Reelle Zahlen und deren Eigenschaften

Pythagoras behauptete, dass die Zahl ist die Erschaffung der Welt auf gleicher Basis mit den grundlegenden Elementen.Platon glaubte, dass die Anzahl der Links, das Phänomen und Noumenon und hilft zu wissen, zu wiegenden und Schlussfolgerungen zu ziehen.Arithmetik kommt von dem Wort "arifmos" - die Anzahl, begann der Anfang in der Mathematik.Es ist möglich, jedes Objekt zu beschreiben - von der Grundschule an apple abstrakten Räumen.

muss als Faktor der

In der Anfangsphase der Gesellschaft braucht Menschen, die von der Notwendigkeit, Punktzahl zu halten begrenzt. - Eine Tasche mit Getreide, zwei Getreidesäcke usw. D. Um dies zu tun, wurde es natürliche Zahlen, von denen ist der Satz eine unendliche Folge von positiven ganzen ZahlenN.

Später, mit der Entwicklung der Mathematik als Wissenschaft, war es notwendig, den Bereich der ganzen Zahlen Z trennen - es negative Werte und Null enthält.Sein Auftritt auf Haushaltsebene wurde durch die Tatsache, dass die erstmalige Bilanzierung, die Schulden und Verluste irgendwie beheben ausgelöst.Auf der wissenschaftlichen Ebene, machte negative Zahlen es möglich, einfache lineare Gleichungen zu lösen.Unter anderem ist es nun möglich, Bild trivial Koordinatensystem, dh. A. Es war ein Bezugspunkt.

Der nächste Schritt war die Notwendigkeit, die Bruchzahlen geben, weil die Wissenschaft bleibt nicht stehen, forderte mehr und mehr neue Entdeckungen eine theoretische Grundlage für eine neue Push-Wachstum.So gab es einen Körper der rationalen Zahlen Q.

schließlich nicht mehr den Anforderungen der Rationalität zu treffen, denn alle neuen Erkenntnisse erfordern Rechtfertigung.Dort wird der Körper der reellen Zahlen R, die Werke von Euklid Inkommensurabilität von bestimmten Mengen wegen ihrer Irrationalität.Das heißt, die Zahl der griechischen Mathematik positioniert nicht nur als eine Konstante, sondern als ein abstrakter Wert, der durch das Verhältnis der inkommensurabel Grßen charakterisiert ist.Aufgrund der Tatsache, dass es reelle Zahlen ", sah das Licht" Größen wie "pi" und "e", ohne die moderne Mathematik nicht stattgefunden haben.

Die letzte Neuerung war eine komplexe Zahl C. Er beantwortet eine Reihe von Fragen und widerlegt zuvor eingegebenen Postulate.Aufgrund der rasanten Entwicklung der Algebra Ergebnis war vorhersehbar - mit reellen Zahlen, die Entscheidung vieler Probleme nicht möglich war.Zum Beispiel mit komplexen Zahlen stach Stringtheorie und Chaos erweitert die Gleichungen der Hydrodynamik.

Mengenlehre.Cantor

Begriff der Unendlichkeit hat immer Kontroversen hervorgerufen, da es unmöglich war, zu beweisen oder zu widerlegen.Im Zusammenhang mit der Mathematik, die betrieben wird, streng überprüft Postulate, manifestiert sich am deutlichsten, zumal die theologischen Aspekte noch in der Wissenschaft gewogen.

jedoch durch die Arbeit der Mathematiker Georg Cantor aller Zeiten an seinem Platz.Er bewies, dass es eine unendliche Reihe von unendlich, und dass das Feld größer als der Bereich R N, und lassen Sie beide haben kein Ende.In der Mitte des XIX Jahrhunderts, seine Ideen rief laut Unsinn und ein Verbrechen gegen die klassischen Kanons unveränderlich, aber die Zeit wird alles, was an ihre Stelle setzen.

grundlegenden Eigenschaften des Feldes R

tatsächlichen Zahlen nicht nur die gleichen Eigenschaften wie der podmozhestva, die sie umfassen, sind jedoch von anderen Effekt ergänzt seine Elemente masshabnosti:

