gegeben eine einfache Funktion in Trigonometrie = Sin (x) differenzierbar an jedem Punkt der gesamten Domäne.Es ist notwendig, zu beweisen, daß die Ableitung der Sinus jedes Argument der Cosinus des gleichen Winkel, das heißt, '= cos (x).
Nachweis basiert auf der Definition von derivativen
basierten x (willkürliche) Definieren Sie in einer kleinen Umgebung eines bestimmten Punktes des △ x x0.Wir zeigen den Wert einer Funktion in ihm, und an der Stelle x, um die Schrittweite der angegebenen Funktion zu finden.Wenn △ x - Schrittweite des Arguments, dann ein neues Argument - ist x0 + Ax = x, der Wert dieser Funktion zu einem bestimmten Wert des Arguments y (x) ist Sin (x0 + Ax), der Wert einer Funktion an einem bestimmten Punkt in (x0) ist ebenfalls bekannt.
Jetzt haben wir Dgr; u = Sin (x 0 + △ x) -Sin (x0) - erhalten die Schrittfunktion.
Nach der Formel von Sinus Summe von zwei ungleichen Winkeln wird die Differenz & Delta; u zu konvertieren.
& Delta; u = Sin (x0) · cos (△ x) + cos (x0) · Sin (Ax) minus Sin (x0) = (cos (& Delta; x) -1) · Sin (x0) + Cos (x0) sin (△ X).
Swapping von Begriffen gruppiert die ersten bis dritten Sin (x0) durchgeführt gemeinsamen Faktor - Sinus - die Halterungen.Wir haben, um den Unterschied auszudrücken Cos (△ x) -1.Sie ändern das Vorzeichen der Halterung und in Klammern.Zu wissen, was ist die 1-cos (△ x), stellen wir die Veränderung und erhalten eine vereinfachte Ausdruck & Delta; u, die dann von △ x unterteilt.
& Delta; u / △ x ist von der Form: Cos (x0) · Sin (△ x) / △ x 2 · Sin2 (0,5 · △ x) · Sin (x0) / △ x.Dies ist das Verhältnis der Schrittfunktion auf Annahmen Schritt Argument.
bleibt, um die Grenze des Verhältnisses von uns erhalten während lim finden △ x gegen Null geht.
bekannt, dass die Grenz Sin (△ x) / & Delta; x gleich 1 ist, für einen gegebenen Zustand.Und der Ausdruck 2 · Sin2 (0,5 · △ x) / x △ in die sich ergebende Summe privat Transformationen, um zu arbeiten, welche als Faktor der ersten bemerkenswerten Limit enthält: Zähler und znemenatel in 2 Fraktionen aufgeteilt, quadratische Sinus ersetzen Sie das Produkt.So:
(Sin (0,5 · & Delta; x) / (0,5 · & Delta; x)) · sin (& Delta; x / 2).
Grenze dieses Ausdrucks als △ x gegen null strebt, ist die Anzahl gleich Null ist (multipliziert mit 0 1).Es stellt sich heraus, dass die Grenze des Verhältnisses & Delta; y / △ x gleich Cos (x0) · 1-0 ist dies Cos (x0), ein Ausdruck, der nicht auf △ x abhängig ist, die dazu neigt, 0. Daraus ergibt sich die Schlussfolgerung: die Ableitung der Sinus jeder Winkel x der Kosinus von xschreiben wir so: '= cos (x).
Diese Formel wird in der Tabelle der bekannten Derivate, in dem alle elementaren Funktionen
Bei der Lösung von Problemen, wo er die Ableitung der Sinus erfüllt, können Sie die Regeln der Differenzierung und fertige Formeln aus der Tabelle zu verwenden, aufgeführt.Zum Beispiel: Finden Sie eine einfache Ableitung der Funktion y = 3 · Sin (x) -15.Wir verwenden die grundlegenden Regeln der Differenzierung, die Entfernung des Zahlenfaktor für das Vorzeichen der originäre und derivative Berechnungskonstante Nummer (es ist null).Es gelten die tabellierten Wert der Ableitung des Sinus des Winkels x gleich cos (x).Wir bekommen die Antwort: y '= 3 · Cos (x) -O.Dieses Derivat wiederum ist auch eine elementare Funktion y = G · cos (x).
Ableitung des Sinus quadriert jeder Argument
Bei der Berechnung des Ausdrucks (Sin2 (x)), müssen Sie daran denken, wie man eine komplexe Funktion zu unterscheiden.So, Sin2 = (x) - ist eine Exponentialfunktion als Sinus quadriert.Das Argument, es ist auch eine trigonometrische Funktion, ein komplexes Argument.Das Ergebnis ist in diesem Fall das Produkt aus dem ersten Faktor die Ableitung des Quadrates des komplexen Arguments, und die zweite - ein Derivat des Sinus.Hier ist die Regel zur Unterscheidung eine Funktion einer Funktion: (u (v (x))) "ist (u (v (x)))" · (v (x)) '.Expression v (x) - ein komplexes Argument (interne Funktion).Wenn die gegebene Funktion "y die Sin-x" ist, dann die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion y = 2 · sin (x) · cos (x).Das Produkt aus dem ersten Faktor verdoppelt wird - bekannt Derivat einer Leistungsfunktion, und cos (x) - Derivat des Sinus des Arguments der komplexen quadratischen Funktion.Das Endergebnis kann durch Verwendung der Formel der trigonometrische Sinus des doppelten Winkels umgewandelt werden.A: Das Derivat ist Sin (2 · x).Diese Formel ist leicht zu merken, wird es häufig als ein Tisch verwendet.
