Geometrie ist schön, weil, anders als Algebra, die nicht klar, wie das, was Sie denken, ist immer, gibt ein visuelles Objekt.Diese wunderbare Welt der verschiedenen Gremien schmücken die regulären Polyeder.
Verständnis regulären Polyeder
Nach Meinung vieler, regelmäßige Polyeder, oder wie sie genannt werden die platonischen Körper haben einzigartige Eigenschaften.Mit diesen Objekten verbundenen mehreren wissenschaftlichen Hypothesen.Wenn Sie die Geometriedaten des Körpers zu studieren beginnen, merkt man, dass fast nichts über ein solches Konzept wie die regulären Polyeder wissen.Die Präsentation dieser Objekte in der Schule ist nicht immer interessant, so viele nicht einmal daran erinnern, was sie genannt wurden.In der Erinnerung an die meisten Menschen ist es nur ein Würfel.Keine der Stellen in der Geometrie nicht so perfekt, wie reguläre Polyeder besitzen.All die Namen dieser geometrische Körper entstand aus dem alten Griechenland.Sie repräsentieren die Anzahl der Flächen: das Tetraeder - vierseitige, Hexaeder - Allen, Oktaeder - Oktaeder, Dodekaeder - Dodekaeder, Ikosaeder - Ikosaeder.Alle diese geometrische Körper nimmt einen wichtigen Platz in Platons Auffassung des Universums.Vier von ihnen verkörpern Elemente oder Einrichtungen: das Tetraeder - Brand Ikosaeder - Wasserwürfel - Erde, Oktaeder - Luft.Dodecahedron verkörpert alles.Er galt als der Haupt, denn er war ein Symbol des Universums.
Verallgemeinerung des Konzeptes eines Polyeders
Polyeders ist ein Satz von endliche Anzahl von Polygonen, so dass:
- jede Seite jedes der Polygone ist auch die Gruppe von nur einem anderen Polygon auf der gleichen Seite;
- von jedem der Polygone durch, die zu den anderen benachbarten Polygonen mit ihm erreicht werden.
Polygone das Polyeder bilden, sind ihre Gesichter und ihre Seite - Rippen.Eckpunkte sind Scheitel der Polygone.Wenn Sie mit dem Konzept eines Polygons flache geschlossene Polylinien zu verstehen, dann, um eine Definition eines Polyeders kommen.In dem Fall, wo dieser Begriff bedeutet, dass ein Teil der Ebene, die durch gestrichelte Linien begrenzt wird, ist es notwendig, die Oberfläche zu verstehen, die aus polygonalen Stücken.Konvexes Polyeder heißt den Körper auf einer Seite der Ebene liegen, angrenzend an seinen Flächen.
Eine andere Definition eines Polyeders und seine Elemente
Polyeder ist eine Oberfläche, die aus Polygonen, die den geometrischen Körpers begrenzt.Es sind dies:
- nicht-konvexen;
- konvex (richtig und falsch).
regelmäßiges Polyeder - ist konvexes Polyeder mit maximaler Symmetrie.Elemente der regulären Polyeder:
- Tetraeders 6 Kanten, 4 Seiten, 5 Ecken;
- Hexaeder (Würfel) 12, 6, 8;
- Dodekaeder 30, 12, 20;
- Oktaeder 12, 8, 6;
- Ikosaeder: 30, 20, 12.
Satz von Euler
Es wird eine Beziehung zwischen der Anzahl der Kanten, Ecken und Flächen sind topologisch äquivalent zu einer Kugel.Hinzufügen der Anzahl der Ecken und Flächen (B + D) in verschiedenen regulären Polyeder und deren Vergleich mit der Anzahl der Rippen, können Sie eine Regel festgelegt: die Summe der Anzahl der Flächen und Scheitelpunkte gleich der Anzahl der Kanten (F), erhöhte sich um 2. Sie können eine einfache Formel an:
- B + F = P + 2.
Diese Formel gilt für alle konvexen Polyeder.
