sistema mecánico que consta de un punto material (el cuerpo), que cuelga en el filamento inextensible sin peso (su masa es despreciable en comparación con el peso del cuerpo) en un campo gravitatorio uniforme, llamado el péndulo matemático (otro nombre - el oscilador).Hay otros tipos de dispositivos.En lugar de un filamento se puede utilizar la barra sin peso.Péndulo puede revelar claramente la esencia de muchos fenómenos interesantes.A bajas fluctuaciones de amplitud de su movimiento se llama armónico.
Comprender el sistema mecánico periodo Fórmula
de oscilación del péndulo fue criado científico holandés Huygens (1629 a 1695 gg.).Este contemporáneo de Isaac Newton era muy aficionado a la mecánica.En 1656 se creó el primer reloj con un mecanismo de péndulo.Midieron el tiempo con una precisión extrema para aquellos tiempos.Este invento fue un paso importante en el desarrollo de experimentos físicos y actividades prácticas.
Si el péndulo está en su posición de equilibrio (colgando verticalmente), la fuerza de gravedad es equilibrada por la fuerza de la tensión del hilo.Péndulo plano en un hilo no extensible es un sistema con dos grados de libertad con un enlace.Si cambia sólo un componente de las características del cambio de todas sus partes.Por lo tanto, si una cadena se sustituye por una barra, sistema mecánico entonces dado es sólo un grado de libertad.¿Cuáles eran las propiedades del péndulo matemático?En este sistema simple bajo la influencia de una perturbación periódica hay caos.En el caso en que el punto de suspensión no se mueve, y el péndulo oscila aparece en una nueva posición de equilibrio.Si fluctuaciones rápidas hacia arriba y abajo el sistema mecánico se convierte en posición estable "al revés."También tiene su nombre.Se llama el Kapitza péndulo.
péndulo Péndulo tiene propiedades muy interesantes.Todos ellos son apoyados por las leyes físicas conocidas.El período de oscilación del péndulo cualquier otra depende de varios factores tales como el tamaño y la forma del cuerpo, la distancia entre el punto de suspensión y el centro de gravedad, distribución de peso con respecto a este punto.Por eso, la definición del período del cuerpo colgante es todo un reto.Es mucho más fácil para calcular el periodo de un péndulo simple, la fórmula de los cuales se da a continuación.Como resultado de las observaciones de tales sistemas mecánicos se puede configurar dichas leyes:
• Si, mientras se mantiene la misma longitud del péndulo, suspendido varias cargas, el periodo de oscilación recibió la misma, aunque su peso varía en gran medida.Por lo tanto, el periodo de un péndulo de este tipo es independiente de la masa de la carga.
• Si el sistema comienza a desviar el péndulo no es demasiado grande, pero diferentes ángulos, que fluctuará con el mismo periodo pero de diferentes amplitudes.Mientras la desviación del centro de equilibrio no es demasiado grandes fluctuaciones en su forma son lo suficientemente cerca armónico.El período del péndulo no depende de la amplitud de vibración.Esta propiedad del sistema mecánico se llama isocronismo (en "chronos" griegos - tiempo "Izosov" - igual).Periodo
de un péndulo simple
Esta cifra representa un período de oscilaciones naturales.A pesar de la redacción complicado, el proceso es muy simple.Si la longitud de la rosca de un péndulo sencillo L, y la aceleración de la gravedad g, entonces este valor es:
T = 2π√L / g
pequeño periodo de oscilaciones naturales de ninguna manera independiente de la masa del péndulo y la amplitud de oscilación.En este caso, el péndulo se mueve como una longitud matemática desde aquí.Las fluctuaciones
péndulo matemático
péndulo oscila, lo que puede ser descrito por una ecuación diferencial simple:
x + ω2 sen x = 0,
donde x (t) - función desconocida (este es el ángulo de desviación de la posición de equilibrio más bajotiempo t, expresado en radianes);ω - una constante positiva, que está determinada por los parámetros del péndulo (ω = √g / L, donde g - es la aceleración debida a la gravedad, y L -. longitud de un péndulo sencillo (suspensión)
ecuación de pequeñas oscilaciones cerca de la posición de equilibrio (ecuación armónica) es como sigue:..
x + ω2 sen x = 0
movimiento vibratorio del péndulo
péndulo, lo que hace que pequeñas oscilaciones, sinusoide en movimiento La ecuación diferencial de segundo orden cumple con todos los requisitos y parámetros de tal movimiento Para determinar el camino que necesita para ajustar la velocidad y las coordenadas,que más tarde se determinó las constantes independientes:
x = A sen (θ0 +? t),
donde θ0 - la fase inicial, A - amplitud de la oscilación, ω - frecuencia angular, que se determina a partir de la ecuación de movimiento
Péndulo (la fórmula de gran tamaño.amplitudes)
Este sistema mecánico, hacen sus vibraciones con una amplitud significativa está sujeto a las leyes de tráfico más complejas.Para un péndulo como se calculan según la fórmula: el pecado
x / 2 = u * sn (? T / u),
donde sn - Jacobi sinusoidal, lo que para u & lt;1 es una función periódica, y para pequeñas u coincide con el seno trigonométrico simple.Valores de U determinado por la siguiente expresión:
u = (ε + ω2) / 2ω2,
donde ε = E / mL2 (mL2 - energía del péndulo).
