La suma de los ángulos de un triángulo.

triángulo es un polígono que tiene tres lados (los tres ángulos).El lado más común representan letras pequeñas, la correspondiente letra mayúscula que designa los vértices opuestos.En este artículo vamos a echar un vistazo a este tipo de formas geométricas, el teorema que determina que es igual a la suma de los ángulos de un triángulo.Tipos

ángulos mayores

siguientes tipos de polígono con tres vértices:

• ángulo agudo-en el que todos los ángulos agudos;
• rectangular que tiene un ángulo recto con el lado de su imagen, llamados piernas, y el lado que se coloca opuesto al ángulo recto se llama la hipotenusa;
• obtuso cuando uno ángulo es obtuso;Isósceles
• , que las dos partes iguales, y se les llama lateral, y el tercero - la base del triángulo;
• equilátero tiene tres lados iguales.

Propiedades

Hay propiedades básicas que son características de cada tipo de triángulo:

• opuesto al lado mayor siempre tiene un gran ángulo, y viceversa;
• lados opuestos de igual magnitud son ángulos iguales, y viceversa;
• tener cualquier triángulo tiene dos ángulos agudos;Ángulo exterior
• es mayor que cualquier ángulo interno no está relacionado con él;
• suma de dos ángulos es siempre menor que 180 grados;
• ángulo exterior es igual a la suma de las otras dos esquinas que no lo están mezhuyut.

teorema sobre la suma de los ángulos de un triángulo

teorema establece que si se suman todas las esquinas de la figura geométrica, que se encuentra en el plano euclidiano, su suma será de 180 grados.Vamos a tratar de demostrar este teorema.

Que tenemos un triángulo arbitrario con vértices KMN.A través de la parte superior M trazar una línea paralela a la línea KN (incluso esta línea se llama la línea de Euclides).Cabe señalar el punto A de una manera tal que el punto K y A se encuentra en diferentes lados MN recta.Obtenemos el mismo ángulo y AMS MUF, que, como la mentira interior transversalmente para formar intersección MN en cooperación con NC y MA líneas que son paralelas.De esto se deduce que la suma de los ángulos de un triángulo situado en los vértices de M y N es igual al tamaño del ángulo de la CMA.Los tres ángulos consisten en una suma igual a la suma de los ángulos de CMA y MCS.Desde estos ángulos son internos con respecto a las líneas paralelas unilaterales CN y MA en el KM corte, su suma es de 180 grados.QED.

Desde arriba este teorema implica el siguiente corolario: todo triángulo tiene dos ángulos agudos.Para probar esto, vamos a suponer que esta figura geométrica sólo tiene un ángulo agudo.También, se puede suponer que no ángulo no es agudo.En este caso, debe ser al menos dos ángulos, la magnitud de las cuales es igual o mayor que 90 grados.Pero entonces la suma de los ángulos es mayor que 180 grados.Y esto no puede ser, ya que por el teorema suma de los ángulos de un triángulo es 180 ° - ni más ni menos.Eso es lo que tenía que ser probado.Propiedad

esquinas exteriores

Cuál es la suma de los ángulos de un triángulo, que son externos?La respuesta a esta pregunta se puede conseguir mediante el uso de uno de los dos métodos.La primera es la necesidad de encontrar la suma de los ángulos, que se toman uno en cada vértice, es decir, tres ángulos.El segundo implica que usted necesita para encontrar la suma de los seis ángulos en los vértices.Para empezar mucho nos dejó con la primera.Por lo tanto, el triángulo tiene seis ángulos exteriores - en cada vértice de los dos.Cada par tiene ángulos iguales entre sí, debido a que son verticales:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.Además

, se sabe que el ángulo exterior del triángulo es igual a la suma de los dos interior, no están mezhuyutsya con él.Por lo tanto,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Resulta que la suma de los ángulos externos se toman una a una en la parte superior de cada uno, será igual a:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A ∟S + + + + + ∟A ∟V ∟V ∟S= 2 x (+ ∟A ∟V + ∟S).

Dado el hecho de que la suma de los ángulos es igual a 180 grados, se puede argumentar que los ∟A + ∟V ∟S = + 180 °.Esto significa que los ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °.Si se utiliza la segunda opción, entonces la suma de los seis ángulos será correspondientemente mayor duplicado.Esa es la suma de los ángulos exteriores de un triángulo será:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

triángulo rectángulo

Qué es igual a la suma de los ángulos de un triángulo rectángulo es la isla?La respuesta, de nuevo, del teorema, que establece que los ángulos de un triángulo suman 180 grados.Y nuestros sonidos afirmación (de propiedad) de la siguiente manera: en el triángulo rectángulo los ángulos agudos se suman a 90 grados.Probamos su veracidad.Que no debe darse un triángulo KMN, que ∟N = 90 °.Debemos demostrar que ∟K ∟M + = 90 °.

