Geometrische Weiterentwicklung ist in der Mathematik als Wissenschaft wichtig, und angewendet Bedeutung, denn es hat einen sehr breiten Anwendungsbereich, auch in der höheren Mathematik, zu sagen, die Theorie der Serie.Die erste Information über den Stand kam, um uns aus dem alten Ägypten, vor allem in Form von einem bekannten Problem des Rhind Papyrus sieben Personen mit sieben Katzen.Variationen dieses Problem viele Male wiederholt zu verschiedenen Zeiten aus anderen Nationen.Selbst der große Leonardo von Pisa, besser bekannt als Fibonacci (XIII Jh.), Sprach mit ihr in seinem "Buch der Rechenmaschine."
So hat geometrischer Progression eine alte Geschichte.Es eine Nummernfolge mit von Null ersten Term und jede weitere hend von der zweiten, durch Multiplizieren der vorherigen Rekursionsformel für permanente, nicht-Null-Zahl, das heißt der Nenner Progression (es ist in der Regel mit Hilfe der Buchstabe Q bezeichnet) bestimmt.
Offensichtlich kann es durch Unterteilen jedes nachfolgende Term der Folge zum vorherigen gefunden werden, das heißt zwei z: z 1 = ... = zn: z n-1 = ....Folglich ist die Aufgabe der Progression (zn) genug ist, um den Wert kennen es das erste Element von Y 1 und der Nenner q.
Beispiel sei z 1 = 7, q = - 4 (q & lt; 0), dann haben wir die folgende geometrischer Progression 7-28, 112-448, ....Wie Sie sehen können, ist die resultierende Sequenz nicht monoton.
Recall, dass eine beliebige Folge von monotonen (steigend / fallend), wenn jeder seiner zukünftigen Mitglieder mehr / weniger als die vorherige.Zum Beispiel die Sequenz 2, 5, 9, ... und -10, -100, -1000, ... - eintönig, der zweite von ihnen - exponentiell abnimmt.
In dem Fall, wo q = 1, alle Mitglieder in der Progression gleich erhalten, und es wird Konstante.
Um Sequenz war das Fortschreiten dieser Art, muss er die folgenden notwendigen und hinreichenden Bedingung zu erfüllen, und zwar: von der zweiten ab, jedem seiner Mitglieder sollte das geometrische Mittel der benachbarten Mitgliedstaaten zu sein.
Diese Eigenschaft ermöglicht es unter bestimmten zwei benachbarten Feststellung beliebiger tige Progression.
n-te Glied einer geometrischen Reihe ist leicht, die Formel zu finden: zn = z 1 * q ^ (n-1), zu wissen, die erste Amtszeit z 1 und der Nenner q.
Da die Zahlenfolge wert ist, geben ein paar einfache Berechnungen uns eine Formel, um die Summe der ersten hinsichtlich des progressions, nämlich berechnen:
S n = - (Zn * Q - Z 1) / (1 - q).
Austauschen in der Formel Wert zn seinen Ausdruck z = 1 * q ^ (n-1), um eine zweite Menge der Progression der Formel: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).
Aufmerksamkeit verdient die folgende interessante Tatsache: Die Tontafel bei Ausgrabungen des alten Babylon, die der VI bezieht gefunden.BC enthält bemerkenswert die Summe von 1 + 2 + 22 ... + 29 gleich 2 in der zehnten Leistung minus 1. Die Erklärung für dieses Phänomen ist nicht gefunden.
Wir stellen fest, eine der Eigenschaften geometrischer Progression - einer konstanten Arbeit der Mitglieder, in gleichem Abstand von den Enden der Sequenz angeordnet.
besonders wichtig, von einem wissenschaftlichen Standpunkt aus gesehen, so etwas wie eine unendliche geometrische Reihe und der Berechnung ihrer Höhe.Unter der Annahme, dass (yn) - eine geometrische Progression mit einem Nenner q, die die Bedingung | q | & lt;1, wird die Grenze der Summe durch die bereits bekannten suchten wir die Summe der ersten Elemente genannt werden, mit unbeschränkten Zunahme von n, so wie es unendlich nähert.
finden diese Menge als Ergebnis der Verwendung der Formel:
S n = y 1 / (1- Q).
Und, wie die Erfahrung gezeigt hat, die scheinbare Einfachheit dieser Progression ist eine enorme Anwendungspotenzial verborgen.Zum Beispiel, wenn konstruieren wir eine Folge von Quadraten auf dem folgenden Algorithmus, die die Mittelpunkte des vorherigen, dann bilden sie einen quadratischen unendliche geometrische Progression mit einem Nenner 1/2.Die gleichen Progression Form Dreiecke und Quadrate in jeder Phase der Konstruktion erhalten, und ihre Summe gleich der Fläche des ursprünglichen Platz ist.
