mechanisches System, das aus einem Material besteht Punkt (dem Körper) besteht, hängen an der Schwerelosigkeit nicht dehnbaren Faden (dessen Masse vernachlässigbar im Vergleich zum Gewicht des Körpers) in einem gleichförmigen Gravitationsfeld, genannt der mathematischen Pendels (ein anderer Name - der Oszillator).Es gibt andere Arten von Geräten.Statt eines Filaments verwendet werden schwereStange.Pendulum deutlich offenbaren das Wesen der viele interessante Phänomene.Bei niedrigen Amplitudenschwankungen seiner Bewegung wird als harmonisch.
Verständnis der Mechanik
Formel Schwingungsdauer des Pendels wurde niederländische Wissenschaftler Huygens gezüchtet (1629-1695 gg.).Dieser Zeitgenosse von Isaac Newton war sehr angetan von dem mechanischen System.Im Jahr 1656 schuf er die erste Uhr mit einem Pendelmechanismus.Sie maßen die Zeit mit höchster Präzision für die damalige Zeit.Diese Erfindung war ein wichtiger Schritt in der Entwicklung von physikalischen Experimenten und praktischen Aktivitäten.
Wenn das Pendel in seiner Gleichgewichtsposition (vertikal hängend), die Schwerkraft wird durch die Kraft der Fadenspannung ausgeglichen.Flach Pendel auf einer nicht dehnbaren Garn ist ein System mit zwei Freiheitsgraden mit einem Link.Wenn Sie nur eine Komponente der Änderungseigenschaften der allen seinen Teilen zu ändern.Wenn daher eine Kette durch eine Stange ersetzt wird, ist dann gegeben mechanische System nur einen Freiheitsgrad.Was waren die Eigenschaften des mathematischen Pendels?In diesem einfachen System unter dem Einfluss einer periodischen Störung besteht Chaos.In dem Fall, wo der Punkt der Aufhängung sich nicht bewegt, und schwingt das Pendel wird auf eine neue Gleichgewichtslage.Wenn schnelle Schwankungen nach oben und unten das mechanische System wird stabil Position "auf den Kopf."Es hat auch seinen Namen.Man nennt sie die Kapitza Pendel.
Eigenschaften
Pendel Pendel hat sehr interessante Eigenschaften.Alle von ihnen werden von bekannten physikalischen Gesetzen unterstützt.Die Schwingungsperiode des Pendels andere hängt von verschiedenen Faktoren, wie der Größe und Form des Körpers, der Abstand zwischen dem Aufhängungspunkt und dem Zentrum der Schwerkraft, Gewichtsverteilung in Bezug auf diesen Punkt.Deshalb ist die Definition der Periode des hängenden Körper ist eine ziemliche Herausforderung.Es ist viel einfacher, die Periode eines mathematischen Pendels, dessen Formel nachstehend wiedergegeben ist berechnen.Als ein Ergebnis der Beobachtung solcher mechanischer Systeme können solche Gesetze festgelegt werden:
• Wenn, unter Beibehaltung der gleichen Länge des Pendels, suspendiert verschiedenen Belastungen, die Schwingungsperiode erhalten die gleichen, obwohl ihr Gewicht sehr stark.Daher ist der Zeitraum einer solchen Pendels unabhängig von der Lastmasse.
• Wenn das System startet, um abzulenken, das Pendel ist nicht zu groß, aber unterschiedlichen Winkeln, wird es mit dem gleichen Zeitraum, aber in unterschiedlichen Amplituden schwanken.Solange die Abweichung von der Mitte der Waage nicht zu großen Schwankungen in ihrer Form sind nah genug, harmonisch.Die Periode des Pendels nicht von der Schwingungsamplitude abhängt.Diese Eigenschaft des mechanischen Systems heißt Isochronismus (griechisch "chronos" - time "Izosov" - gleich).
