dado una simple función de trigonometría = Sin (x) es diferenciable en todos los puntos de todo el dominio.Es necesario probar que el derivado del seno de cualquier argumento es el coseno del mismo ángulo, es decir, '= Cos (x).Prueba
se basa en la definición de derivado
Definir x (arbitrario) en un pequeño entorno de un punto de △ x x0 particular.Mostramos el valor de una función en ella, y en el punto x para encontrar el incremento de la función especificada.Si △ x - incremento del argumento, a continuación, un nuevo argumento - es x0 +? X = x, el valor de esta función en un valor dado del argumento y (x) es pecado (x0 + Dx), el valor de una función en un punto específico en (x0) es también conocido.
Ahora tenemos Delta u = Sin (x0 + △ x) -Sin (x0) - recibió la función de incremento.
acuerdo con la fórmula de la suma de seno de dos ángulos desiguales convertirá la diferencia Delta u.
Delta u = Sin (x0) · Cos (△ x) + Cos (x0) · Sin (Dx) menos Pecado (x0) = (Cos (Dx) -1) · Sin (x0) + Cos (x0) · Sin (△ x).
intercambio de términos agrupan la primera a la tercera Sin (x0), llevado a un factor común - sine - los soportes.Tenemos que expresar la diferencia Cos (△ x) -1.Estás cambiando el signo del soporte y entre paréntesis.Saber lo que es la 1-Cos (△ x), hacemos el cambio y obtenemos una expresión simplificada Delta u, que luego se divide por △ x.
Delta u / △ x es de la forma: Cos (x0) · Sin (△ x) / △ x 2 · sen2 (0,5 · △ x) · Sin (x0) / △ x.Esta es la relación de la función de incremento al argumento incremento supuestos.
queda por encontrar el límite de los ratios obtenidos por nosotros durante lim △ x tiende a cero.
conoce ese límite Sin (△ x) /? X es igual a 1, para una condición dada.Y la expresión 2 · sen2 (0,5 · △ x) / x △ en el resultado de forma privada transformaciones suma al trabajo que contiene como factor el primer límite notable: numerador y znemenatel dividir en 2 fracciones, seno cuadrado reemplazar el producto.Por lo tanto:
(Sin (0,5 · Dx) / (0,5 · Dx)) · Sin (? X / 2).Límite
de esta expresión como △ x tiende a cero, el número es igual a cero (1 multiplicado por 0).Resulta que el límite de la relación Dy / △ x es igual a Cos (x0) · 1-0, esto es Cos (x0), una expresión que no depende de △ x, tendiendo a 0. De ahí la conclusión: la derivada del seno de cualquier ángulo x es el coseno de xescribimos así: '= Cos (x).
Esta fórmula aparece en la tabla de los derivados conocidos, en los que todas las funciones elementales
Cuando la resolución de problemas, donde conoce a la derivada del seno, puede utilizar las reglas de diferenciación y fórmulas ya preparadas de la mesa.Por ejemplo: Encontrar un sencillo derivada de la función y = 3 · Sin (x) -15.Utilizamos las reglas básicas de la diferenciación, la eliminación del factor numérico para el signo del número constante de cálculo derivado y el derivado (es cero).Aplicar el valor tabulado de la derivada de la seno del ángulo x igual Cos (x).Tenemos la respuesta: y '= 3 · Cos (x) -O.Este derivado, a su vez, es también una función elemental y = G · Cos (x).Derivado
del seno cuadrado de cualquier argumento
Al calcular la expresión (sen2 (x)), es necesario recordar cómo diferenciar una función compleja.Así, = sen2 (x) - es una función exponencial como seno cuadrado.El argumento es también una función trigonométrica, un argumento complejo.El resultado en este caso es el producto de la primera factor es la derivada de la plaza de un argumento complejo, y el segundo - un derivado del seno.Esta es la regla para derivar una función de una función: (u (v (x))) 'se (u (v (x))) "· (v (x))'.Expresión v (x) - un argumento complejo (función interna).Si la función dada es "y es el seno al cuadrado x", entonces la derivada de una función compuesta es y = 2 · Sin (x) · (x) Cos.El producto del primer factor se duplica - derivado de una función de potencia conocido, y Cos (x) - derivado del seno del argumento de la función cuadrática compleja.El resultado final se puede convertir mediante el uso de la fórmula de la trigonométrica seno del ángulo doble.R: La derivada es pecado (2 · x).Esta fórmula es fácil de recordar, se utiliza a menudo como una tabla.
