Das unbestimmte Integral.

Eine der grundlegenden Zweige der mathematischen Analyse ist der Integralrechnung.Es deckt das weite Feld von Objekten, wobei die erste - es ist eine unbestimmte Integral.Verschiebe es wie der Schlüssel ist, dass wieder in der Schule zeigt eine zunehmende Anzahl von Perspektiven und Chancen, die die höhere Mathematik beschreibt.

Aussehen

Auf den ersten Blick scheint es völlig integraler Bestandteil moderner, topische, aber in der Praxis stellt sich heraus, dass er im Jahre 1800 BC erschienen war.Homeland offiziell als Ägypten als habe die früheren Beweise für seine Existenz überlebt.Es aufgrund des Fehlens von Daten, die ganze Zeit einfach positioniert als Phänomen.Es bestätigt einmal mehr das Niveau der wissenschaftlichen Entwicklung der Völker der damaligen Zeit.Schließlich wurde festgestellt, Schriften der antiken griechischen Mathematiker, aus dem 4. Jahrhundert vor Christus.Sie beschreiben die verwendetes Verfahren, das unbestimmte Integral, dessen Wesen war, um die Lautstärke oder die Fläche der gekrümmten Form (dreidimensionale und zweidimensionale Ebene bezeichnet) zu finden.Das Prinzip der Berechnung auf der Basis der Unterteilung der ursprünglichen Figur infinitesimal Komponenten vorgesehen, dass das Volumen (Fläche) bereits bekannt.Über die Zeit, wobei das Verfahren gewachsen ist, verwendet Archimedes es, den Bereich der Parabel finden.Ähnliche Berechnungen zur gleichen Zeit, und führen Übungen im alten China, wo sie völlig unabhängig von der griechischen Kolleginnen und Wissenschaft waren.

Entwicklung

nächste Durchbruch in der XI Jahrhundert vor Christus hat sich die Arbeit der arabischen Wissenschaftler "wagon" Abu Ali al-Basri, der für die Berechnung der Summen der Mengen und Grade von der ersten bis geschoben die Grenzen des bereits bekannt, werden von der Integralformel abgeleitetViertens, mit dafür kennen wir die Methode der vollständigen Induktion.
Köpfen heute bewundern, wie die alten Ägypter schuf die erstaunliche Denkmäler ohne Spezialwerkzeuge, mit der möglichen Ausnahme von seinen Händen, aber nicht die Kraft des Geistes Wissenschaftler der Zeit nicht weniger ein Wunder?Im Vergleich zu der heutigen Zeit des Lebens scheint fast primitiv, aber die Entscheidung des unbestimmte Integrale überall abgeleitet und in der Praxis für die weitere Entwicklung verwendet.

nächsten Schritt erfolgte im XVI Jahrhundert, als italienischer Mathematiker gebracht Cavalieri Methode der unteilbaren, die bis Pierre de Fermat gerichtet.Diese beiden Persönlichkeit legte den Grundstein für die moderne Integralrechnung, die im Moment bekannt ist.Sie banden die Konzepte der Differenzierung und Integration, die zuvor als autonome Einheiten wahrgenommen wurden.Im Großen und Ganzen hat sich die Mathematik der damals erschüttert sind die Schlussfolgerungen der Teilchen existieren durch sie selbst, mit wenig Spielraum.Weg des Vereins und der Suche nach gemeinsamen Boden war der einzige wahre im Moment, dank ihm, hatte die moderne mathematische Analyse die Möglichkeit, zu wachsen und sich zu entwickeln.