Zeitraum von ein einfaches Pendel
Dies entspricht einem Zeitraum von Eigenschwingungen.Trotz der komplizierten Formulierung ist das Verfahren sehr einfach.Wenn die Länge des Gewindes der ein einfaches Pendel L, und die Gravitationsbeschleunigung g, dann ist dieser Wert:
T = 2π√L / g
kleinen Periode natürlicher Schwingungen in keiner Weise unabhängig von der Masse des Pendels und die Schwingamplitude.In diesem Fall bewegt sich das Pendel als mathematische Länge von hier.
Schwankungen mathematischen Pendels
Pendel schwingt, die durch eine einfache Differentialgleichung beschrieben werden kann:
x + ω2 sin x = 0,
wobei x (t) - unbekannter Funktion (das ist der Winkel der Abweichung von der unteren GleichgewichtslageZeit t, ausgedrückt in Radianten);ω - eine positive Konstante ist, die durch die Parameter des Pendels (ω = √g / L, wobei g bestimmt wird - die Erdbeschleunigung ist, und L -. Länge eines einfachen Pendels (Suspension)
Gleichung der kleinen Schwingungen in der Nähe der Gleichgewichtslage (Oberwellengleichung) ist wie folgt::..
x + ω2 sin x = 0
Schwingungsbewegung des Pendels
Pendulum, die kleinen Schwingungen macht, bewegte Sinuskurve Die Differentialgleichung zweiter Ordnung erfüllt alle Anforderungen und Parameter einer solchen Bewegung Zur Bestimmung der Pfad, den Sie die Geschwindigkeit und die Koordinaten festlegen müssen,die später bestimmt die unabhängigen Konstanten:
x = A sin (θ0 + & omega; t),
wo θ0 - die Anfangsphase, A - Schwingungsamplitude, ω - Winkelfrequenz, die von der Bewegungsgleichung
Pendulum (Formel für große bestimmt wird.Amplituden)
Dieses mechanische System, stellen Sie ihre Schwingungen mit einer signifikanten Amplitude unterliegt komplexeren Verkehrsregeln.Für eine solche Pendel sie nach der Formel berechnet:
sin x / 2 = u * sn (& omega; t / u)
wo sn - Jacobi Sinus, die für u & lt;1 ist eine periodische Funktion, und für kleine u es mit der einfachen trigonometrischen Sinuseinstimmt.U-Werte durch den folgenden Ausdruck bestimmt:
u = (ε + ω2) / 2ω2,
wo ε = E / mL2 (mL2 - Energie des Pendels).
Bestimmung der Schwingungsperiode eines nichtlinearen Pendels wird durch die folgende Formel durchgeführt:
T = 2π / Ω,
wobei Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - elliptische Integral, π - 3,14.
Pendelbewegung auf separatrix
genannt separatrix Trajektorie des dynamischen Systems, bei dem eine zweidimensionale Phasenraum.Pendel bewegt sich auf nicht-zyklische.In einem unendlich entfernten Punkt in der Zeit fällt er von der obersten Position in der Richtung der Geschwindigkeit Null und dann allmählich es.Er schließlich angehalten wird, wieder in seine ursprüngliche Position.
Wenn die Amplitude der Schwingung des Pendels nähert sich dem Nummer π legt dies nahe, dass die Bewegung in der Phasenebene in der Nähe des Separatrix.In diesem Fall wird unter dem Einfluß der kleine periodische Antriebskraft mechanischen Systems aufweist chaotisches Verhalten.
Im Falle eines einfachen Pendels aus der Gleichgewichtsposition mit einem Winkel φ tritt tangential Schwere Fτ = -mg sin φ."Minus" -Zeichen bedeutet, dass die tangentiale Komponente an der entgegengesetzten Seite des Pendels ausgerichtet.Bei der Benennung von x Pendelverlagerung entlang des Bogens eines Kreises mit dem Radius L der Winkelverschiebung ist gleich & phi; = x / LIsaac Newtons zweites Gesetz, für Projektionen des Vektors Beschleunigung ausgelegt und geben Sie den gewünschten Wert:
mg τ = Fτ = -mg sin x / L
Auf der Grundlage dieses Verhältnisses, ist es klar, dass das Pendel ist ein nichtlineares System, weil die Kraftwelche es zu einem Gleichgewichtslage zurückzukehren neigt nicht immer proportional zu der Verschiebung x und sin x / L.
