La integral indefinida.

Una de las ramas fundamentales de análisis matemático es el cálculo integral.Cubre el amplio campo de objetos, donde el primero - que es una integral indefinida.Posición como la clave es que en la escuela secundaria revela un creciente número de clientes potenciales y oportunidades, que describe las matemáticas superiores.Apariencia

de

A primera vista, parece totalmente integral a lo moderno, tópico, pero en la práctica resulta que había aparecido en el año 1800 antes de Cristo.Patria es considerado oficialmente Egipto como no han sobrevivido a la evidencia más temprana de su existencia.Es debido a la falta de información, a la vez que coloca simplemente como un fenómeno.Se confirma una vez más el nivel de desarrollo científico de los pueblos de esos tiempos.Finalmente se encontró escritos de los antiguos matemáticos griegos, que data del siglo cuarto antes de Cristo.Ellos describen el método utilizado donde la integral indefinida, la esencia de los cuales era encontrar el volumen o área de la forma curvada (plano tridimensional y bidimensional, respectivamente).El principio de cálculo basado en la división de los componentes infinitesimales figura original, siempre que el volumen (área) del ya conocido.Con el tiempo, el método ha crecido, Arquímedes utilizó para encontrar el área de la parábola.Cálculos similares al mismo tiempo, y ejercicios de conducta en la antigua China, donde estaban completamente independiente del compañero de la ciencia griega.

Desarrollo

siguiente avance en el siglo XI antes de Cristo se ha convertido en la obra del científico árabe "wagon" Abu Ali al-Basri, que empujaron los límites de los ya conocidos, se derivan de la fórmula integral para el cálculo de las sumas de las cantidades y grados de la primera aEn cuarto lugar, utilizando para esto conocemos el método de inducción matemática.Mentes
de hoy admiran cómo los antiguos egipcios crearon los monumentos sorprendentes sin necesidad de herramientas especiales, con la posible excepción de las manos, pero no lo hizo el poder de los científicos de la mente sin el tiempo menos un milagro?En comparación con la actualidad de la vida parece casi primitivo, pero la decisión de integrales indefinidas deducidas todas partes y se utilizan en la práctica para un mayor desarrollo.

siguiente paso se dio en el siglo XVI, cuando el matemático italiano trajo método de Cavalieri de indivisibles, que recogió Pierre de Fermat.Estos dos personalidad sentó las bases para el cálculo integral moderna, que se conoce por el momento.Ataron los conceptos de diferenciación e integración, que se percibían anteriormente como unidades autónomas.En general, las matemáticas de que el tiempo se ha hecho añicos, las conclusiones de las partículas existen por sí mismos, con alcance limitado.Camino de la asociación y la búsqueda de puntos en común era el único y verdadero en este momento, gracias a él, el análisis matemático moderno tuvieron la oportunidad de crecer y desarrollarse.

Con el paso del tiempo lo cambia todo, y la notación de la integral también.En general, los científicos han señalado que, a su manera, por ejemplo, Newton utilizó un icono cuadrado, lo que puso una función integrable, o simplemente en su conjunto.Esta disparidad se prolongó hasta el siglo XVII cuando un punto de referencia para toda la teoría del científico análisis matemático Gottfried Leibniz introdujo como un símbolo familiar para nosotros.La "S" alargada se basa realmente en esa letra del alfabeto, como representa la suma de las primitivas.El nombre de la integral se debió a Jacob Bernoulli, después de 15 años.

definición formal de integral indefinida depende de la definición de lo primitivo, por lo que considera, en primer lugar.

La primitiva - es la función inversa de la derivada, en la práctica se llama primitiva.En otras palabras: la función primitiva de d - es una función D, el derivado es igual a v & lt; = & gt;V '= v.Buscar en el primitivo es decir, el cálculo de la integral indefinida, y el proceso se llama integración.

Ejemplo:

función s (y) = y3, y sus primitivas S (y) = (y4 / 4).Conjunto

de todas las primitivas de la función - se trata de una integral indefinida, se indica de la siguiente manera: ∫v (x) dx.

