Triangle ist ein Polygon mit drei Seiten (die drei Winkel).Die häufigste Neben repräsentieren Kleinbuchstaben, den entsprechenden Großbuchstaben, der die gegenüberliegende Ecken bezeichnet.In diesem Artikel werfen wir einen Blick auf diese Arten von geometrischen Formen, den Satz, was die Summe der Winkel eines Dreiecks gleich bestimmt.
Typen größte Winkel
folgenden Arten von Polygon mit drei Eckpunkte:
- spitzwinkligen, in dem alle scharfen Kanten;
- rechteckig mit einem rechten Winkel mit der Seite seines Bild, genannt Beine und die Seite, welche gegenüber dem rechten Winkel angeordnet ist, wird als die Hypotenuse;
- stumpfen, wenn man Winkel stumpf ist;
- gleichschenkliges, die die beiden Seiten gleich sind, und sie sind seitliche genannt, und die dritte - die Basis des Dreiecks;
- gleichseitig mit drei gleichen Seiten.
Eigenschaften
Es gibt grundlegende Eigenschaften, die charakteristisch für jede Art von Dreieck sind:
- gegenüber der größeren Seite hat immer einen großen Winkel, und umgekehrt;
- gegenüberliegenden Seiten gleich groß sind gleiche Winkel, und umgekehrt;
- irgendwelche Dreieck hat zwei spitze Winkel;
- Außenwinkel ist größer als jede Innenwinkel ist nicht mit ihm verwandt;
- Summe von zwei beliebigen Winkel stets kleiner als 180 Grad ist;
- Außenwinkel gleich der Summe der beiden anderen Ecken, die ihn nicht mezhuyut werden.
Satz über die Summe der Winkel eines Dreiecks
Theorem besagt, dass, wenn man alle die Ecken der geometrischen Figur, die in der euklidischen Ebene befindet, wird ihre Summe 180 Grad sein.Lassen Sie uns versuchen, diesen Satz zu beweisen.
Lassen wir ein beliebiges Dreieck mit den Eckpunkten KMN haben.Durch top M ziehen Sie eine Linie parallel zu der Linie KN (auch dieser Linie ist die Linie von Euclid genannt).Es sollte Punkt A in einer Weise, dass der Punkt K und A wurden an verschiedenen Seiten gerade MN Kenntnis genommen werden.Wir bekommen den gleichen Winkel und AMS MUF, die ebenso wie die Innen liegen quer zu schneidenden MN in Zusammenarbeit mit CN und MA Linien, die parallel sind zu bilden.Daraus folgt, daß die Summe der Winkel des Dreiecks in den Eckpunkten M und N liegt gleich der Größe des Winkels des CMA ist.Alle drei Winkel bestehen aus einem Betrag in Höhe der Summe der Winkel CMA und MCS.Da diese Winkel internen Bezug auf einseitige parallele Linien CN und MA an der Schneid KM, ist ihre Summe 180 Grad.QED.
Untersuchung
Von über diesem Satz folgt die folgende Konsequenz: Jedes Dreieck hat zwei spitze Winkel.Um dies zu beweisen, nehmen wir an, dass diese geometrische Figur hat nur einen spitzen Winkel.Auch kann angenommen werden, daß kein Winkel ist nicht akut.In diesem Fall müssen sie mindestens zwei Winkel, dessen Größe gleich oder größer als 90 Grad sein.Aber dann die Summe der Winkel größer als 180 Grad.Und das kann nicht sein, da nach Satz Summe der Winkel eines Dreiecks 180 ° - nicht mehr und nicht weniger.Das ist, was musste bewiesen werden.
Eigenschaft Außenecken
Was ist die Summe der Winkel eines Dreiecks, die extern sind?Die Antwort auf diese Frage kann durch die Verwendung eines von zwei Verfahren erhalten werden.Die erste ist die Notwendigkeit, die Summe der Winkel, die getroffen werden jeweils an einem Scheitelpunkt, das heißt, drei Winkel zu finden.Die zweite bedeutet, dass Sie benötigen, um die Summe der sechs Winkel an den Ecken zu finden.Um mit der let Deal mit dem ersten beginnen.Somit hat das Dreieck sechs Außenwinkel - an jedem Scheitelpunkt der beiden.Jedes Paar hat gleich Winkel zueinander, weil sie vertikal:
∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.
hinaus ist es bekannt, daß die äußere Ecke des Dreiecks ist gleich der Summe der beiden inneren, werden nicht mit ihm mezhuyutsya.Daher
∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.
Es stellt sich heraus, dass die Summe der Außenwinkel werden eine nach der anderen in der Nähe von der Spitze jedes ergriffen werden, wird gleich zu sein:
∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A ∟S + + + + + ∟A ∟V ∟V ∟S= 2 x (+ ∟A ∟V + ∟S).