Grundlegende Definitionen
Konzept einer regelmäßigen Polyeder ist unmöglich, in einem Satz beschreiben.Es ist ein Multi-Wert und Volumen.Eine Stelle, die als solche erkannt werden, ist es notwendig, dass es eine Reihe von Definitionen erfüllt.Zum Beispiel wird der geometrische Körper ein regelmäßiger Polyeder bei der Erfüllung dieser Bedingungen:
- konvex;
- die gleiche Anzahl von Rippen konvergieren in jeder seiner Ecken;
- alle Facetten der es - regelmäßige Vielecke, einander gleich;
- alle Flächenwinkel sind gleich.
Eigenschaften der regulären Polyeder
Es gibt 5 verschiedene Arten von regulären Polyeder:
- Cube (Hexaeder) - Er hat einen flachen Winkel an der Spitze beträgt 90 °.Es verfügt über ein 3-seitiger Ecke.Die Summe der Flächenwinkel an der Spitze von 270 °.
- Tetrahedron - flachen Winkel an der Spitze - 60 °.Es verfügt über ein 3-seitiger Ecke.Die Summe der Flächenwinkel am Scheitelpunkt - 180 °.
- Octahedron - flachen Winkel an der Spitze - 60 °.Es verfügt über ein 4-seitig Ecke.Die Summe der Flächenwinkel am Scheitelpunkt - 240 °.
- Dodekaeder - einen flachen Winkel an der Spitze des 108 °.Es verfügt über ein 3-seitiger Ecke.Die Summe der Flächenwinkel am Scheitelpunkt - 324 °.
- Ikosaeder - seinem flachen Winkel an der Spitze - 60 °.Es verfügt über 5-Seiten-Ecke.Die Summe der Flächenwinkel an der Spitze von 300 °.
Gebiet
regulären Polyeder Die Oberfläche der geometrische Körper (S) wird als die Fläche eines regelmäßigen Polygons berechnet wird, multipliziert mit der Anzahl ihrer Seiten (G):
- S = (a 2) x 2G ctg π / p.
Volumen eines regulären Polyeders
Dieser Wert wird durch Multiplizieren des Volumens einer regelmäßigen Pyramide, deren Basis ein regelmäßiges Vieleck ist, die Anzahl von Flächen berechnet, und seine Höhe ist der Radius des eingeschriebenen Kugel (r):
- V = 1: 3RS.
Volumen der regulären Polyeder
Wie jede andere geometrische feste, regelmäßige Polyeder haben unterschiedliche Volumina.Angezeigt werden die Formeln, mit denen sie berechnet werden kann:
- Tetraeder: α x 3√2: 12;
- Oktaeder: α x 3√2: 3;
- Ikosaeder;α x 3;
- Hexaeder (Würfel): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
- Dodekaeder: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elements regulären Polyeder
Hexaeder und Oktaeder sind Dual geometrische Körper.Mit anderen Worten, sie aus einander in dem Fall zu erhalten, dass der Flächenschwerpunkt einer als die Oberseite des anderen und umgekehrt gemacht.Es ist auch die Doppel Ikosaeder und Dodekaeder.Nur ich Tetraeder ist dual.Haft Euclid aus einem Dodekaeder Hexaeder durch Konstruieren "Dächern" auf den Flächen des Würfels erhalten werden.Die Ecken des Tetraeders irgendwelche 4 Eckpunkte des Würfels nicht benachbarten Paaren der Rippe.Von Hexaeder (Würfel) erhalten werden kann, und andere regelmäßige Polyeder.Trotz der Tatsache, dass regelmäßige Vielecke haben unzählige, regulären Polyeder gibt es nur 5.
Radien regelmäßige Polygone
Mit jedem dieser geometrische Körper verbunden 3 konzentrischen Kugeln:
- beschrieben, die durch ihren Höhepunkt;
- schrieben bezüglich jeder seiner Seiten in der Mitte davon;
- Median über alle Kanten in der Mitte.
Radius der Kugel berechnet wird, wie durch die folgende Formel beschrieben:
- R = a: 2 x tg π / g x tg θ: a
- : R = 2 x ctg 2.
Radius des eingeschriebenen Kugel berechnet sich wie folgtπ / p x tg θ: 2,
wo θ - Flächenwinkel, der zwischen den benachbarten Flächen angeordnet ist.
mittleren Radius der Kugel kann durch die folgende Formel berechnet werden:
- ρ = A cos π / p: 2 sin π / h,
Wert h = 4,6, 6,10 oder 10. Das Verhältnis der Radien, wie beschrieben und eingeschriebensymmetrisch in Bezug auf p und q.
