progresión geométrica es importante en las matemáticas como una ciencia, y la importancia aplicada, ya que tiene un alcance muy amplio, incluso en matemáticas superiores, por ejemplo, la teoría de las series.La primera información sobre la marcha llegó a nosotros desde el antiguo Egipto, sobre todo en la forma de un problema conocido del papiro Rhind siete personas con siete gatos.Las variaciones de este problema repiten muchas veces en diferentes momentos de otras naciones.Incluso el gran Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci (s. XIII), habló con ella en su "Libro del ábaco."
Así, la progresión geométrica tiene una historia antigua.Se trata de una secuencia numérica con distinto de cero primer término y cada subsiguiente a partir de la segunda, se determina multiplicando la fórmula de recurrencia anterior Para número permanente, distinto de cero, que se llama la progresión denominador (por lo general se denota mediante la letra q).
Obviamente, se puede encontrar dividiendo cada término subsiguiente de la secuencia a la anterior, es decir, de dos z: z 1 = ... = zn: z n-1 = ....En consecuencia, la tarea de la progresión (Zn) es suficiente para saber el valor de la misma fue el primer miembro de y 1 y el denominador q.Ejemplo
, vamos z 1 = 7, q = - 4 (q & lt; 0), entonces tenemos la siguiente progresión geométrica 7-28, 112 - 448, ....Como puede ver, la secuencia resultante no es monótona.
Recordemos que una secuencia arbitraria de monótona (aumento / disminución) en cada uno de sus futuros miembros de más / menos que el anterior.Por ejemplo, la secuencia de 2, 5, 9, ... y -10, -100, -1000, ... - monótona, el segundo de ellos - está disminuyendo de manera exponencial.
En el caso donde q = 1, todos los miembros de la progresión se obtienen iguales y se llama constante.
Para secuencia fue la progresión de este tipo, debe satisfacer la siguiente condición necesaria y suficiente, a saber: a partir de la segunda, cada uno de sus miembros debe ser la media geométrica de los Estados miembros vecinos.
Esta propiedad permite bajo ciertas de dos hallazgo adyacente progresión término arbitrario.
enésimo término de una progresión geométrica es fácil de encontrar la fórmula: zn = z 1 * q ^ (n-1), sabiendo que el primero término z 1 y el denominador q.
Desde la secuencia numérica que vale, unos simples cálculos nos dan una fórmula para calcular la suma de los primeros términos de la progresión, a saber:
S n = - (Zn * q - z 1) / (1 - q).
Sustitución en el valor fórmula zn su z expresión = 1 * q ^ (n-1) para dar una segunda cantidad de la progresión de la fórmula: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).
digno de atención el siguiente hecho interesante: la tablilla de arcilla descubierto en las excavaciones de la antigua Babilonia, que se refiere a la VI.BC contiene notablemente la suma de 1 + 2 + 22 ... + 29 igual a 2 en el décimo menos de energía 1. La explicación de este fenómeno no se encuentra.
Observamos una de las propiedades de la progresión geométrica - un trabajo constante de sus miembros, espaciados a igual distancia de los extremos de la secuencia.
particularmente importante desde el punto de vista científico, algo así como una progresión geométrica infinita y el cálculo de su importe.Suponiendo que (in) - una progresión geométrica con un q denominador, que satisface la condición | q | & lt;1, que se llamará el límite de la suma solicitada por el ya conocido por nosotros la suma de sus primeros miembros, con el aumento sin límites de n, por lo que cuando se aproxima a infinito.
encontrar esta cantidad como resultado del uso de la fórmula:
S n = y 1 / (1- q).
Y, como demuestra la experiencia, la aparente simplicidad de esta progresión se esconde un enorme potencial de aplicación.Por ejemplo, si se construye una secuencia de cuadrados en el siguiente algoritmo, que conecta los puntos medios de la anterior, a continuación, forman una progresión geométrica infinita cuadrada que tiene un denominador media.Los mismos triángulos forman progresión y plazas obtenidas en cada etapa de la construcción, y su suma es igual al área del cuadrado original.
