mekanisk system, der består af et materiale punkt (kroppen), hængende på vægtløs strækbare filamenter (dens masse er ubetydelig i forhold til vægten af kroppen) på en ensartet tyngdefelt, kaldet den matematiske pendul (et andet navn - oscillatoren).Der er andre typer af enheder.I stedet for et filament kan anvendes vægtløs stang.Pendulum kan tydeligt afslører essensen af mange interessante fænomener.Ved lave amplitude udsving i dens bevægelse kaldes harmonisk.
Forståelse af mekaniske system
Formel periode pendulets svingning blev avlet hollandske videnskabsmand Huygens (1629-1695 gg.).Denne moderne af Isaac Newton var meget glad for det mekaniske system.I 1656 skabte han den første ur med et pendul mekanisme.De målte tiden med ekstrem præcision for disse tider.Denne opfindelse var et stort skridt i udviklingen af fysiske eksperimenter og praktiske aktiviteter.
Hvis pendulet er i sin ligevægt position (hænger lodret), tyngdekraften er afbalanceret med kraft trådspændingen.Flad pendul på et ikke-strækbar garn er et system med to frihedsgrader med et link.Hvis du ændrer kun ét element i ændringen karakteristika for alle dets dele.Hvis således en streng erstattes af en stang, derefter givet mekanisk system er kun en frihedsgrad.Hvilke egenskaber matematiske pendul?I dette simple system under indflydelse af en periodisk forstyrrelse er kaos.I det tilfælde, hvor punktet for suspensionen ikke bevæger sig, og svinger pendulet vises en ny ligevægtsposition.Hvis bliver hurtige udsving op og ned det mekaniske system stabile position "på hovedet".Det har også sit navn.Det kaldes Kapitza pendul.
Ejendomme
pendul Pendulum har meget interessante egenskaber.Alle af dem understøttes af velkendte fysiske love.Perioden for pendulets svingning enhver anden afhænger af forskellige faktorer såsom størrelsen og formen af kroppen, afstanden mellem punktet for suspension og tyngdepunkt, vægtfordeling i forhold til dette punkt.Det er derfor definitionen af perioden med den hængende krop er ganske udfordrende.Det er meget lettere at beregne den periode af et enkelt pendul, hvis formel er angivet nedenfor.Som følge af observationer af sådanne mekaniske systemer kan indstilles sådanne love:
• Hvis, og samtidig opretholde den samme længde af pendulet, suspenderede forskellige belastninger, den periode oscillation modtog den samme, selv om deres vægt vil variere meget.Derfor perioden for en sådan pendul er uafhængig af belastningen masse.
• Hvis systemet begynder at aflede pendulet er ikke for stor, men forskellige vinkler, vil det svinge med samme periode, men i forskellige amplituder.Så længe afvigelsen fra midten af balance er ikke alt for store udsving i deres form, er tæt nok harmonisk.Perioden for pendulet afhænger ikke vibrations amplitude.Denne egenskab af det mekaniske system kaldes isochronism (i Græsk "Chronos" - tid "Izosov" - lige).
periode på en simpel pendul
Dette tal repræsenterer en periode af naturlige svingninger.Trods den komplicerede formulering, processen er meget enkel.Hvis længden af gevindet på en simpel pendul L og tyngdeaccelerationen g, så er denne værdi:
T = 2π√L / g
lille periode egensvingninger på ingen måde uafhængig af massen af pendulet og amplituden af svingningen.I dette tilfælde pendulet bevæger sig som en matematisk længde herfra.
Udsving matematiske pendul
Pendulum svinger, som kan beskrives ved en simpel differentialligning:
x + ω2 sin x = 0,
hvor x (t) - ukendt funktion (dette er vinklen på afvigelsen fra den nederste ligevægtsstillingentidspunkt t, udtrykt i radianer);ω - en positiv konstant, som er bestemt af parametrene for pendulet (ω = √g / L, hvor g - er tyngdeaccelerationen, og L -. længden af en enkelt pendul (suspension)
ligning af små svingninger i nærheden ligevægtsstillingen (harmoniske ligning) er som følger:..
x + ω2 sin x = 0
vibrationelle bevægelse af pendulet
Pendulum, der gør små svingninger, flytter sinusoid Den differentialligning af anden orden opfylder alle krav og parametre for en sådan bevægelse For at bestemme den sti, du har brug for at indstille hastigheden og koordinater,som senere bestemt de uafhængige konstanter:
x = a sin (θ0 + ωt),
hvor θ0 - den indledende fase, A - amplituden af svingning, ω - kantet frekvens, som bestemmes ud fra ligningen af bevægelse
Pendul (formlen for store.amplituder)
Dette mekaniske system, gøre deres vibrationer med betydelig amplitude er underlagt mere komplekse færdselsregler.For sådan et pendul de beregnes efter formlen:
sin x / 2 = u * sn (ωt / u),
hvor sn - Jacobi sinus, som for u & lt;1 er en periodisk funktion, og for små u den falder sammen med simple trigonometriske sinus.U-værdier bestemmes ved følgende udtryk:
u = (ε + ω2) / 2ω2,
hvor ε = E / ML2 (ML2 - energi af pendulet).
