estudió matemáticas avanzadas deberían conocerse que la suma de una serie de potencias en el intervalo de convergencia de un número de nosotros, es una serie continua e ilimitada de veces que la función diferenciadas.Surge la pregunta: ¿es posible argumentar que dado una arbitraria función f (x) - es la suma de una serie de potencias?Es decir, bajo qué condiciones el f f-Ia (x) puede ser representado por una serie de potencias?La importancia de esta cuestión es que es posible reemplazar aproximadamente Q-uw f (x) es la suma de los primeros términos de una serie de potencias, que es polinomial.Tal función de reemplazo es bastante simple expresión - polinomio -. Es conveniente y en la resolución de ciertos problemas en el análisis matemático, es decir, en la solución de las integrales en el cálculo de las ecuaciones diferenciales, y así sucesivamente D.
demostró que para algunos-f ii f (x)que puede calcular los derivados de la (n + 1) º orden, incluida la última, en la vecindad de (α - R; x0 + R) de un punto x = α es una fórmula justa:
Esta fórmula lleva el nombre del famoso científico Brooke Taylor.La serie, que se deriva de la anterior, llama una serie de Maclaurin: regla
que hace que sea posible producir un desarrollo en serie de Maclaurin:
- Determinar los derivados de la primera, segunda, tercera ... orden.
- calcula, que son derivados en x = 0.Serie
- Registro Maclaurin para esta función, y luego para determinar el intervalo de convergencia.
- determinar el intervalo (-R; R), donde el resto de la fórmula Maclaurin
Rn (x) - & gt;0 para n - & gt;el infinito.Si existe, la función f (x) debe ser igual a la suma de la serie de Maclaurin.
Consideremos ahora la serie de Maclaurin para las funciones individuales.
1. Por lo tanto, el primero es f (x) = ex.Por supuesto, por sus características tales f-Ia tiene derivados de una variedad de órdenes, y f (k) (x) = ex, donde k es igual a todos los números naturales.Sustituyendo x = 0.Obtenemos f (k) (0) = e0 = 1, k = 1,2 ... Con base en lo anterior, una serie de ex será como sigue:
2. serie de Maclaurin para la función f (x) = sen x.Inmediatamente especificar que f-Ia para todas las incógnitas tendrá derivados, además de f '(x) = cos x = sin (x + n / 2), f' '(x) = -sen x = sin (x+ 2 * n / 2) ..., f (k) (x) = sen (x + k * n / 2), donde k es igual a cualquier entero positivo.Es decir, mediante la realización de cálculos sencillos, podemos concluir que la serie de f (x) = sen x es de este tipo:
3. Ahora vamos a considerar la Facultad de Teología de f (x) = cos x.Es por todas de lo desconocido tiene derivadas de orden arbitrario, y | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) | & lt; = 1, k = 1,2 ... una vez más, produciendociertos cálculos, nos encontramos con que la serie para f (x) = cos x se vería así:
Así, hemos enumerado las características más importantes que se puede ampliar en una serie de Maclaurin, pero se complementan la serie de Taylor para algunas funciones.Ahora haremos una lista de ellos también.También debe tenerse en cuenta que Taylor y serie de Maclaurin son una parte importante de la serie de talleres en soluciones de matemáticas superiores.Así, la serie de Taylor.
1. La primera es la serie de f-ii f (x) = ln (1 + x).Al igual que en los ejemplos anteriores, para ello contamos con f (x) = ln (1 + x) se puede plegar en una fila, utilizando la forma general de la serie de Maclaurin.Sin embargo, esta función Maclaurin puede obtenerse mucho más fácil.La integración de una serie geométrica, obtenemos la serie para f (x) = ln (1 + i) de la muestra:
2. Y el segundo, que será definitiva en este artículo, es la serie de f (x) = arctg de.Para x perteneciente al intervalo [-1, 1] es la expansión de la feria:
Eso es todo.En este artículo nos planteamos la serie más utilizado Maclaurin y Taylor en matemáticas superiores, en particular en los colegios técnicos y económicos.
