Diagonal ein gleichseitiges Trapez.

-Line - ist ein spezieller Fall eines Vierecks, das ein Paar von parallelen Seiten aufweist.Der Begriff "Keystone" ist vom griechischen Wort τράπεζα abgeleitet und bedeutet "Tisch", "Tabelle".In diesem Artikel betrachten wir die Art von Trapez und seine Eigenschaften.Außerdem betrachten wir, wie die einzelnen Elemente der geometrischen Figur zu berechnen.Zum Beispiel die Diagonale eines gleichschenkligen Trapezes, der mittleren Linie, Fläche, und andere. Das Material ist im Stil des beliebten elementaren Geometrie, t. E. präsentiert in einer leicht zugänglichen Form.

Allgemeine

Lassen Sie uns zunächst verstehen, was das Viereck.Diese Figur ist ein Spezialfall eines Polygons mit vier Seiten und vier Ecken.Zwei Ecken des Vierecks, die nicht benachbart sind, gegenüberliegend bezeichnet.Das gleiche gilt für die zwei nicht benachbarten Seiten gesagt werden.Die wichtigsten Arten von Vierecken - ein Parallelogramm, Rechteck, Diamant, Quadrat, Trapez und Deltamuskel.

Also zurück zu dem Trapez.Wie wir gesagt haben, diese Zahl sind die beiden Seiten parallel.Sie werden als Basen.Die anderen beiden (nicht parallel) - Seiten.Die Materialien der verschiedenen Untersuchungen und Prüfungen sehr oft Sie die Aufgaben mit Trapeze, deren Lösung die Schüler Kenntnisse erfordert oft, ist nicht von dem Programm bereitgestellt zugeordnet werden können.Die Schule Geometrie Veranstaltung führt in den Eigenschaften von Winkeln und Diagonalen, und der Mittellinie eines gleichschenkligen Trapezes.Aber anders als das bezeichnet eine geometrische Figur hat den weiteren Funktionen.Aber dazu später ...

Trapez

Typen Es gibt viele Arten von dieser Figur.Allerdings sind die meisten bereit, zwei von ihnen halten - gleichschenkligen und rechteckig.

1. Rechteckige Trapez - eine Zahl, die eine der Seiten senkrecht zur Basis hat.Sie hat zwei Winkel sind immer gleich neunzig Grad.

2. gleichschenkliges Trapez - eine geometrische Figur, dessen Seiten gleich sind.Und das bedeutet, und die Winkel, in den Basenpaaren ebenfalls gleich sind.

wichtigsten Grundsätze der Methodik zur Untersuchung der Eigenschaften des Trapezes

in die Grundlagen umfassen die Verwendung von so genannten Task-Ansatz.In der Tat gibt es keine Notwendigkeit, in einen theoretischen Kurs Geometrie der neuen Eigenschaften dieser Figur geben.Sie können offen oder in dem Verfahren der Formulierung der verschiedenen Aufgaben (besseres System) sein.Es ist sehr wichtig, dass der Lehrer wissen, welche Aufgaben, die Sie vor der Schüler in einem bestimmten Moment des Bildungsprozesses setzen müssen.Darüber hinaus kann jede Eigenschaft Trapez als eine zentrale Aufgabe in der Aufgaben vertreten sein.

Das zweite Prinzip ist die so genannte Spiral Organisation der Studie "bemerkenswert" Eigentum Trapez.Dies bedeutet eine Rückkehr zu den Prozess des Lernens auf die individuellen Merkmale der geometrischen Figur.Somit ist es einfacher für Studenten, um sie zu speichern.Beispielsweise vier Merkmalspunkte.Sie kann wie in der Studie der Ähnlichkeit nachgewiesen werden, und anschließend Verwendung der Vektoren.Und der gleiche Dreiecke benachbart zu den Seiten der Figur ist es möglich zu beweisen, wobei nicht nur die Eigenschaften der Dreiecke mit gleicher Höhe, an den Seiten, die auf einer Geraden liegen, sondern auch, die durch die Formel S = 1/2 (b * sin & alpha;).Darüber hinaus ist es möglich, herauszufinden, das Gesetz von Sines am Trapez oder am Trapez beschrieben rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben, und so weiter D.