Debido a que la V (x) - Estos son algunos de la función primitiva original, tenemos una expresión: ∫v (x) dx = V (x) + C, donde C - constante.Bajo la constante arbitraria significa cualquier constante, ya que su derivada es cero.Propiedades

Propiedades

que tienen una integral indefinida, basados ​​en las definiciones y propiedades de los derivados.
Considere puntos clave:

• derivado integral de la primitiva es en sí misma primitiva, además de una constante arbitraria C & lt; = & gt;∫V '(x) dx = V (x) + C;Derivado
• de la integral de la función es la función original & lt; = & gt;(∫v (x) dx) '= v (x);
• constante se elimina de la señal integral & lt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, donde k - es arbitraria;
• integral, que se toma de la suma de idénticamente igual a la suma de las integrales de & lt; = & gt;∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Las dos últimas propiedades puede concluir que la integral indefinida es lineal.Debido a esto, tenemos que: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Consolidar considerar ejemplos de soluciones integrales indefinidas.

necesario encontrar el ∫ integral (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C.

Del ejemplo se puede concluir que usted no sabe cómo hacer frente a las integrales indefinidas?Sólo tienes que encontrar todas las primitivas!Pero la búsqueda de los principios discute a continuación.Métodos

y ejemplos

Con el fin de resolver la integral, se puede recurrir a los siguientes métodos: mesa

• listo para su uso;
• integrar por partes;
• integrado mediante la sustitución de la variable;Asentamiento
• bajo el signo de la diferencia.Mesas

más fácil y agradable.Por el momento, el análisis matemático puede presumir bastante extensas tablas, que se enunciaron los fórmulas básicas de integrales indefinidas.En otras palabras, hay patrones derivados a usted y usted sólo puede tomar ventaja de ellos.Aquí está una lista de las posiciones básicas de la tabla, que puede mostrar casi todos los casos, tener una solución:

• ∫0dy = C, donde C - constante;
• ∫dy = y + C, donde C - constante;
• ∫yndy = (yn + 1) / (n + 1) + C, donde C - una constante, y n - es diferente del número de unidades;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, donde C - constante;
• ∫eydy = ey + C, donde C - constante;
• ∫kydy = (ky / ln k) + C, donde C - constante;
• ∫cosydy = siny + C, donde C - constante;
• ∫sinydy = -cosy + C, donde C - constante;
• ∫dy / cos2y = tgy + C, donde C - constante;
• ∫dy / sin2y = -ctgy + C, donde C - constante;
• ∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, donde C - constante;
• ∫chydy = tímido + C, donde C - constante;
• ∫shydy = chy + C, donde C - constante.

Si usted quiere hacer un par de pasos conducen integrando a una vista tabular y disfrutar de la victoria.Ejemplo: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 5.1 x sen (5x - 2) + C.

De acuerdo con la decisión está claro que para la mesaEjemplo integrando carece multiplicador 5. Añadimos que en paralelo con este se multiplica por 1/5 a expresión general no cambió.

Integración por partes

Considere dos funciones - z (y) y x (y).Deben ser con continuidad en su dominio.Como una de las propiedades de diferenciación tener: d (xz) + = XDZ ZDX.La integración de ambos lados, obtenemos: ∫d (xz) = ∫ (XDZ + zdx) = & gt;zx = ∫zdx + ∫xdz.

Reescribiendo la ecuación resultante, obtenemos una fórmula que describe el método de integración por partes: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Por qué es necesario?El hecho de que algunos ejemplos pueden simplificar, en términos relativos, para reducir ∫xdz ∫zdx, si este último es cerca de una forma de tabla.Además, esta fórmula se puede utilizar más de una vez, para obtener resultados óptimos.

¿Cómo resolver integrales indefinidas de esta manera:

• necesario calcular ∫ (s + 1) e2sds

∫ (x + 1) e2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2E2S, dy= e2xds} = ((s + 1) E2S) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((s + 1) E2S) / 2-E2S / 4 + C;

• debe calcular ∫lnsds ∫lnsds

= {z = lns, dz = ds / s, y = s, ds = dy} = GLC - ∫s x ds / s = GLC - ∫ds = GLC -sC = S + (lns-1) + Variable de sustitución C.

Este principio la decisión de integrales indefinidas en la demanda no menos de las dos anteriores, aunque complicada.El método es como sigue: Sea V (x) - la integral de una función v (x).En el caso de que en sí mismo integral en el ejemplo capturas slozhnosochinenny, es probable que se confunda y vaya a las soluciones equivocadas.Para evitar esto se practica transición de la variable x a la Z, en el que una expresión general simplificarse visualmente mientras se mantiene z en función de x.