Erst wenn der mathematischen Pendels führt kleine Schwingungen, ist es der harmonischen Oszillators.Mit anderen Worten, es wird ein mechanisches System, das zum Durchführen von Oberschwingungen.Diese Näherung gilt für fast Winkel 15-20 °.Pendel mit großen Amplituden nicht harmonisch.
Newtonsche Gesetz für kleine Schwingungen eines Pendels
Wenn das mechanische System führt kleine Schwingungen, wird die zweite Gesetz von Newton wie folgt aussehen:
mg τ = Fτ = -m * g / L * x.
Auf dieser Basis können wir schließen, dass die tangentiale Beschleunigung eines einfachen Pendels ist proportional zu seiner Verschiebung mit dem Zeichen "minus".Dies ist eine Bedingung, bei der das System zu einem harmonischen Oszillator.Module Proportionalitätsfaktor zwischen der Verschiebung und die Beschleunigung ist gleich dem Quadrat der Winkelfrequenz:
ω02 = g / l;ω0 = √ g / L.
Diese Formel entspricht der Eigenfrequenz der kleinen Schwingungen eines solchen Pendels.Auf dieser Grundlage
T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.
Berechnungen basieren auf dem Gesetz der Erhaltung der Energie
Eigenschaften der Schwingbewegung des Pendels kann mit Hilfe des Gesetzes der Erhaltung der Energie beschrieben.Es sollte beachtet werden, daß die potentielle Energie des Pendels in einem Gravitationsfeld ist gleich:
E = mgΔh = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2
volle mechanische Bewegungsenergie gleich oder maximale Potenzial: Epmax = Ekmsx = E
Nachdem Sie das Gesetz der Erhaltung der Energie geschrieben haben, die Ableitung der linken und rechten Seite der Gleichung:
Ep + Ek = konst
Da die Ableitung der konstante Werte gleich 0 ist, dann (Ep + Ek) '= 0. Die Ableitung gleich der Summe ist,Summe derivate
Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2 * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (V2) "= m / 2 * 2 V * v '= mv * α,
so:
mg / l * xv + MVA = v (mg / L * x + m alpha) = 0.
Aus der letzten Formel finden wir:α = - g / L * x.
Praktische Anwendung der mathematischen Pendels
Erdbeschleunigung variiert mit der geographischen Breite, da die Dichte der Erdkruste auf der Erde ist nicht die gleiche.Wo Felsen mit höherer Dichte auftreten, wird es etwas höher sein.Beschleunigung des mathematischen Pendels wird oft für die Exploration verwendet.Bei der Suche nach der Hilfe von einer Vielzahl von Mineralien.Einfach die Anzahl der Schwingungen eines Pendels, in den Eingeweiden der Erde Kohle oder Erz gefunden werden.Dies ist aufgrund der Tatsache, dass diese Mittel eine Dichte und Masse größer als unter losen Steinen liegen.
mathematischen Pendels durch so prominente Gelehrte wie Sokrates, Aristoteles, Plato, Plutarch, Archimedes verwendet.Viele von ihnen glaubten, dass das mechanische System kann das Schicksal und das Leben der Menschen beeinflussen.Archimedes verwendet ein mathematisches Pendel auf seine Berechnungen.Heutzutage haben viele Hellseher und Okkultisten verwenden diese mechanische System für die Umsetzung seiner Prophezeiungen oder der Suche nach vermissten Personen.
berühmten Französisch Astronom und Wissenschaftler K. Flammarion für ihre Forschung auch die mathematische Pendel.Er behauptete, dass mit seiner Hilfe konnte er die Entdeckung eines neuen Planeten, das Aussehen der Tunguska-Meteorit, und andere wichtige Ereignisse vorherzusagen.Während des Zweiten Weltkriegs in Deutschland (Berlin) ist ein Spezialinstitut des Pendels.Heute engagiert solche Forschung das Münchner Institut für Parapsychologie.Seine Arbeit mit dem Pendel das Personal dieser Institution namens "radiesteziey."
