Diese geometrischen Formen sind überall um uns herum.Konvexe Polygone sind natürlich, wie beispielsweise eine Wabe oder künstliche (vom Menschen verursachten).Diese Zahlen werden in der Herstellung von verschiedenen Arten von Beschichtungen, Malerei, Architektur, Dekoration, etc. verwendet werden,Konvexe Polygone haben die Eigenschaft, dass alle ihre Punkte sind auf der gleichen Seite der Linie, die durch ein Paar von benachbarten Scheiteln der geometrischen Figur verläuft.Es gibt noch andere Definitionen.Eine konvexe Polygon heißt eine, die in einem einzigen Halbebene in Bezug auf jede Zeile, die einer seiner Seiten befindet.
konvexe Polygone
Der Kurs der elementaren Geometrie sind immer sehr einfach Polygone behandelt.Um alle Eigenschaften geometrischer Figuren zu sehen ist notwendig, um ihre Natur zu verstehen.Zu beginnen, um zu verstehen, das geschlossen ist, jede Linie, deren Enden die gleichen sind.Und die von ihm gebildete Gestalt, kann eine Vielzahl von Konfigurationen.Polygon wird als eine einfache geschlossene gebrochene Linie, bei benachbarten Einheiten sind nicht auf der gleichen Linie liegt.Ihre Verbindungen und Knoten jeweils Seiten und Ecken der geometrischen Figur.Einfache Polylinie darf sich nicht überschneiden.
benachbarten Scheitelpunkte des Polygons werden als in dem Fall, dass sie die Enden einer seiner Seiten.Eine geometrische Figur, die eine n-te Reihe von Ecken hat, und damit die n-te Reihe von Parteien genannt n-Eck.Samu gestrichelte Linie bezeichnet die Grenze oder Kontur der geometrischen Figur.Polygonale Ebene oder flachen Polygon bezeichnet den letzten Teil einer beliebigen Ebene, begrenzt sie.Benachbarten Seiten der geometrischen Figur bezeichnet die gestrichelte Linie Segmente von einem Scheitelpunkt ausgeht.Sie werden nicht Nachbarn, wenn sie auf unterschiedlichen Eckpunkte des Polygons berechnet.
andere Definitionen konvexe Polygone
In Elementargeometrie, gibt es mehrere gleichbedeutend Definitionen, was darauf hinweist, was man eine konvexe Polygon.Darüber hinaus sind alle diese Erklärungen ebenso wahr.Eine konvexe Polygon ist derjenige, hat:
• jedes Segment, das zwei beliebige Punkte in ihm verbindet, liegt vollständig in ihm;
• liegen darin alle seine Diagonalen;
• alle Innenwinkel kleiner als 180 °.
Polygon immer das Flugzeug in zwei Teile teilt.Einer von ihnen - das beschränkt (es kann in einem Kreis eingeschlossen werden), und die anderen - unbegrenzt.Der erste wird als der innere Bereich und der zweite - der äußere Bereich der geometrischen Figur.Dieser ist der Schnittpunkt des Polygons (mit anderen Worten - das gemeinsame Bauteil) mehrerer Halbebenen.Zusätzlich ist jedes Segment mit Enden an den Punkten, die zu dem Polygon gehören, wird vollständig von ihm gehört.
Species konvexe Polygone
Definition eines konvexen Polygons zeigt nicht an, dass es viele Arten von ihnen.Und jeder von ihnen hat bestimmte Kriterien.Für konvexe Polygone, die einen Innenwinkel von 180 ° aufweisen, genannt Ausbuchtungen geringfügig.Konvexe geometrische Figur, die drei Spitzen hat, eine so genannte Dreieck, vier - Viereck, fünf - das Pentagon, und so weiter D. Jeder der konvexen n-Eck erfüllt folgende wichtige Anforderungen:. N muss gleich oder größer als 3 Jedes der Dreiecke ist konvex.Die geometrische Figur dieser Art, bei denen alle Ecken sind auf dem gleichen Kreis, genannt Inkreises.Beschrieben konvexe Polygon heißt, wenn alle seine Seiten berühren den Kreis um sie.Zwei Polygone Equal nur im Fall bei der Verwendung des Overlay kombiniert werden können.Flach Polygon eine polygonale Ebene (der Ebene), die auf diese geometrische Figur begrenzt wird aufgerufen.
