método simple iteración, también llamado el método de aproximaciones sucesivas - un algoritmo matemático para encontrar los valores de las cantidades desconocidas por gradualmente aclararlo.La esencia de este método es que, como su nombre lo indica, están expresando gradualmente una aproximación inicial de los siguientes, son cada vez resultados más refinados.Este método se utiliza para encontrar el valor de una variable en una función dada, y resolver sistemas de ecuaciones, tanto no lineal y lineal.
Considere cómo se implementa este método en la solución de sistemas lineales.Método del algoritmo simple iteración es el siguiente:
1. Compruebe el estado de la convergencia en la matriz original.El teorema de la convergencia si el sistema de matriz inicial tiene una dominancia diagonal (es decir, cada fila de los principales elementos de la diagonal debe ser mayor en magnitud que la suma de los elementos diagonales de la parte del módulo), el método de iteración simple - convergente.
2. La matriz del sistema original no siempre es el dominio diagonal.En tales casos, el sistema puede convertir.Las ecuaciones que satisfacen la condición de convergencia se deja intacta, pero con poco satisfactoria hacen combinaciones lineales, es decir,multiplicar, restar, sumar las ecuaciones en conjunto para obtener el resultado deseado.
Si el sistema resulta en los principales coeficientes diagonales son incómodos, y luego a ambos lados de esta ecuación se añade términos de la forma ci * xi, los signos que deben coincidir con los signos de los elementos de la diagonal.
3. Convertir el sistema resultante a la vista normal:
x- = β- + α * x-
Esto se puede hacer de muchas maneras, por ejemplo: a partir de la primera ecuación x1 expreso a través de otro desconocido x2 vtorogo- detretego- x3 etc.Al mismo tiempo se utiliza la fórmula:
αij = - (aij / aii)
i = bi / aii
nuevo debe asegurar que el sistema de tipo normal corresponde a la condición de convergencia:
Σ (j = 1) | αij | ≤ 1,mientras i = 1,2, ... n
4. Comience a utilizar, de hecho, el método de aproximaciones sucesivas.
x (0) - primera aproximación, se expresan a través de x (1), seguido de x (1) x expresas (2).La fórmula general de una forma de la matriz se ve así:
x (n) = β- + α * x (n-1)
calcular hasta llegar a la precisión deseada:
max | xi (K) -xi (k + 1) ≤ ε
lo tanto, echemos un vistazo a la práctica del método de iteración sencilla.Ejemplo:
resolver sistemas lineales:
4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 con una precisión ε = 10-3
Vamos a ver, ya sea dominada por los elementos de la diagonal del módulo.
Vemos que la condición de convergencia satisface sólo la tercera ecuación.La primera y segunda convertir en la primera ecuación le añadimos el segundo:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
resta el primero de la tercera:
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
Hemos transformado el originalsistema equivalente:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4
Tiene ahora el sistema de forma normal:
x1 = x2 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Compruebe la convergencia del proceso de iteración:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0.6429 + 0.2857 = 0.9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, es decir,se cumple la condición.
0,3947
aproximación inicial x (0) = 0,4762 0,8511
Sustituir estos valores en la ecuación de la forma normal, obtenemos los siguientes valores:
0,08835
x (1) = 0,486793
0, 446.639
sustituir nuevos valores, obtenemos:
0,215243
x (2) = 0,405396 0,558336
seguir para calcular hasta el momento aún no se ha acercado a los valores que cumplan con las condiciones especificadas.
0,18813
x (7) = 0,441091
0,544319 0,188002
x (8) = 0,44164
0,544428
verificar la exactitud de los resultados:
45 * 0,1880 -1,7 * 0.441 + 3,5 * 0.544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0.441 + 4,7 *0,544 = 3,9977 resultados
obtenidos mediante la sustitución de los valores encontrados en la ecuación original, satisface plenamente la ecuación.
Como podemos ver, el método de iteración sencilla da unos resultados bastante exactos, pero para la solución de esta ecuación que tuvimos que pasar mucho tiempo y hacer cálculos engorrosos.