Verwendung von "außerschulische" kennzeichnet eine geometrische Figur in den Inhalt der Schulkurs -. Tasking ist die Technologie ihrer Lehre.Constant Bezug auf die Eigenschaften der Durchgang von der anderen Studie ermöglicht es den Studierenden tief erfahren, Trapez und sichert den Erfolg der Aufgabe.Also, gehen wir auf die Untersuchung dieser bemerkenswerten Figur.

Elemente und Eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes

Wie wir festgestellt haben, bei dieser geometrischen Figur die Seiten sind gleich.Doch wird als rechte Trapez bekannt.Und was ist sie so bemerkenswert, und warum hat seinen Namen?Die Besonderheiten dieser Figur ist, dass sie nicht nur die gleichen Seiten und Winkel an der Basis, sondern auch diagonal.Darüber hinaus ist der Winkel eines gleichschenkligen Trapezes gleich 360 Grad.Aber das ist noch nicht alles!Aller gleichschenkligen Trapezoide nur um einen Kreis beschrieben werden kann.Dies ist aufgrund der Tatsache, dass die Summe der entgegengesetzten Winkeln in der Figur ist 180 Grad, sondern nur in einem solchen Zustand kann durch einen Kreis um die Quad beschrieben.Folgende Eigenschaften geometrischer Figuren wird angenommen, dass der Abstand von der Oberseite der Basis gegenüber dem Vorsprung des Scheitelpunkts auf einer geraden Linie, die diese Basis gleich der Mittellinie enthält.

Schauen wir uns nun an, wie man die Ecken eines gleichschenkligen Trapezes zu finden.Betrachten wir den Fall von Lösungen für dieses Problem zur Verfügung gestellt, dass die bekannten Abmessungen der Seiten der Figur.

Entscheidung

Regel Rechteck wird durch die Buchstaben A, B, C, D, bezeichnet in dem BC und AD - eine Stiftung.Die gleichschenkligen Trapezschenkel sind gleich.Wir vermuten, dass X gleich ihrer Größe und der Größe der Basis ist, Y und Z (kleinere und größere, beziehungsweise).Für die Berechnung des Winkels der Notwendigkeit, in der Höhe H. Das Ergebnis auszugeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABN, wobei AB - die Hypotenuse und die BN und AN - Beine sind.Wir berechnen die Größe des Bein AN: Mit weniger Grund zum Mitnehmen und das Ergebnis durch 2. Wir schreiben als Formel: (ZY) / 2 = F. Nun, für die Berechnung der spitze Winkel des Dreiecks wir die Funktion cos.Wir bekommen den folgenden Eintrag: cos (β) = X / F.Jetzt berechnen wir die Winkel: β = arcos (X / F).Ferner wissen, eine Ecke, können wir die zweite zu bestimmen, für die Herstellung von Grundrechenoperation: 180 - β.Alle Winkel definiert.

Eine zweite Lösung dieses Problems.Zu Beginn lassen wir von der Ecke, um den Wert der Höhe H Bein BN berechnen.Wir wissen, dass das Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der Beine ist.Erhalten: BN = √ (X2 F2).Weiter nutzen wir die trigonometrische Funktion tg.Das Ergebnis ist: β = arctg (BN / F).Spitzen Winkel gefunden.Als nächstes definiert man einen stumpfen Winkel ähnlich dem ersten Verfahren.

Immobilie Diagonalen einer gleichschenkligen Trapezes

Schreiben Sie den ersten vier Regeln.Wenn die diagonal in ein gleichschenkliges Trapezoid senkrecht ist, dann:

- die Höhe der Figur ist die Summe der Basen, dividiert durch zwei ist;

- ihre Höhe und die mittlere Linie gleich sind;

- Bereich eines Trapezes ist gleich dem Quadrat der Körpergröße (der Mittellinie, die Hälfte der Summe der Basen);

- diagonalen Quadrat ist die Hälfte der Summe der Quadrate von Basen oder zweimal mit dem Quadrat der Mittellinie (Höhe).

Betrachten wir nun die Formel Bestimmung der Diagonalen eines gleichschenkligen Trapezes.