• Null existiert und ist in dem Bereich R. c + 0 =c für alle c von R.
• Null existiert und ist in dem Bereich R. c x 0 = 0 für jedes c von R.
• Verhältnis von c: d, wenn d ≠ 0 vorhanden und gültig für alle c, d von R.
• Golf R bestellt wird, das heißt, wenn c ≤ d, d ≤ c, dann c = d für alle c, d ist der R.
• Addition in R kommutativ, dh c + d = d + c für alle c,d von R.
• Multiplikation in R kommutativ ist, dass c x d = d x c für jedes c, d von R.
• Addition in R ist ein assoziatives, das heißt, (c + d) + f = c+ (d + f) für jedes c, d, f von R.
• Multiplikation in R ist assoziativ das heißt (c x d) x f = c x (d x f) für jedes c, d, f von R.
• für jedes der Felder des R besteht ihr Gegenteil, so daß c + (c) = 0, wobei c, -c von R.
• Für jede Reihe des Feldes gibt es eine inverse R, so daß x c c-1 = 1, wobei c, c-1 von R.
• Einheit vorhanden und wurde R, so dass die x c ​​1 = c, c für alle R.
• Valid Distributivgesetze, so daß c x (d + f) = c x d + c x f, für jedes c, d, f von R.
• in R ungleich Null auf Eins.
• Golf R ist transitiv: wenn c ≤ d, d ≤ f, dann c ≤ f für jedes c, d, f von R.
• In der Reihenfolge R und zusätzlich von miteinander: Wenn c ≤ d, dann c + f ≤d + f für alle c, d, f von R.
• Das R-Feld Multiplikationsverfahren und verbunden: wenn 0 ≤ c, 0 ≤ d, dann 0 ≤ c x d für jedes c, d von R.
• Als Negativund positive reelle Zahlen sind kontinuierlich, das heißt, für jedes c, d von R besteht in R f, so dass c ≤ f ≤ d.

Modul in den R

Reelle Zahlen sind so etwas wie ein Modul.Es zeigt sowohl | f | f für alle R. | f | = f, wenn 0 ≤ f und | f | = -f, wenn 0 & gt;f.Wenn wir das Modul als geometrischer Wert betrachten, stellt es die zurückgelegte Strecke - ob "bestanden" Sie als Null in der negativen zur positiven oder nach vorne.

Komplexe und reelle Zahlen.Was sind die Gemeinsamkeiten und Unterschiede?

Im großen und komplexen und reellen Zahlen - ist die gleiche, mit der Ausnahme, dass die erste ist die imaginäre Einheit i, deren Quadrat -1 verbunden.Elemente Felder R und C kann durch die folgende Formel dargestellt werden:

• c = d + f x i, wobei d, f, gehören in den Bereich R, und i - imaginäre Einheit.

Um die c aus R f zu erhalten, in diesem Fall nur als Null, dh es ist nur der Realteil der Zahl.Weil das komplexe Feld hat die gleiche Funktion wie die Körper der reellen gesetzt, f x i = 0, wenn f = 0.

hinsichtlich praktische Unterschiede, zum Beispiel in R quadratische Gleichung kann nicht, wenn die Diskriminante negativ gelöst werdenwohingegen der Bereich C keine solche Beschränkung auf Grund der Einführung der imaginären Einheit i zu verhängen.

Ergebnisse

"bricks" von Axiomen und Postulaten, auf denen die Mathematik nicht ändern.Einige von ihnen aufgrund der Verbesserung der Information und die Einführung der neuen Theorien platziert folgende "Bausteine", die möglicherweise die Grundlage für den nächsten Schritt sein könnte.B. natürliche Zahlen sind, trotz der Tatsache, dass sie eine Teilmenge der realen Feld R, nicht ihre Bedeutung verlieren.Es ist auf der Grundlage aller von ihnen elementare Arithmetik, die das Wissen von einem Mann des Friedens beginnt.

Von einem praktischen Standpunkt aus gesehen, die reellen Zahlen wie eine gerade Linie.Es ist möglich, um die Richtung zu wählen, definieren Sie den Ursprung und die Tonhöhe.Direkt besteht aus einer unendlichen Anzahl von Punkten, von denen jeder einem einzigen reellen Zahl, unabhängig davon, ob es vernünftig ist oder nicht.Aus der Beschreibung ist es klar, dass wir über das Konzept, die Mathematik im Allgemeinen basiert, und mathematische Analyse insbesondere im Gespräch.