En lenguaje matemático es como sigue: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), donde x =y (z) - sustitución.Y, por supuesto, la función inversa z = y-1 (x) describe plenamente la relación y la relación entre variables.Importante - diferencial dx sustituye necesariamente con la nueva dz diferencial, ya que el cambio de variable en la integral indefinida implica su sustitución por todas partes, no sólo en el integrando.

Ejemplo:

• necesita encontrar ∫ (s + 1) / (s2 + 2s - 5) ds

aplican la sustitución z = (s + 1) / (s2 + 2s-5).Entonces 2SDS = dz = 2 + 2 (s + 1) ds & lt; = & gt;(s + 1) ds = dz / 2.Como resultado, la siguiente expresión, que es muy fácil de calcular:

∫ (s + 1) / (s2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln| s2 + 2s-5 | + C;

• necesita encontrar ∫2sesdx integrante

Para hacer frente a reescribir la expresión de la siguiente forma:

∫2sesds = ∫ (2e) sds.

denota a = 2e (sustituyendo el argumento de este paso no es, sigue siendo s), dar nuestra aparentemente complejo, parte integral de la forma básica de tabla:

∫ (2e) sds = ∫asds = as / lna+ C = (2e) s / ln (2e) + C = 2SES / ln (2 + lne) + C = 2SES / (ln2 + 1) + C.

Wrap bajo el signo de la diferencia

En general, este métodointegrales indefinidas - hermano gemelo del principio del cambio de variable, pero hay diferencias en el proceso de registro.Considere detalle.

Si ∫v (x) dx = V (x) + C y y = z (x), entonces ∫v (y) dy = V (y) + C.

No debemos olvidar las transformaciones integrales triviales, entredonde:

• dx = d (x + a), y en el que - cada constante;
• dx = (1 / a) d (ax + b), donde un - constante de nuevo, pero no es cero;
• xdx = 1 / 2d (x2 + b);
• sinxdx = -d (cos x);
• cosxdx = d (sen x).

Si consideramos el caso general cuando calculamos la integral indefinida, los ejemplos se puede poner bajo la fórmula general w '(x) dx = dw (x).

Ejemplos:

• necesitan encontrar ∫ (2s + 3) 2DS, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) 2DS = 1 / 2∫ (2s + 3) 2d (2s+ 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = ln | COSS | + C.

Online ayuda

En algunos casos, el fallo que puede ser o la pereza, o una necesidad urgente, puede utilizarconsejos en línea, o más bien, utilizar una calculadora de integrales indefinidas.A pesar de la aparente complejidad y la naturaleza polémica de las integrales, su decisión está sujeta a un cierto algoritmo, que se basa en el principio de "si no ... entonces ...".

supuesto, ejemplos muy intrincados de esta calculadora no dominar, ya que hay casos en los que una decisión tiene que encontrar una manera artificial "forzada" mediante la introducción de ciertos elementos en el proceso, ya que el resultado no es maneras obvias de lograr.A pesar del carácter controvertido de esta declaración, es cierto, como las matemáticas, en principio, una ciencia abstracta, y su objetivo principal considera la necesidad de ampliar las fronteras de posibilidades.De hecho, para una suave carrera en las teorías es muy difícil de ascender y evolucionar, por lo que no asuma que los ejemplos de la solución de integrales indefinidas, que nos dio - esto es la altura de opciones.Pero volvamos a la parte técnica de las cosas.Al menos para comprobar los cálculos, puede utilizar el servicio en el que fue explicado a nosotros.Si hay una necesidad para el cálculo automático de expresiones complejas, entonces no tienen que recurrir a un software más grave.Es necesario prestar atención sobre todo en el entorno MATLAB.Decisiones

Aplicación

integrales indefinidas a primera vista parece completamente divorciados de la realidad, ya que es difícil ver el uso obvio del avión.De hecho, su uso en cualquier lugar directamente imposible, sin embargo, se consideran elemento intermedio necesario en el proceso de retirada de las soluciones que se utilizan en la práctica.Así que, volviendo a la integración de la diferenciación, participando así activamente en el proceso de resolución de ecuaciones.
A su vez, estas ecuaciones tienen un impacto directo en la decisión de un problema mecánico, el cálculo de trayectorias y conductividad térmica - en fin, todo lo que constituye el presente y dar forma al futuro.Los ejemplos integral indefinida, de las cuales hemos considerado anteriormente, meramente trivial a primera vista, como una base para llevar a cabo más y más nuevos descubrimientos.