Im Laufe der Zeit ändert alles, und die Schreibweise des Integrals als auch.Im Großen und Ganzen haben die Wissenschaftler es auf seine Weise bezeichnet beispielsweise verwendet Newton ein quadratisches Symbol, der eine integrierbare Funktion setzen oder einfach zusammen zu stellen.Diese Ungleichheit dauerte bis zum siebzehnten Jahrhundert, als ein Wahrzeichen für die ganze Theorie der mathematischen Analyse Wissenschaftler Gottfried Wilhelm Leibniz als Symbol uns vertraut eingeführt.Der langgestreckte "S" ist tatsächlich auf diesem Buchstaben des Alphabets basiert, wie die Summe von Grundelementen.Der Name des integralen war auf Jacob Bernoulli, nach 15 Jahren.

formale Definition der unbestimmte Integral hängt von der Definition der primitiven, so dass wir es in den ersten Platz.

Die primitive - es ist die Umkehrfunktion des Derivats, in der Praxis ist es primitiv.Mit anderen Worten: primitive Funktion von d - ist eine Funktion D, die gleich v & lt die Ableitung; = & gt;V '= v.Suche das Grundelement, die Berechnung der unbestimmte Integral, und der Prozess wird Integration bezeichnet.

Beispiel:

Funktion s (y) = y 3, und seine primitive S (y) = (Y4 / 4).

Menge aller Grundelemente der Funktion - das ist ein unbestimmtes Integral, wird es wie folgt angezeigt: ∫V (x) dx.

Da die V (x) - Dies sind einige der ursprünglichen Stammfunktion, haben wir einen Ausdruck: ∫V (x) dx = V (x) + C, wobei C - konstant.Unter der willkürlichen Konstanten jede konstant, da ihre Ableitung gleich Null ist.

Eigenschaften

Eigenschaften, die eine unbestimmte Integral haben, basierend auf den Definitionen und Eigenschaften von Derivaten.
Betrachten wichtigsten Punkte:

Integral-Differential des primitiven selbst primitive plus eine beliebige Konstante C & lt; = & gt;∫V '(x) dx = V (x) + C;
Ableitung des Integrals der Funktion ist, die ursprüngliche Funktion & lt; = & gt;(∫V (x) dx) '= v (x);
Konstante wird aus dem Integralzeichen & lt entfernt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v (x) dx wobei k - ist beliebig;
Integral, das aus der Summe der identisch gleich der Summe der Integrale der & lt genommen wird; = & gt;∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫ V (y) dy + ∫w (y) dy.

Die letzten beiden Eigenschaften kann geschlossen werden, dass die unbestimmte Integral ist linear.Aus diesem Grund haben wir: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Konsolidierung betrachten Lösungsbeispiele unbestimmte Integrale.

notwendig, das Integral ∫ finden (3sinx + 4cosx) dx:

∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C

Aus dem Beispiel können wir schließen, dass Sie nicht wissen, wie man mit unbestimmter Integrale umgehen?Nur finden Sie alle Grundelementen!Doch die Suche nach den Grundsätzen im Folgenden erörtert.

Verfahren und Beispiele

Zur Lösung der integralen, können Sie auf die folgenden Methoden zurückgreifen:

Tisch gebrauchsfertig;
Integration von Teilen;
durch Ersetzen der variablen integriert;
Siedlung unter dem Zeichen des Differenz.

Tabellen

einfachste und angenehmste Art.Im Moment ist die mathematische Analyse rühmen können recht umfangreich Tabellen, die die grundlegenden Formeln der unbestimmte Integrale ausgeschrieben.Mit anderen Worten, gibt es Muster, Ihnen abgeleitet und man kann nur nutzen sie.Hier ist eine Liste von Basistabellenpositionen, die fast jede Instanz angezeigt werden können, mit einer Lösung:

∫0dy = C, wobei C - Konstante;
∫dy = y + C, wobei C - Konstante;
∫yndy = (yn + 1) / (n + 1) + C, wobei C - eine Konstante ist und n - unterscheidet sich von der Anzahl der Einheiten;
∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, wobei C - Konstante;
∫eydy = ey + C, wobei C - Konstante;
∫kydy = (ky / ln k) + C, wobei C - Konstante;
∫cosydy = siny + C, wobei C - Konstante;
∫sinydy = -cosy + C, wobei C - Konstante;
∫dy / cos2y = tgy + C, wobei C - Konstante;
∫dy / sin2y = -ctgy + C, wobei C - Konstante;
∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, wobei C - Konstante;
∫chydy = schüchtern + C, wobei C - Konstante;
∫shydy = Chy + C, wobei C - konstant.