regelmäßig konvexen Vielecks
regelmäßige Vielecke wird geometrische Formen mit gleichen Winkeln und Seiten aufgerufen.In ihnen gibt es einen Punkt 0, der in gleichem Abstand von jeder seiner Ecken ist.Man nennt sie die Mitte dieser geometrischen Figur.Segment verbindet das Zentrum mit den Scheitelpunkten der geometrischen Figur namens apothem, und diejenigen, die den Punkt 0 zu verbinden mit den Parteien - Radien.
richtige Viereck - ein Quadrat.Das rechte Dreieck heißt gleichseitig ist.Für diese Figuren gilt folgende Regel: jede Ecke eines konvexen Polygons 180 ° * (n-2) / n, wobei n
- die Anzahl der Ecken der konvexen Geometrie.
Fläche jedes regulären Polygons wird durch folgende Formel bestimmt:
S = p * h,
wobei p gleich der Hälfte der Summe der Seiten des Polygons ist, und h die Länge der apothem.
Eigenschaften konvexe Polygone
konvexe Polygone haben bestimmte Eigenschaften.Somit wird ein Segment, das zwei beliebigen Punkten einer geometrischen Figur verbindet, notwendigerweise darin angeordnet.Beweis:
annehmen, dass P - das konvexe Polygon.Nehmen Sie zwei beliebige Punkte, wie zB A, B, die mit P. gehören Durch die aktuelle Definition eines konvexen Polygons, diese Punkte auf einer Seite der geraden Linie, die jede Richtung R. Folglich enthält gelegen, hat AB auch diese Eigenschaft und wird in R. A konvexe Polygon immer enthaltenkann in mehrere Dreiecke absolut alle Diagonalen, die einer seiner Spitzen gehalten aufgeteilt werden.
konvexen Winkel der geometrischen Formen
Winkel eines konvexen Polygons - der Winkel, der von den Parteien gebildet werden.Die inneren Ecken im inneren Bereich der geometrischen Figur.Der Winkel, der von den Parteien, die an einem Scheitelpunkt treffen gebildet ist, die so genannte Winkel eines konvexen Polygons.Die angrenzend an den inneren Ecken der geometrischen Figur Ecken genannten externen.Jede Ecke eines konvexen Polygons, im Inneren befindet sich:
180 ° - x, wobei x
- der Wert der äußeren Ecke.Diese einfache Formel gilt für jede Art von geometrischen Formen, wie z.
Im allgemeinen wird für den äußeren Ecken ist die Regel: jede Ecke eines konvexen Polygons gleich der Differenz zwischen 180 ° und dem Wert der inneren Ecke.Es kann Werte im Bereich von -180 ° bis 180 ° aufweisen.Folglich wird, wenn der Innenwinkel 120 ° beträgt, wird die Erscheinung einen Wert von 60 ° aufweisen.
Summe der Winkel von konvexen Polygonen
Summe der Innenwinkel eines konvexen Polygon wird durch die folgende Formel festgelegt:
180 ° * (n-2),
wobei n - die Anzahl der Ecken des n-Ecks.
Summe der Winkel eines konvexen Polygons wird einfach berechnet.Betrachten Sie solche geometrischen Formen.Um die Summe der Winkel in einem konvexen Polygon bestimmen, muss einer seiner Ecken an anderen Ecken verbunden werden.Als ein Ergebnis dieses Vorgangs dreht sich (n-2) des Dreiecks.Es ist bekannt, dass die Summe der Winkel von jedem Dreieck ist immer 180 °.Da die Anzahl in jedem Polygon gleich (n-2), wobei die Summe der Innenwinkel der Figur ist gleich 180 ° x (n-2).
Summe der Winkel eines konvexen Polygon, nämlich je zwei benachbarten inneren und äußeren Kanten und an diesem konvexen geometrischen Figur wird immer gleich 180 ° sein.