1. Formula Länge quer über sie: Diese Information kann in vier Teile geteilt werden.

akzeptiert, dass A - untere Basis, B - Ober C - gleichen Seiten, D - diagonal.

D = √ (C 2 + A * B): in diesem Fall kann die Länge wie folgt bestimmt werden.

2. Formel diagonale Länge des Kosinus.

akzeptiert, dass A - untere Basis, B - Ober C - gleichen Seiten, D - diagonal, α (an der unteren Basis) und β (die obere Basis) - die Ecken eines Trapezes.Wir erhalten die folgende Formel, mit der Sie die Länge der Diagonalen berechnen:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cos);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cos & beta;);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cos & beta;);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cos).

3. Formel Längen der Diagonalen der gleichschenkligen Trapezes.

akzeptiert, dass A - untere Basis, B - Ober, D - diagonal, M - Mittellinie, H - Höhe, P - die Fläche eines Trapezes, α und β - der Winkel zwischen der Diagonalen.Bestimmen Sie die Länge der folgenden Formeln:

- D = √ (M2 + H2);

- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sin & alpha;) = √ (2n / sin & alpha;) = √ (2 M + H / sin & alpha;).

Adhoc Gleichheit: sin = sin & beta;.

4. Formel diagonal über die Länge und die Höhe des Teils.

akzeptiert, dass A - untere Basis, B - Ober C - Seiten, D - diagonal, H - Höhe, α - Winkel von der unteren Basis.

Bestimmen Sie die Länge der folgenden Formeln:

- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C 2 H 2)).

Elemente und Eigenschaften von rechteckigen Trapezes

Mal sehen, was das ist interessant geometrischen Formen.Wie wir gesagt haben, haben wir ein rechteckiges Trapez zwei rechte Winkel.

Neben der klassischen Definition, es gibt andere.Beispielsweise einen rechtwinkligen Trapezes - ein Trapez, dessen eine Seite senkrecht zu den Substraten.Oder Formen mit zuminSeitenWinkel.Bei dieser Art von Trapezen Höhe ist die Seite, die senkrecht zu den Basen.Die mittlere Linie - ein Segment, das die Mittelpunkte der beiden Seiten verbindet.Die Eigenschaft des genannten Elements ist, dass es parallel zu den Basen und ist gleich der Hälfte der Summe ihrer Anteile.

Nun wollen wir die grundlegenden Formeln, die die geometrischen Formen definieren, zu berücksichtigen.Um dies zu tun, gehen wir davon aus, dass die A und B - Basis;C (senkrecht zum Boden) und D - der Teil des rechteckigen Trapezes, M - Mittellinie, α - ein spitzer Winkel, P - Bereich.

1. Die Seite, senkrecht zu der Basis, eine Zahl, die gleich der Höhe (C = N), und ist gleich der Länge der zweiten Seite A und dem Sinus des Winkels α auf einer höheren Basis (C = A · sin & alpha;).Außerdem ist es gleich dem Produkt aus dem Tangens des spitzen Winkels α und die Differenz der Basen: C = (A-B) * tgα.

2. Die Seite der D (nicht senkrecht zu der Basis) ist gleich der Differenz zwischen dem privaten und B und dem Cosinus (α) in einem spitzen Winkel oder einem privaten Ziffernhöhe H und Sinus spitzen Winkel A = (A-B) / cos α = c / sin.

3. Die Seite, die senkrecht zu der Basis gleich der Quadratwurzel aus der Differenz zwischen dem Quadrat D - zweite Seite - und das Quadrat der Differenz zwischen den Basen:

C = √ (Q2 (AB) 2).

4. Partei Ein rechteckiges Trapez ist gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der Seiten C, und der Unterschied zwischen den quadratischen Basen geometrischen Formen: D = √ (C2 + (A-B) 2).

5. Die Seite C ist gleich dem Quotienten aus der Summe der doppelten Bereich ihrer Gründe: C = P / M = 2n / (A + B).

6. Bereich durch das Produkt M (mittlere Linie eines rechteckigen Trapezes) zur Höhe oder an der Seite, senkrecht zu der Basis definiert ist: P = M = M * N * C.

