og kaldes scanning polyeder.Hvert af disse organer har flere af dem.For eksempel en terning har 11 stykker af dem.