180 x n: Auf dieser Grundlage kann man die Summe aller seiner Winkel definieren.
Summe der Innenwinkel von 180 ° * (n-2).Entsprechend wird die Summe aller den äußeren Ecken der Figur durch die Formel festgelegt:
180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.
Summe der Außenwinkel jedes konvexe Polygon immer gleich 360º (unabhängig von der Anzahl ihrer Seiten) sein.Außeneck
konvexe Polygon ist allgemein durch die Differenz zwischen 180 ° und dem Wert des Innenwinkel dargestellt.
Andere Eigenschaften eines konvexen Polygons
Neben diesen grundlegenden Eigenschaften von geometrischen Figuren, sie haben auch andere, die beim Umgang mit ihnen entstehen.Somit kann jedes der Polygone in mehrere konvexe n-Ecks aufgeteilt werden.Sie müssen jeder ihrer Seiten weiter und schneiden Sie die geometrische Form entlang dieser Geraden.Aufgeteilt jede Polygon in mehrere konvexe Abschnitte und kann so sein, daß die Spitze jedes der Stücke abgestimmt mit allen Scheitelpunkten.Aus einer geometrischen Figur kann sehr einfach sein, um Dreiecke durch alle Diagonalen von einem Scheitelpunkt treffen.Somit kann jedes Polygon kann im Grunde in eine bestimmte Anzahl von Dreiecken, die sehr nützlich bei der Lösung verschiedener Probleme mit diesen geometrischen Formen zugeordnet ist, aufgeteilt werden.
Umfang eines konvexen Polygons
Polyliniensegmente, genannt Seiten des Polygons, die oft durch die folgenden Buchstaben angegeben: ab, bc, cd, de, ea.Diese Seite der geometrischen Formen mit den Eckpunkten a, b, c, d, e.Die Summe der Längen der Seiten eines konvexen Polygons ihres Umfangs bezeichnet.
Umfang Polygon
konvexe Polygone können beschriftet und beschrieben werden.Umfang über alle Seiten der geometrischen Figur namens in sie eingeschrieben.Dies ist eine beschriebene Polygon bezeichnet.Mittelkreis, die in einem Polygon eingeschrieben wird, ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Winkel innerhalb eines gegebenen geometrischen Figur.Die Fläche des Polygons gleich:
s = p * r,
wobei r - Radius des eingeschriebenen Kreises und p - semiperimeter gegebenen Polygons.
Kreises, der die Scheitelpunkte des von ihm beschriebenen Polygon bezeichnet.Darüber hinaus diese konvexe geometrische Figur namens eingetragen.Mittelkreis über dieses Polygon beschrieben ist der Schnittpunkt der so genannten midperpendiculars allen Seiten.
Diagonalen von konvexen geometrischen Formen
Diagonalen eines konvexen Polygons - ein Segment, das benachbarte Ecken verbindet nicht.Jeder von ihnen ist in der geometrischen Form.Die Anzahl der Diagonalen des n-Ecks wird nach der Formel eingestellt:
N = n (n - 3) / 2
diagonal konvexe Polygonzahl in der Elementargeometrie wichtig.- 2.
Anzahl der Diagonalen eines konvexen Polygons ist immer abhängig von der Anzahl der Ecken
K = n: die Anzahl der Dreiecke (R), der jedes konvexen Polygons durchbrechen kann, wird wie folgt berechnet.
Splitting konvexe Polygon
In einigen Fällen kann die Geometrie Aufgaben in mehrere konvexe Polygon die Dreiecke mit disjunkten Diagonalen geteilt werden.Dieses Problem kann durch Entfernen bestimmter Formel gelöst werden.
bestimmte Aufgaben: rufen Sie die richtige Art von Partition eines konvexen n-Eck für mehrere Dreiecke Diagonalen sich nur an den Eckpunkten einer geometrischen Figur.