7. Partei C ist gleich dem Quotienten aus der doppelten Fläche der Figur in der Arbeit des Sinus spitzen Winkel und die Summe seiner Grundlagen: C = P / M * sin = 2n / ((A + B) * sin).

8. Formula Seite des rechteckigen Trapezes über ihre Diagonale und der Winkel zwischen ihnen:

- sin = sin & beta;;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sin & alpha; = (D1 * D2 / (A + B)) * sin & beta;,

wobei D1 und D2 - diagonal Trapezes;α und β - der Winkel zwischen ihnen.

9. Formel Seite durch eine Ecke an der unteren Basis und der anderen Parteien: D = (A-B) / cos & alpha; = C / sin & alpha; = N / sin.

Da das Trapez mit einem rechten Winkel ist ein besonderer Fall des trapezförmigen, werden die anderen Formeln der Bestimmung dieser Zahlen entsprechen und rechteckig.

Eigenschaften Inkreis

Wenn die Bedingung wird gesagt, dass in einem rechtwinkligen Trapez eingeschriebenen Kreises, können Sie die folgenden Eigenschaften verwenden:

- die Summe der Basen ist die Summe aus den Seiten;

- der Abstand von der Spitze mit einer rechteckigen Form, um den Kontaktpunkten des eingeschriebenen Kreises ist immer gleich;

- gleich der Höhe des Trapezseite, senkrecht zur Basis, und ist gleich dem Durchmesser des Kreises;

- Zentrum des Kreises ist der Punkt, an dem sich schneiden Winkelhalbierenden der Winkel;

- wenn die Seite in Segmente der Kontaktpunkt H und M unterteilt ist, dann wird der Radius des Kreises ist gleich der Quadratwurzel aus dem Produkt dieser Segmente;

- Viereck, das die Berührungspunkte gebildet, der Scheitelpunkt des Trapezes und der Mitte des eingeschriebenen Kreises - ein Quadrat, dessen Seite gleich dem Radius;

- Bereich der Figur ist gleich dem Produkt der Halbsumme Basis und das Grundstück auf dem Höhepunkt.

Der Beweis

angenommen, dass die Zahl ABSD (AD und BC - die Basis des Trapezes) ist gebrochen Diagonalen HP und AC.Der Schnittpunkt - O. Wir bekommen vier Dreiecke: AOC - an der unteren Basis, BOS - an der oberen Basis, ABO und SOD an den Seiten.Triangles SOD und Biofeedback eine gemeinsame Höhe in diesem Fall, wenn die Segmente CD und OD sind ihre Grundlagen.Wir finden, daß der Unterschied in ihren Bereichen (P) gleich der Differenz zwischen diesen Segmenten ist: PBOS / PSOD = BO / ML = K. Daher PSOD PBOS = / K.Auch die Dreiecke AOB und Biofeedback eine gemeinsame Höhe.Wir nehmen ihre Basissegmente SB und OA.Holen PBOS / PAOB = CO / OA = K und PAOB PBOS = / K.Daraus folgt, dass PSOD = PAOB.

Konsolidierung das Material wird empfohlen, für Studenten, um eine Verbindung zwischen den Bereichen von Dreiecken erhalten, die gebrochenen Trapeze ITS Diagonalen, der Entscheidung über die nächste Aufgabe ist es zu finden.Es ist bekannt, daß Dreiecke BOS und ADP Bereichen gleich sind, ist es notwendig, die Fläche eines Trapezes finden.Seit PSOD = PAOB, dann PABSD PBOS + = 2 * pAVK PSOD.Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke, BOS und ADP folgt, dass CP / OD = √ (PBOS / pAVK).Folglich PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / pAVK).Holen PSOD = √ (* PBOS pAVK).Dann PABSD PBOS + = pAVK +2 * √ (pAVK PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