Bestemmelse af oscillation periode en ikke-lineær pendul udføres ved formlen:
T = 2π / Ω,
hvor Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - elliptisk integral, π - 3,14.
pendulbevægelse på separatrixen
kaldes separatrixen bane af det dynamiske system, hvori et todimensionalt faserummet.Pendulum bevæger sig på noncyclic.I et uendeligt fjernt tidspunkt falder han fra den øverste stilling i retning af hastigheden nul og derefter gradvist få det.Han til sidst stoppet, vender tilbage til sin oprindelige position.
Hvis amplituden af pendulets svingning nærmer antallet π , dette tyder på, at bevægelse i fase flyet er tæt på separatrixen.I dette tilfælde, under indflydelse af små periodiske drivkraft mekanisk system udviser kaotisk adfærd.
I tilfælde af en simpel pendul fra ligevægtsstillingen med en vinkel φ opstår tangential tyngdekraft Fτ = -mg synd φ."Minus" tegnet betyder, at den tangentielle komponent er rettet mod den modsatte side af pendulet.Ved udpegning af med x pendul forskydning langs en cirkelbue med radius L dens vinkelforskydning er lig med Ø = x / L.Isaac Newtons anden lov, der er designet til fremskrivninger af vektoren acceleration og giver den ønskede værdi:
mg τ = Fτ = -mg sin x / L
Baseret på dette forhold, er det klart, at pendulet er en ikke-lineær system fordi den kraftsom har tendens til at returnere den til en ligevægtsposition er ikke altid proportional med forskydningen af x, og sin x / L.
Først når den matematiske pendul udfører små vibrationer, er det harmoniske oscillator.Med andre ord bliver det et mekanisk system stand til at udføre harmoniske svingninger.Denne tilnærmelse er gyldig for næsten vinkler 15-20 °.Pendul med store amplituder er ikke harmonisk.
Newtons lov for små svingninger af et pendul
Hvis det mekaniske system udfører små svingninger, vil den 2. lov Newton se således ud:
mg τ = Fτ = -m * g / L * x.
På dette grundlag kan vi konkludere, at den tangentielle acceleration på en simpel pendul er proportional med dets forskydning med tegnet "minus".Dette er en tilstand, hvor systemet bliver en harmonisk oscillator.Modul proportionalitet faktor mellem forskydningen og accelerationen er lig med kvadratet på vinkelfrekvensen:
ω02 = g / l;ω0 = √ g / L.
Denne formel afspejler den naturlige frekvens af små svingninger af denne type pendul.På dette grundlag
T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.
Beregninger baseret på loven om bevarelse af energi
Egenskaber af oscillerende bevægelse af pendulet kan beskrives ved hjælp af loven om bevarelse af energi.Det skal erindres, at den potentielle energi af pendulet i et tyngdefelt er lig med:
E = mgΔh = MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2
fuld mekanisk kinetisk energi lig med eller maksimale potentiale: Epmax = Ekmsx = E
Når du har skrevet loven om bevarelse af energi, idet den afledte af den venstre og højre side af ligningen:
Ep + Ek = konst
Siden den afledte af de konstante værdier lig med 0, så (Ep + Ek) '= 0. derivat er lig med summen afsum deraf:
Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * V + Ek' = (MV2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,
således:
Mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + m a) = 0.
Fra den sidste formel finder vi:α = - g / L * x.
Praktisk anvendelse af matematisk pendul
tyngdeaccelerationen varierer med breddegrad, fordi tætheden af Jordens skorpe på planeten er ikke det samme.Hvor sten forekomme med højere densitet, vil det være noget højere.Fremskyndelse af matematisk pendul bruges ofte til udforskning.I at søge hjælp fra en række forskellige mineraler.Simpelthen at tælle antallet af svingninger af et pendul, kan findes i jordens indre kul eller malm.Dette skyldes, at disse midler har en densitet og masse større end liggende under løse sten.
matematiske pendul, der anvendes af sådanne fremtrædende lærde som Sokrates, Aristoteles, Platon, Plutarch, Arkimedes.Mange af dem mente, at det mekaniske system kan påvirke skæbne og liv for mennesket.Archimedes anvendes en matematisk pendul på hans beregninger.I dag, mange healere og okkultister bruge dette mekaniske system til gennemførelsen af sine profetier, eller eftersøgningen af forsvundne mennesker.
berømte franske astronom og videnskabsmand K. Flammarion for deres forskning også brugt det matematiske pendul.Han hævdede, at med hans hjælp var han i stand til at forudsige opdagelsen af en ny planet, udseendet af Tunguska meteorit, og andre vigtige begivenheder.Under Anden Verdenskrig i Tyskland (Berlin) er en specialiseret institut af pendulet.I dag er denne forskning beskæftiger München Institut for parapsykologi.Hans arbejde med pendulet personalet i denne institution kaldet "radiesteziey."