Angesichts der Tatsache, dass die Summe der Winkel gleich 180 Grad ist, kann man argumentieren, dass ∟A + ∟V ∟S = + 180 °.Dies bedeutet, dass ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °.Wenn die zweite Option verwendet wird, dann wird die Summe der sechs Winkel entsprechend größer wird verdoppelt.Das ist die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks werden sein:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.
rechtwinkligen Dreiecks
was gleich der Summe der Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Insel?Die Antwort, wieder aus Satz, in dem es heißt, dass die Winkel eines Dreiecks summieren sich zu 180 Grad.Und unsere Behauptung Sounds (Eigentum) wie folgt dar: in der rechtwinkligen Dreiecks spitzen Winkeln addieren sich zu 90 Grad.Wir beweisen, deren Wahrheitsgehalt.Es werde ein Dreieck KMN, die ∟N = 90 ° gegeben.Wir müssen, dass ∟K ∟M + = 90 ° zu beweisen.
So wird nach dem Satz von der Summe der Winkel ∟K + ∟M ∟N = + 180 °.In diesem Zustand ist es, daß ∟N = 90º.Es stellt sich heraus ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °.Dh ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °.Das ist, was wir haben, um zu beweisen.
- Winkel, die gegen die Beine liegen sind scharf;:
Zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks, können Sie diese hinzufügen
- Dreiecks Hypotenuse größer als jedes der Beine;
- die Beine mehr als die Summe der Hypotenuse;
- Kathete des Dreiecks, die gegenüber der Ecke 30 Grad liegt, die Hälfte der Hypotenuse, d.h., er entspricht der Hälfte.
Als weitere Eigenschaft der geometrischen Form kann Pythagoras identifiziert werden.Sie argumentiert, dass in einem Dreieck mit einem Winkel von 90 Grad (rechteckig) gleich der Summe der Quadrate der Beine zum Quadrat der Hypotenuse ist.
Summe der Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks
Früher haben wir gesagt, dass ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Polygon mit drei Scheitel zwei gleichen Seiten enthalten, genannt.Diese Eigenschaft ist bekannt, geometrische Figur: die Winkel an der Basis gleich.Wir beweisen dies.
Nehmen Dreieck KMN, die gleichschenkligen, SC ist - seine Basis.Wir sind verpflichtet, dass ∟K = ∟N beweisen.Also, nehmen wir an, MA - Winkelhalbierenden ist unser Dreieck KMN.Triangle MCA mit den ersten Anzeichen eines Dreiecks gleich MNA.Nämlich die Bedingung gegeben, dass CM = HM, MA ist eine häufige Neben, ∟1 = ∟2, weil die AI - einer Winkelhalbierenden.Unter Verwendung der Gleichheit der beiden Dreiecke, eines, dass ∟K = ∟N argumentieren könnte.Daher wird der Satz bewiesen.
Aber wir sind daran interessiert, was die Summe der Winkel eines Dreiecks (gleichschenkligen).Da in dieser Hinsicht hat keine ihrer Funktionen, werden wir aus dem Satz oben diskutierten starten.Das heißt, dass wir sagen können, dass ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° oder 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (wie ∟K = ∟N).Diese Eigenschaft wird nicht beweisen, als sie Summe der Winkel eines Dreiecks früher bewiesen Satz.
auch unter Berücksichtigung der Eigenschaften der Ecken des Dreiecks gibt es auch so wichtige Aussagen:
- im gleichseitigen Dreieck Höhe, die an der Basis abgesenkt worden ist, ist auch der Median, Winkelhalbierende des Winkels, der zwischen gleichen Parteien sowie der Symmetrieachse der Gründung ist;
- median (Winkelhalbierende Höhe), die an den Seiten einer geometrischen Figur gehalten sind gleich.
gleichseitigen Dreiecks
Es wird auch das Recht genannt wird, ist das Dreieck, das gleich allen Parteien gibt.Und damit auch gleiche Winkel.Jeder von ihnen ist 60 Grad.Wir zeigen diese Eigenschaft.
Nehmen wir an, dass wir ein Dreieck KMN haben.Wir wissen, dass KM = NM = CL.Das bedeutet, dass nach den Immobilien Ecken, an der Basis in einem gleichseitigen Dreieck, ∟K = = ∟M ∟N entfernt.Denn nach der Summe der Winkel eines Dreiecks Theorem ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, die 3 x ∟K = 180 ° oder ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60º.Folglich ist die Aussage dokazano.Kak von oben auf der Basis des Nachweises der zu entnehmen ist, die Summe aus den Winkeln eines gleichseitigen Dreiecks als Summe der Winkel jedes anderen Dreiecks 180 Grad.Einmal beweist diesen Satz ist nicht erforderlich.
Es gibt noch einige charakteristische Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks:
- Median Winkelhalbierenden, Höhe in einem solchen geometrischen Figur identisch sind, und ihre Länge wird als (a × √3) berechnet: 2;
- wenn beschreiben ein Polygon um dieses Kreises, dann wird ihr Radius gleich (ein x √3): 3;
- wenn ein gleichseitiges Dreieck in einem Kreis eingeschrieben, dann wird der Radius (und x √3): 6;(A2 x √3): 4.
stumpfen Dreiecks
Per Definition stumpfwinkligen Dreiecks zwischen 90 bis 180 Grad ist einer seiner Ecken