Por lo tanto, de acuerdo con el teorema de la suma de los ángulos ∟K + ∟M ∟N = + 180 °.En esta condición se dice que ∟N = 90 °.Resulta ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °.Es decir ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °.Eso es lo que deberíamos tener que probar.

Además de las propiedades anteriores de un triángulo rectángulo, puede agregar estos ángulos:

• que están en contra de las piernas son agudas;
• hipotenusa triangular es mayor que cualquiera de las piernas;
• las piernas más que la suma de la hipotenusa;
• cateto del triángulo, que se encuentra enfrente de la esquina de 30 grados, un medio de la hipotenusa, es decir, es igual a la mitad.

Como otra característica de la forma geométrica se puede identificar el teorema de Pitágoras.Ella sostiene que en un triángulo con un ángulo de 90 grados (rectangulares) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos al cuadrado de la hipotenusa.

suma de los ángulos de un triángulo isósceles

Anteriormente dijo que un triángulo isósceles se llama un polígono con tres vértices que contienen dos lados iguales.Esta propiedad es conocida figura geométrica: los ángulos en su base de igualdad.Probemos esto.

Tome triángulo KMN, que es isósceles, SC - su base.Estamos obligados a demostrar que ∟K = ∟N.Así, supongamos que MA - bisectriz es nuestro triángulo KMN.Triángulo de MCA con la primera señal de un triángulo es igual MNA.A saber la condición dado que CM = HM, MA es un secundario común, ∟1 = ∟2, porque la AI - una bisectriz.Uso de la igualdad de los dos triángulos, uno podría argumentar que ∟K = ∟N.Por lo tanto, se demuestra el teorema.

Pero nos interesa, lo que es la suma de los ángulos de un triángulo (isósceles).Dado que en este sentido no tiene sus características, vamos a empezar desde el teorema mencionado anteriormente.Es decir, podemos decir que ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, o 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (como ∟K = ∟N).Esta propiedad ya no resultará como ella teorema suma de los ángulos de un triángulo se demostró antes.

también teniendo en cuenta las propiedades de los vértices del triángulo, también hay tales declaraciones importantes:

• dentro de una altura triángulo equilátero que se ha reducido a la base, también es la mediana, bisectriz del ángulo que es entre partes iguales, así como el eje de simetría de su fundación;
• mediana (altura bisectriz), que se celebró a los lados de una figura geométrica son iguales.

triángulo equilátero

También se conoce como la derecha, es el triángulo, que son iguales a todos los partidos.Y por lo tanto también ángulos iguales.Cada uno de ellos es 60 grados.Probamos esta propiedad.

Supongamos que tenemos un triángulo KMN.Sabemos que KM = NM = CL.Esto significa que, de acuerdo a las esquinas de propiedad, situado en la base de un triángulo equilátero, ∟K = = ∟M ∟N.Debido a que de acuerdo a la suma de los ángulos de un triángulo teorema ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, el 3 x ∟K = 180 ° o ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °.Por lo tanto, la declaración dokazano.Kak visto desde arriba sobre la base de la prueba del teorema, la suma de los ángulos de un triángulo equilátero como la suma de los ángulos de cualquier otro triángulo es 180 grados.Una vez más demostrar este teorema no es necesario.

Todavía hay algunas propiedades características de un triángulo equilátero:

• mediana, bisectriz, altura en una figura geométrica son los mismos, y su longitud se calcula como (a × √3): 2;
• si describir un polígono alrededor de este círculo, a continuación, su radio es igual a (a x √3): 3;
• si un triángulo equilátero inscrito en un círculo, entonces el radio será (y x √3): 6;Área
• de esta figura geométrica se calcula como sigue: (a2 x √3): 4.

triángulo obtuso

Por definición, triángulo en ángulo obtuso, una de sus esquinas es de entre 90 a 180 grados.Sin embargo, dado que el ángulo de las otras dos formas geométricas son agudas, se puede concluir que no excedan de 90 grados.Por consiguiente, el teorema de la suma de los ángulos de un triángulo de trabajo en el cálculo de la suma de los ángulos en un triángulo obtuso.Por lo tanto, podemos decir con seguridad, basado en el teorema anterior de que la suma de los ángulos del triángulo obtuso es de 180 grados.Una vez más, este teorema no necesita volver a prueba.