studiert höhere Mathematik sollte bekannt, dass die Summe einer Potenzreihe im Konvergenzintervall einer Anzahl von uns, ist eine kontinuierliche und unbegrenzt oft differenziert Funktion werden.Stellt sich die Frage: Ist es möglich, dass bei einem beliebigen Funktion f argumentieren, (x) - ist die Summe einer Potenzreihe?Das heißt, unter welchen Bedingungen die f-Ia f (x) kann durch eine Potenzreihe dargestellt werden?Die Bedeutung dieses Problems besteht darin, dass es möglich ist, ungefähr ersetzen Q-uw f (x) ist die Summe der ersten Terme der Potenzreihe, also Polynoms.Ein solcher Ersatzfunktion ist einfach expression - Polynom. - Bequem und bei der Lösung bestimmter Probleme in der mathematischen Analyse, nämlich der Lösung des Integrale Berechnung Differentialgleichungen, usw. D.
bewiesen, dass aus irgendeinem f-ii f (x)die die Derivate der (n + 1) ter Ordnung, einschließlich der neuesten, in der Nähe der Berechnung kann (α - R, x0 + R) von einem Punkt x = α ist ein fairer Formel:
Diese Formel ist nach dem berühmten Wissenschaftler Brooke Taylor benannt.Die Serie, die von der vorherigen abgeleitet ist, eine so genannte Maclaurin Serie:
Regel, die es möglich, eine Maclaurin-Reihenentwicklung zu produzieren macht:
- Bestimmen Sie die Ableitungen der ersten, zweiten, dritten ... bestellen.
- berechnet, welche Derivate in x = 0 sind.
- Nehmen Maclaurinschen Reihe für diese Funktion, und dann die Konvergenzintervall zu bestimmen.
- bestimmen den Abstand (R; R), wobei der Rest der Formel Maclaurinschen
Rn (x) - & gt;0 für n - & gt;Unendlichkeit.Wenn es vorhanden ist, muss er die Funktion f (x) gleich der Summe der Maclaurinschen Serie.
Betrachten wir nun den Maclaurin-Reihe für die einzelnen Funktionen.
1. Somit ist das erste f (x) = ex.Natürlich durch ihre Eigenschaften wie f-Ia Ableitungen von einer Vielzahl von Aufträgen, und f (k) (x) = ex, wobei k gleich auf alle natürlichen Zahlen ist.Einsetzen von x = 0.Erhalten wir f (k) (0) = e 0 = 1, k = 1,2 ... Basierend auf der oben eine Reihe von ex wird wie folgt sein:
2. Maclaurinschen Serie für die Funktion f (x) = sin x.Sofort angeben, dass f-Ia für alle Unbekannten werden Derivate neben f '(x) = cos x = sin (x + n / 2), f' '(x) = sin x = sin (x+ 2 * n / 2), ..., f (k) (x) = sin (x + K * n / 2), wobei k gleich jede positive ganze Zahl ist.Das heißt, durch Durchführen einfacher Berechnungen, können wir schließen, dass die Reihe für f (x) = sin x ist von diesem Typ:
3. Betrachten wir nun die Theologischen Fakultät f (x) = cos x.Es ist für alle der unbekannten Ableitungen beliebiger Reihenfolge und | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) | & lt; = 1, k = 1,2 ... erneut, wodurchbestimmte Berechnungen, so finden wir, dass die Reihe für f (x) = cos x, würde so aussehen:
So haben wir die wichtigsten Eigenschaften, die in einer Maclaurin-Reihe erweitert werden kann, aufgeführt, aber sie ergänzen die Taylor-Reihe für einige Funktionen.Jetzt werden wir sie als gut aufzulisten.Es sollte auch darauf hingewiesen, dass Taylor und Maclaurin-Reihe sind ein wichtiger Teil der Workshopreihe in Lösungen der höheren Mathematik werden.Also, Taylor-Reihe.
1. Die erste ist die Reihe für f-ii f (x) = ln (1 + x).Wie in den vorhergehenden Beispielen für diese wir f (x) = ln (1 + x) in einer Reihe zusammengefaltet werden, wobei die allgemeine Form Maclaurinschen Serie.Jedoch kann diese Funktion Maclaurinschen erhalten viel einfacher werden.Die Integration einer geometrischen Reihe, bekommen wir die Reihe für f (x) = ln (1 + i) der Probe:
2. Und die zweite, das Finale in diesem Artikel sein wird, ist die Reihe für f (x) = arctg ist.Für x auf das Intervall gehörenden [-1, 1], ist die Erweiterung der Messe:
Das ist alles.In diesem Artikel haben wir in den Bereichen Wirtschaft und Fachhochschulen als das am häufigsten verwendete Maclaurin und Taylor-Reihe in der höheren Mathematik, insbesondere.
