kontinuierliche Funktion ist eine Funktion, ohne die "Sprünge", dh eine für die die Bedingung: geringe Veränderungen im Argument gefolgt von kleinen Änderungen in den Werten der jeweiligen Funktionen.Der Graph für eine solche Funktion ist eine glatte und kontinuierliche Kurve.
Kontinuität an einem Punkt zu einer bestimmten Grenze kann mit dem Konzept der Grenze bestimmt werden, nämlich die Funktion sollte ein Limit an dieser Stelle, die gleich seinem Wert am Grenzpunkt ist zu haben.
Wenn diese Bedingungen zu einem bestimmten Zeitpunkt, zu sagen, dass die Funktion an dieser Stelle unterbrochen ist, das heißt, ihre Kontinuität gebrochen.In der Sprache der Grenzen brechen Punkt kann als die Differenz in den Werten zum Bersten mit einem Limit-Funktion beschrieben werden (falls vorhanden).
Bruchstelle kann entfernbar sein, ist es notwendig, dass die Grenzfunktion, aber es nicht den Wert zu einem bestimmten Zeitpunkt entsprechen.In diesem Fall wird an diesem Punkt ist es möglich, "richtige", das heißt, die Definition der Kontinuität verlängern.
völlig anderes Bild ergibt sich, wenn der Grenzwert an einem bestimmten Punkt nicht existiert.Es gibt zwei mögliche Unstetigkeitsstellen:
- erste Art - sind endlich und die beiden einseitigen Grenzen, und der Wert von einem oder beiden von ihnen nicht mit dem Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt zusammenfallen;
- zweite Art, wo es einseitig oder beide der Grenzen oder Werte endlos.
Eigenschaften von stetigen Funktionen
- Funktion aus arithmetischen Operationen resultiert, sowie Zusammensetzung der stetigen Funktionen auf ihrer Domäne ist auch kontinuierlich.
- Da eine kontinuierliche Funktion, die positiv zu einem bestimmten Zeitpunkt ist, finden Sie immer einen hinreichend kleinen Umgebung, in der es seinen Charakter behalten.
- Ebenso, wenn die Werte der zwei Punkte A und B sind jeweils a und b, wobei eine von B verschieden ist, dann ist für die Zwischenpunkte, es werden alle Werte in dem Intervall zu nehmen (a; b).Von hier kann man einen interessanten Schluss zu machen: wenn Sie eine gestreckte Gummiband, um so schrumpfen, dass es nicht durchhängt (blieb gerade) zu geben, wird einer seiner Punkte fixiert bleiben.Eine geometrisch es bedeutet, daß es eine gerade Linie, die durch jeden Zwischenpunkt zwischen A und B, die den Graphen der Funktion schneidet.
beachten Sie einige der kontinuierlichen (im Definitionsbereich) der elementaren Funktionen:
- konstant;
- rational;
- Trigonometrie.
zwischen den beiden grundlegenden Konzepte in der Mathematik - ist stetig und differenzierbar - sind untrennbar miteinander verbunden.Es reicht aus, dass für differenzierbare Funktionen Sie brauchen, um eine kontinuierliche Funktion sein, wieder zu verwenden.
wenn die Funktion differenzierbar zu einem bestimmten Zeitpunkt gibt es kontinuierlich ist.Jedoch ist es nicht notwendig, so dass ihre Ableitung stetig ist.
verfügt auf irgendeinem Satz stetige Ableitung zur Verfügung, gehört zu einer separaten Klasse von glatten Funktionen.Mit anderen Worten, es ist - eine stetig differenzierbare Funktion.Wenn das Derivat hat eine begrenzte Anzahl an Unterbrechungspunkten (nur der ersten Art), dann wird eine ähnliche Funktion aufgerufen stückweise glatt.
anderes wichtiges Konzept der mathematischen Analyse gleichmäßig stetige Funktionen, das heißt, seine Fähigkeit, an einem beliebigen Punkt in seinem Bereich gleichermaßen kontinuierlich sein.Somit kann eine Eigenschaft, die bei einer Vielzahl von Punkten anstelle einer einzelnen betrachtet wird.
Wenn Sie fixieren einen Punkt, Sie nichts anderes, als die Definition der Stetigkeit zu erhalten, das heißt, von der Existenz der gleichmäßigen Stetigkeit folgt, dass es sich um eine stetige Funktion.Allgemein gesprochen ist das Umgekehrte nicht der Fall.Nach Satz von Cantor, wenn eine Funktion ist jedoch stetig auf dem kompakten, das heißt, auf einem abgeschlossenen Intervall, dann gleichmäßig stetig auf sie ist es.