Eigenschaften Ähnlichkeit

weiterhin dieses Thema zu entwickeln, können Sie die anderen interessanten Features der Trapeze beweisen.Somit kann unter Verwendung der Ähnlichkeit Eigenschaft Abschnitt, der durch die von dem Schnittpunkt der Diagonalen dieser geometrischen Figur gebildet Punkt verläuft beweisen, parallel zur Basis.Dazu wird das folgende Problem zu lösen: Sie brauchen, um die Länge des Segments der RK, die durch den Punkt O. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ADP und Biofeedback gelangt zu finden folgt, dass AO / OS = BP / BS.Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ADP und ASB folgt, dass AB / AC = PO / BS = AD / (BS + BP).Dies impliziert, dass PO = BS * BP / (BS + BP).In ähnlicher Weise von der Ähnlichkeit der Dreiecke MLC und DBS folgt, dass OK = BS * BP / (BS + BP).Dies impliziert, dass PO = OK und RC = 2 * BS * BP / (BS + BP).Das Segment, das durch den Schnittpunkt der Diagonalen parallel zu der Basis und die Verbindung der beiden Seiten des geteilten Schnittpunkt der beiden.Seine Länge - ist das harmonische Mittel der Grundlagen der Figur.

Betrachten Sie das folgende Qualitäts Trapez, die als Eigentum der vier Punkte ist.Die Schnittpunkte der Diagonalen (D), die Schnittpunkte weiterhin Seiten (E) und die mittlere Basis (T und G) liegen immer auf der gleichen Linie.Dies ist leicht durch Ähnlichkeit bewährt.Diese Dreiecke BES und AED ähnlich sind und in jedem von ihnen, und das mittlere ET hedgehog teilen den Scheitelwinkel E zu gleichen Teilen.Daher ist der Punkt E, T und F kollinear sind.Ebenso in der gleichen Zeile werden in Form von T, D und G. Dies folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke BOS und ADP angeordnet.Daher schließen wir, dass alle vier Punkte - E, T, G und H - liegen auf einer geraden Linie.

Mit ähnlichen Trapeze, können die Studierenden angeboten, um die Länge des Segments (LF), die in zwei ähnliche Figur teilt finden werden.Dieses Segment muss parallel zu den Basen.Seit erhalten Trapez ALFD und LBSF sind ähnlich, die BS / LF = LF / AD.Dies impliziert, dass der LF = √ (BS * BP).Wir finden, dass das Segment brechen wie ein Trapez in zwei, eine Länge gleich dem geometrischen Mittel Länge der Grundwert.

Betrachten Sie die folgende Eigenschaft der Ähnlichkeit.Es basiert auf dem Segment, das die Trapez in zwei gleich große Stücke unterteilt basiert.Wir akzeptieren, dass Keystone ABSD EN Segment wird wie in zwei Teile geteilt.Von der Spitze des B erniedrigt die Höhe dieses Segments ist in zwei Teile unterteilt DE - B1 und B2.Wir erhalten PABSD / 2 = (BS EN +) * B1 / 2 = (Ag + EN) * B2 / 2 und PABSD = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Als nächstes werden wir bilden das System, das die erste Gleichung (BS EN +) * B1 = (Ag + EN) * B2 und die zweite (BS EN +) ist * B1 = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Daraus folgt, dass B2 / B1 = (BS EH +) / (AD + EH) und BS EN + = ((BP + BS) / 2) * (1 + B2 / B1).Wir finden, dass die Länge des Segments, Aufteilen des Trapezes in zwei gleich große, gleich dem mittleren quadratischen Länge der Basis: √ ((BS2 + w2) / 2).

Schlussfolgerungen Ähnlichkeit

Folglich haben wir bewiesen, dass:

1. Das Segment, welches die Mitte des Trapezes an den Seiten, parallel zur AD und BC und ist gleich der durchschnittlichen BC und AD (die Länge der Basis des Trapezes).

2. Die Linie, die durch den Schnittpunkt der parallelen Diagonalen AD und BC gleich der harmonische Mittel BP-Nummern und BS werden (2 * BS * BP / (BS + BP)).

3. Schneiden, Brechen auf dem Trapez, wie, hat eine Länge von dem geometrischen Mittel der Basen BC und AD.

4. Das Element, das die Figur in zwei gleiche Größe unterteilt, hat eine Länge von durchschnittlichen Quadratzahlen von AD und BC.

Um das Material und das Verständnis der Zusammenhänge zwischen den Segmenten der Student Konsolidierung ist notwendig, um sie für einen bestimmten Trapez bauen.Was bedeutet das?