Lösung: Nehmen wir an, P1, P2, P3, ..., Pn - der Anfang der n-Eck.Anzahl Xn - die Zahl ihrer Partitionen.Überprüfen Sie sorgfältig die resultierende Diagonale geometrische Figur Pi Pn.In jeder der korrekten Partitionen P1 Pn gehört zu einer bestimmten Dreiecks P1 Pi Pn, wobei 1 & lt; i & lt; n.Auf dieser Grundlage und unter der Annahme, dass i = 2,3,4 ..., n-1 erhalten wird (n-2) von diesen Partitionen, die alle möglichen Sonderfälle sind.
Let i = 2 für eine Gruppe der regelmäßigen Partitionen immer eine diagonale P2 Pn enthält.Die Anzahl von Partitionen, die ein Teil davon sind, mit der Anzahl der Partitionen (n-1) -gon P2 P3 P4 ... Pn zusammenfällt.Mit anderen Worten, es ist gleich Xn-1.
Wenn i = 3, dann die andere Gruppe Partitionen enthält immer eine diagonale P3 P1 und P3 Pn.Die Anzahl der korrekten Partitionen, die in der Gruppe enthalten sind, wird mit der Anzahl der Partitionen (n-2) -gon P3, P4 ... Pn zusammenfallen.Mit anderen Worten, es wird Xn-2 sein.
Lassen i = 4, dann unter den Dreiecken sicher richtig Partition wird ein Dreieck P4 P1 Pn, die das Viereck P1 P2, P3, P4 angrenzen wird, (n-3) -gon P5 P4 ... Pn enthalten.Die Anzahl der korrekten Partitionen, z Vierecks gleich X4 und die Partitionsnummer (n-3) -gon gleich Xn-3.Basierend auf dem Vorstehenden kann man sagen, dass die Gesamtzahl der regelmäßigen Partitionen, die in dieser Gruppe enthalten sind, gleich Xn-3 X4 ist.Andere Gruppen, die i = 4, 5, 6, 7 ... wird Xn-4 X5, X6 Xn-5, Xn-6 X7 enthalten ... regelmäßige Partitionen.
Let i = n-2 ist die gleiche wie die Anzahl von Unterteilungen in der Gruppe, in der i = 2 (mit anderen Worten, gleich Xn-1) die Anzahl von Unterteilungen in der rechten Gruppe.
Da X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2, ..., dann wird die Anzahl von Unterteilungen von konvexen Polygonen entsprechen:
Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 + Xn-X4 X5 + 4 ...5 + X 4 + Xn-Xn-3 X4 + Xn-2 + Xn-1.
Beispiel:
X5 = X4 + X3 + X4 = 5
X6 = X5 X4 + + + X4 X5 = 14
X7 = X6 + X5 + X4 * + X4 X5 X6 + = 42
X8 X7 =+ X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132
korrekte Anzahl von Laufwerken in einem diagonalen Kreuz
Beim Testen besonderen Fällen kann angenommen werden, dass die Anzahl der Diagonalen von konvexen n-Eck gleich dem Produkt aller PartitionenZahl auf (n-3).
Beweis für diese Hypothese: sich vorstellen, dass P1n = Xn * (n-3), dann ist jede n-Eck kann in (n-2) ein Dreieck geteilt werden.Außerdem wurden aus ihnen gestapelt werden können (n-3) -chetyrehugolnik.Darüber hinaus ist jedes Viereck diagonal.Da diese konvexe geometrische Figur kann zwei Diagonalen, durchgeführt werden, was bedeutet, dass in alle (n-3) können zusätzliche -chetyrehugolnikah halten Diagonale (n-3).Auf dieser Basis können wir, dass in jedem Recht ist es möglich, für die Durchführung der Partition (n-3) -diagonali, die die Bedingungen dieses Problems gerecht zu schließen.
Fläche konvexe Polygone
häufig in Lösung verschiedener Probleme der Elementargeometrie notwendig wird, die Fläche eines konvexen Polygons zu bestimmen.Annehmen, daß (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n stellt eine Sequenz von Koordinaten aller benachbarten Scheitelpunkten eines Polygons ohne Selbstüberschneidungen.In diesem Fall wird die Umgebung durch die folgende Formel berechnet:
S = ½ (Σ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)),
wobei (X1, Y1) = (Xn + 1, Yn + 1).