Determinación del período de oscilación de un péndulo no lineal se lleva a cabo por la fórmula:
T = 2π / Ω,
donde Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - integral elíptica, π - 3,14.Movimiento
péndulo en separatriz
llama separatriz trayectoria del sistema dinámico, en el cual un espacio de fase de dos dimensiones.Péndulo se mueve no cíclico.En un punto infinitamente lejano en el tiempo que cae desde la posición más elevada en la dirección de la velocidad cero y, a continuación ganando gradualmente.Con el tiempo se detuvo, volviendo a su posición original.
Si la amplitud de la oscilación del péndulo se acerca el número π, esto sugiere que el movimiento en el plano de fase está cerca de la separatriz.En este caso, bajo la influencia del pequeño sistema mecánico fuerza impulsora periódica exhibe comportamiento caótico.
En el caso de un péndulo simple a partir de la posición de equilibrio con un ángulo φ se produce la gravedad tangencial Fτ = -mg φ pecado.Signo "menos" significa que el componente tangencial se dirige hacia el lado opuesto del péndulo.Al designar por el desplazamiento x péndulo a lo largo del arco de un círculo con un radio L de su desplazamiento angular es igual a phi = x / L.Segunda Ley de Isaac Newton, diseñado para las proyecciones de la aceleración vectorial y dar el valor deseado:
mg τ = Fτ = -mg sen x / L
Sobre la base de esta relación, es claro que el péndulo es un sistema no lineal, porque la fuerzaque tiende a devolverlo a una posición de equilibrio no siempre es proporcional al desplazamiento de x, y sen x / L.
Sólo cuando el péndulo matemático lleva a cabo pequeñas vibraciones, es el oscilador armónico.En otras palabras, se convierte en un sistema mecánico capaz de realizar oscilaciones armónicas.Esta aproximación es válida para casi ángulos de 15 a 20 °.Péndulo con grandes amplitudes no es armonioso.La ley de
Newton para las pequeñas oscilaciones de un péndulo
Si el sistema mecánico realiza pequeñas oscilaciones, la segunda ley de Newton se verá así:
mg τ = Fτ = -m * g / L * x.
Sobre esta base, podemos concluir que la aceleración tangencial de un péndulo simple es proporcional a su desplazamiento con el signo "menos".Esta es una condición por la cual el sistema se convierte en un oscilador armónico.Factor de proporcionalidad Módulo entre el desplazamiento y la aceleración es igual al cuadrado de la frecuencia angular:
ω02 = g / L;ω0 = √ g / L.
Esta fórmula refleja la frecuencia natural de pequeñas oscilaciones de este tipo de péndulo.Sobre esta base,
T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.Cálculos
en base a la ley de conservación de la energía
Propiedades del movimiento oscilatorio del péndulo se pueden describir con la ayuda de la ley de conservación de la energía.Hay que tener en cuenta que la energía potencial del péndulo en un campo gravitacional es igual a:
E = mgΔh = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2
energía cinética mecánica total igual o máximo potencial: Epmax = Ekmsx = E
Después de haber escrito la ley de conservación de la energía, tomando la derivada de los lados izquierdo y derecho de la ecuación:
Ep + Ek = const
Desde la derivada de los valores constantes igual a 0, entonces (Ep + Ek) '= 0. La derivada es igual a la suma dederivados Suma:
Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,
así:
Mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + M alpha) = 0.
Desde la última fórmula encontramos:α = - g / L * x.
Aplicación práctica de péndulo matemático aceleración
debido a la gravedad varía con la latitud, debido a que la densidad de la corteza terrestre en el planeta no es lo mismo.Dónde se produce la roca con una mayor densidad, será algo mayor.Aceleración del péndulo matemático se utiliza a menudo para la exploración.En la búsqueda de la ayuda de una variedad de minerales.Simplemente contando el número de oscilaciones de un péndulo, se pueden encontrar en las entrañas de la tierra o el carbón mineral.Esto es debido al hecho de que estos recursos tienen una densidad y masa mayor que yace bajo rocas sueltas.
péndulo matemático utilizado por estudiosos prominentes como Sócrates, Aristóteles, Platón, Plutarco, Arquímedes.Muchos de ellos creyeron que el sistema mecánico puede afectar el destino y la vida del hombre.Arquímedes utiliza un péndulo matemático en sus cálculos.Hoy en día, muchos psíquicos y ocultistas usan este sistema mecánico para la aplicación de sus profecías, o la búsqueda de personas desaparecidas.
famoso astrónomo y científico francés K. Flammarion por su investigación también utiliza el péndulo matemático.Afirmó que con su ayuda fue capaz de predecir el descubrimiento de un nuevo planeta, la aparición del meteorito de Tunguska, y otros eventos importantes.Durante la Segunda Guerra Mundial en Alemania (Berlín) es un instituto especializado del péndulo.Hoy en día, este tipo de investigación participan el Instituto de Munich de Parapsicología.Su trabajo con el péndulo el personal de esta institución llamada "radiesteziey."
