Welche irrationalen Zahlen?Warum heißen sie?Wo sie verwendet werden, und das dar?Nur wenige können, ohne zu zögern, um diese Fragen zu beantworten.Aber in der Tat, sind die Antworten recht einfach, wenn auch nicht alle benötigt werden, und in sehr seltenen Fällen
Wesen und Bezeichnung
irrationalen Zahlen sind unendlich Einmal dezimal.Die Notwendigkeit, dieses Konzept aufgrund der Tatsache, dass im Hinblick auf neu entstehende Herausforderungen unzureichend gewesen, bevor bestehende Konzepte der tatsächlichen oder wirklichen, ganz, natürlichen und rationalen Zahlen vorstellen.Zum Beispiel, um das Quadrat einer Variable ist 2 zu berechnen, müssen Sie eine nicht-periodische unendliche Dezimalzahlen zu verwenden.Darüber hinaus haben viele einfache Gleichungen auch keine Lösung ohne die Einführung des Konzepts der irrationalen Zahlen.
Dieser Satz wird als I genannten Und wie klar ist, können diese Werte nicht als einfachen Bruch dargestellt werden, dessen Zähler eine ganze Zahl ist, und der Nenner - eine natürliche Zahl ist.
ersten trotzdem dieses Phänomen indischen Mathematiker im VII Jahrhundert vor Christus konfrontiert, als entdeckt wurde, dass die Wurzeln von bestimmten Mengen nicht eindeutig identifiziert werden.Ein erster Beweis für die Existenz solcher Nummern gutgeschrieben Hippasus Pythagorean, die es in der Studie eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks gebildet.Ein ernsthafter Beitrag zur Erforschung dieses Satzes haben sogar einige Wissenschaftler, die vor Christus lebte gebracht.Die Einführung des Konzepts der irrationalen Zahlen führten zu einer Überarbeitung der bestehenden mathematischen System, das ist, warum sie so wichtig sind.
Ursprung des Namens
Wenn das Verhältnis in Lateinamerika - ist "Schuss", "Haltung", das Präfix "ir"
verleiht diesem Wort entgegengesetzte Bedeutung.Somit wird der Name einer Vielzahl dieser Zahlen gibt an, dass sie nicht in eine ganze Zahl oder eine Bruch korreliert werden, sind getrennt statt.Dies ergibt sich aus ihrem Wesen.
Platz in der Gesamtwertung
irrationalen Zahlen mit rationalen bezieht sich auf eine Gruppe von realen oder virtuellen, was wiederum integriert sind.Eine Untergruppe, aber unterscheiden algebraischen transzendentale Arten, die unten besprochen werden.
Eigenschaften
Seit irrationalen Zahlen - es ist ein Teil der Menge der reellen, dass für sie alle sind ihre Eigenschaften, die in der Arithmetik untersucht werden (auch einfache algebraische Gesetze genannt).
a + b = b + a (kommutative);
(a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativität);
a + 0 = a;
a + (-a) = 0 (die Existenz der additiven inverse);
ab = ba (kommutative Gesetz);
(ab) c = a (bc) (Distributivity);
a (b + c) = ab + ac (distributive Gesetz);
ax 1 = ein
ax 1 / a = 1 (die Existenz von Rücklauf);
Vergleich ist auch in Übereinstimmung mit den allgemeinen Gesetzen und Prinzipien zusammen:
Wenn a & gt;b und b & gt;c, dann ist a & gt;c (transitive Relation) und.t. e.
Selbstverständlich können alle irrationalen Zahlen mit den Grundrechenarten umgewandelt werden.Keine Sonderregeln für diese.
Darüber hinaus sind die irrationalen Zahlen durch das Axiom des Archimedes bedeckt.Es besagt, dass für zwei beliebige Werte von a und b ist wahr, dass, indem sie einen als Begriff oft genug, ist es möglich, b schlagen.
verwenden
Trotz der Tatsache, dass im wirklichen Leben nicht so oft mit ihnen umzugehen, müssen irrationalen Zahlen nicht Rechenschaft zu geben.Sie sind eine großartige viele, aber sie praktisch unsichtbar sind.Wir sind von irrationalen Zahlen umgeben.Beispiele, die jeder kennt - die Zahl Pi, gleich 3.1415926 ... oder E, ist in der Tat eine Basis des natürlichen Logarithmus, 2,718281828 ... In Algebra, Trigonometrie und Geometrie haben, um sie ständig zu verwenden.By the way, die bekannte Bedeutung des "Goldenen Schnitt", dh das Verhältnis der, wie viel von einem niedrigeren, und umgekehrt gilt auch für diesen Satz.Weniger bekannt "Silber" - zu.
auf der Zahlengeraden, sie sind ganz in der Nähe, so dass zwischen zwei beliebigen Werten, durch eine Reihe von rationalen bedeckt, irrational zwangsläufig auftreten.
Bis jetzt gibt es eine Menge von offenen Fragen zu diesem Set zusammen.Es gibt Kriterien wie dem Maß an Irrationalität und die normale Anzahl.Mathematiker auch weiterhin die bedeutendsten Beispiele für ihre Zugehörigkeit zu dieser oder jener Gruppe zu untersuchen.Zum Beispiel geht davon aus, dass E -. Normale Zahl, t E. Die Wahrscheinlichkeit, dass sein Rekord verschiedenen Figuren die gleichen.Als kleines, respektieren Sie ist Gegenstand von Ermittlungen.Die Maßnahme auch als Irrationalität Wert zeigt, wie gut eine bestimmte Zahl durch rationale Zahlen angenähert werden.
algebraische und transzendente
Wie bereits erwähnt, irrationalen Zahlen bedingt in algebraische und transzendente unterteilt.Herkömmlicherweise wird, da, genau genommen, diese Klassifizierung wird verwendet, um den Satz C.
Unter dieser Bezeichnung versteckt komplexen Zahlen, die die tatsächliche oder reale gehören zu teilen.
So algebraischen genannte Wert, das ist die Wurzel des Polynoms ist nicht identisch Null.Zum Beispiel wird die Quadratwurzel aus 2 in diese Kategorie fallen, da sie eine Lösung der Gleichung x2 - 2 = 0
Alle anderen reellen Zahlen, die diese Bedingung nicht erfüllen, werden transzendentalen genannt.Diese Arten und sind die bekanntesten und bereits genannten Beispielen - pi und die Basis des natürlichen Logarithmus e.
Interessanterweise keiner, noch die zweite wurden ursprünglich von Mathematikern als solche gezüchtet, deren Irrationalität und Transzendenz wurde durch viele Jahre nach ihrer Entdeckung unter Beweis gestellt.PI Beweise wurde 1882 gegeben und im Jahre 1894, die ein Ende der Debatte über das Problem der Quadratur des Kreises, die für mehr als 2500 Jahre dauerte setzen vereinfacht.Es ist immer noch nicht vollständig verstanden, so dass die moderne Mathematik hat zu tun.By the way, die erste einigermaßen genaue Berechnung dieses Wertes hatte Archimedes.Vor ihm alle Berechnungen waren zu ungefähr.
für e (Eulersche Zahl, oder Napier), Beweis seiner Transzendenz wurde 1873 gefunden.Es wird bei der Lösung der Gleichungen logarithmischen verwendet.
unter anderen Beispielen - die Werte von Sinus, Kosinus und Tangens für Nicht-Null-algebraischen Werte.