Wenn Sie ein paar Stufen führen zu einem Integra tabellarische Ansicht und genießen den Sieg wollen.Beispiel: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C

Nach der Entscheidung ist klar, dass für die TabelleBeispiel Integra fehlt Multiplikator 5. Wir fügen es parallel zu diesem multiplizieren mit 05.01 auf allgemeine Ausdruck veränderte sich nicht.

partiellen Integration

Betrachten Sie zwei Funktionen - z (y) und x (y).Sie müssen auf dem Domain-stetig differenzierbar sein.Als eine der Eigenschaften der Differenzierung haben: d (xz) + = xdz zdx.Die Integration beider Seiten, erhalten wir: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) = & gt;zx = ∫zdx + ∫xdz.

Neudefinierung der resultierende Gleichung, erhalten wir eine Formel, die die Methode der partiellen Integration beschreibt: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Warum ist es notwendig?Die Tatsache, dass einige Beispiele vereinfachen kann, relativ gesehen, um ∫zdx ∫xdz reduzieren, wenn dieser in der Nähe einer Tabellenform.Auch kann diese Formel mehr als einmal verwendet werden, für optimale Ergebnisse.

Wie unbestimmte Integrale zu lösen auf diese Weise:

notwendig, ∫ (n + 1) zu berechnen e2sds

∫ (x + 1) e2sds = {z = n + 1, dz = ds, y = 1 / 2e2s, dy= e2xds} = ((n + 1) e2s) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((n + 1) e2s) / 2-e2s / 4 + C;

müssen ∫lnsds berechnen

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = SLN - ∫s x ds / s = SLN - ∫ds = SLN -s+ C = s (LNS-1) + C

Ersatz variable

Dieses Prinzip Entscheidung unbestimmte Integrale der Nachfrage nicht weniger als die beiden vorangegangenen, allerdings kompliziert.Das Verfahren ist wie folgt: Es sei V (x) - das Integral einer Funktion V (x).Für den Fall, dass an sich fester in die Fänge slozhnosochinenny Beispiel ist wahrscheinlich verwirrt werden und gehen Sie auf die falschen Lösungen.Um dies zu vermeiden praktiziert Übergang von Variablen x zu z, in dem ein allgemeiner Ausdruck optisch vereinfacht und gleichzeitig z ab x.

In mathematischer Sprache ist wie folgt: ∫V (x) dx = ∫ V (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (j-1 (x)), wobei x =y (z) - Substitution.Und, natürlich, die inverse Funktion z = y-1 (x) beschreibt vollständig die Beziehung und die Beziehung zwischen den Variablen.Wichtig - Differential dx unbedingt mit der neuen Differential dz ersetzt, da die Änderung der Variable in der unbestimmte Integral geht es überall zu ersetzen, nicht nur im Integra.

Beispiel:

finden müssen, ∫ (n + 1) / (s2 + 2s - 5) ds

gelten die Substitution z = (n + 1) / (s2 + 2s-5).Dann 2sds = dz = 2 + 2 (n + 1) ds & lt; = & gt;(n + 1) DS = dz / 2.Als Ergebnis der folgenden Gleichung, die sehr einfach zu berechnen:

∫ (n + 1) / (s2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln| s2 + 2s-5 | + C;

müssen integraler ∫2sesdx

finden Um Umschreiben von Adressen den Ausdruck in der folgenden Form:

∫2sesds = ∫ (2e) sds.

bezeichnen ein = 2e (ersetzt das Argument, ist dieser Schritt nicht, es ist immer noch s), geben unseren scheinbar komplexen, integralen, grundlegende Tabellenform:

∫ (2e) SDS = ∫asds = wie / LNA+ C = (2e) s / ln (2e) + C = 2ses / ln (2 + lne) + C = 2ses / (LN2 + 1) + C

Wrap unter dem Zeichen des Differenz

Im Großen und Ganzen dieser Methodeunbestimmte Integrale - Zwillingsbruder von dem Prinzip der Veränderung der variablen, aber es gibt Unterschiede in den Prozess der Registrierung.Betrachten Detail.