- R / r = tg π / p x tg π / q: Es wird von der folgenden Formel berechnet.
Symmetry Symmetry Polyeder
regulären Polyeder ist von primärem Interesse für diese geometrische Körper.Es wird als eine Bewegung eines Körpers im Raum, die die gleiche Anzahl von Knoten und Kanten Blätter verstanden.Mit anderen Worten, unter dem Einfluss der Symmetrietransformationen Kante Eckpunkt, das Gesicht oder in seine ursprüngliche Position zurückhält, oder bewegt sich in die Ausgangsposition eines anderen Rippe, die anderen Ecken oder Flächen.
regulären Polyeder Symmetrieelemente, die für alle Arten von geometrischen Körpern.Hier wird über die Identität Transformation, die einen der Punkte in der ursprünglichen Position verlässt durchgeführt.Somit kann durch Drehen des polygonalen Prismas können mehrere Symmetrien empfangen.Jedes von diesen kann als das Produkt der Reflexionen dargestellt werden.Die Symmetrie, die das Produkt einer geraden Anzahl an Reflexionen ist, die so genannte direkte.Wenn es ein Produkt aus einer ungeraden Anzahl von Reflexionen ist, wird er als Rückseite.Somit können alle Windungen um die Linie als eine gerade Symmetrie.Jede Reflexion der Polyeder - eine umgekehrte Symmetrie.
Um die Elemente der Symmetrie der regulären Polyeder, besser zu verstehen, können Sie das Beispiel eines Tetraeders zu nehmen.Jede Zeile, die durch eine der Ecken und der Mitte dieser geometrischen Figur übergeben wird, wird durch das Zentrum und dem Rand ihr gegenübergeben.Jede der Ecken 120 und 240 ° um die Linie gehört zu den mehreren tetraedrischen Symmetrie.Denn er hat 4 Ecken und Gesichter bekommen wir insgesamt acht Direkt Symmetrien.Jeder der Linien, die durch die Mitte der Kanten und der Mitte des Körpers, verläuft durch die Mitte seiner gegenüberliegenden Kanten.Jede Drehung um 180 °, eine so genannte halbe Drehung um die Linie ist eine Symmetrie.Da der Tetraeder, gibt es drei Paare von Rippen, bekommt man drei Symmetrielinien.Basierend auf dem Vorstehenden kann geschlossen werden, dass die Gesamtzahl der direkt Symmetrie und einschließlich der Identitätstransformation, werden bis zu zwölf sein.Andere direkte Symmetrie Tetraeder ist nicht vorhanden, aber es hat 12 inverse Symmetrie.Folglich wird die Tetraeder durch insgesamt 24 Symmetrien aufweist.Aus Gründen der Übersichtlichkeit können Sie ein Modell eines regelmäßigen Tetraeders aus Pappe bauen und sicherzustellen, dass es die geometrische Körper wirklich nur 24 Symmetrie.
Dodekaeder und Ikosaeder - am nächsten an der Fläche des Körpers.Das Ikosaeder hat die größte Anzahl von Flächen, die größte Flächenwinkel und enger alle können zur eingezeichneten Kugel klammern.Die Dodekaeder hat den geringsten Winkelfehler, der größten Raumwinkel an der Spitze.Es kann so viel wie möglich zu beschreiben, die in den Rahmen zu füllen.
Sweep Polyeder
regulären Polyeder-Scan, die wir alle in der Kindheit gebunden haben eine Menge von Konzepten.Wenn es einen Satz von Polygonen wird jede Seite, von denen nur die eine Seite der Polyeder identifiziert, muss die Bezeichnung der Parteien mit zwei Bedingungen erfüllen:
- jedes Polygons, können Sie zu einem Polygon mit Seiten identifiziert zu gehen;
- identifizierbare Parteien müssen die gleiche Länge haben.
Es ist ein Satz von Polygonen, die diese Bedingungen und genannte Scan-Polyeder zu erfüllen.Jedes dieser Gremien hat mehrere von ihnen.Zum Beispiel hat ein Würfel 11 Stück davon.