Wenn ∫V (x) dx = V (x) + C und y = z (x), dann ∫V (y) dy = V (y) + C

Wir sollten nicht vergessen, die trivial Integraltransformationen, unterwobei:

dx = d (x + a), und wobei - jede Konstante;
dx = (1 / a) d (ax + b), wobei a - wieder konstant, aber nicht Null ist;
xdx = 1 / 2d (x2 + b);
sinxdx = -d (cosx);
cosxdx = d (sin x).

Wenn wir den allgemeinen Fall, wenn wir berechnen die unbestimmte Integral kann Beispielen unter die allgemeine Formel w gebracht werden '(x) dx = dw (x).

Beispiele:

müssen ∫ (2s + 3) 2ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) 2ds = 1 / 2∫ (2s + 3) 2d (2s finden+ 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / coss = -ln | coss | + C

Online-Hilfe

In einigen Fällen kann der Fehler, die sein oder Faulheit kann, oder eine dringende Notwendigkeit, die Sie verwenden könnenOnline-Tipps, oder besser gesagt, um einen Rechner unbestimmte Integrale verwenden.Trotz der scheinbaren Komplexität und Brisanz der Integrale, ist ihre Entscheidung, die Gegenstand eines bestimmten Algorithmus, der auf dem Prinzip der aufgebaut ist ", wenn Sie nicht ... dann ...".

natürlich sehr kompliziert Beispiele dieser Rechner nicht beherrschen, da es Fälle gibt, in dem eine Entscheidung getroffen hat, um einen künstlich "gezwungen" durch Einführung bestimmter Elemente in dem Prozess, weil das Ergebnis nicht offensichtliche Wege zu erreichen.Trotz der kontroversen Natur dieser Aussage, es ist wahr, wie die Mathematik im Prinzip eine abstrakte Wissenschaft, und ihr Hauptziel ist der Auffassung, die Notwendigkeit, die Grenzen der Möglichkeiten zu erweitern.In der Tat, für eine glatte Lauf in den Theorien ist sehr schwierig, sich zu bewegen und zu entwickeln, also nicht davon ausgehen, dass Beispiele für die Lösung von unbestimmten Integralen, die uns gegeben hat - das ist die Höhe der Optionen.Aber zurück zur technischen Seite der Dinge.Zumindest, um die Berechnungen zu überprüfen, können Sie den Dienst, in dem es zu uns geschrieben zu verwenden.Wenn es eine Notwendigkeit für eine automatische Berechnung komplexer Ausdrücke, so müssen sie nicht zu einem ernsteren Software zurückzugreifen.Es ist notwendig, die Aufmerksamkeit in erster Linie auf die Umwelt Matlab bezahlen.

Anwendungs

Entscheidung unbestimmte Integrale auf den ersten Blick scheint komplett von der Realität, weil es schwierig ist, die offensichtliche Verwendung der Ebene zu sehen.In der Tat, ihre Verwendung überall direkt unmöglich, sie jedoch für notwendig erachtet, Zwischenelement in den Prozess der Rückzug der Lösungen in der Praxis eingesetzt.Also, zurück zur Integration der Differenzierung und damit aktiv in den Prozess der Lösung von Gleichungen.
Im Gegenzug haben diese Gleichungen einen direkten Einfluss auf die Entscheidung eines mechanischen Problems, die Berechnung der Flugbahnen und Wärmeleitfähigkeit - kurz, alles, was die Gegenwart und die Gestaltung der Zukunft darstellt.Die unbestimmte Integral, deren Beispiele wir oben, als Basis als auf den ersten Blick nur trivial, zur Durchführung von mehr und mehr neue Entdeckungen.