Üks peamisi filiaalid matemaatiline analüüs on lahutamatu calculus.See hõlmab laia valdkonda esemetega, kui esimene - see on määramata integraal.Ametikoht seda oluliseks, et juba keskkoolis näitab üha rohkem väljavaateid ja võimalusi, mis kirjeldab kõrgem matemaatika.
välimus
Esmapilgul tundub täiesti lahutamatu kaasaegne, aktuaalne, kuid praktikas selgub, et ta ilmus aastal 1800 eKr.Kodumaa on ametlikult antud Egiptuses ei ole säilinud varasema tõendeid selle olemasolust.See tõttu puudub teave, kõik samal ajal paigutatud lihtsalt nähtus.See kinnitab veelkord tasemel teadusliku arengu rahvaste need ajad.Lõpuks selgus kirjutised vanakreeka matemaatikud, pärineb 4. sajandist eKr.Nad kirjeldavad meetodit kasutatakse, kui määramata integraal, mille põhiolemus oli leida maht või ala kumera kujuga (kolmemõõtmeline ja kahemõõtmeline tasapind võrra).Põhimõte arvutus põhineb jaotus algse arv üliväike komponendid, eeldusel, et maht (pindala) juba teada.Aja jooksul on meetod kasvanud, Archimedes kasutanud seda leida kõige area parabooli.Sarnased arvutused samal ajal ja käitumise harjutusi iidses Hiinas, kus nad olid täiesti sõltumatu Kreeka mehe teadust.
Development
järgmine läbimurre XI sajandil eKr muutunud töö Araabia teadlane "vagun" Abu Ali al-Basri, kes surusid piirid juba teada, on saadud lahutamatu valem summad on summad ja kraadi esimesenaNeljandaks, kasutades selleks me teame meetod matemaatilise induktsiooni.
mõtetes täna imetleda, kuidas muistsed egiptlased loodud hämmastav monumendid ilma spetsiaalseid tööriistu, välja arvatud võib oma käed, kuid ei ole võimsust silmas pidades teadlased aega mitte vähem ime?Võrreldes praegu elu tundub peaaegu primitiivne, kuid otsuse määramata integraalid tuletada kõikjal ja praktikas kasutada edasiseks arenguks.
järgmine samm toimunud XVI sajandil, mil Itaalia matemaatik tõi Cavalieri meetod indivisibles, mis hakkasid Pierre de Fermat.Need kaks isiksus pani aluse tänapäeva lahutamatu calculus, mis on hetkel teada.Nad seotakse mõistete eristamine ja integratsiooni, mis olid eelnevalt tajuda autonoomsete üksustena.Üldiselt matemaatika sel ajal on purunenud, järeldused osakeste olemas ise, piiratud ulatusega.Way ühinemisvabaduse ja ühise lahenduse otsingul oli ainus tõeline hetkel, tänu temale tänapäeva matemaatilise analüüsi olnud võimalus kasvada ja areneda.
Mis aja möödudes muutub kõik, ja märke on lahutamatu samuti.Üldiselt teadlased on määranud seda omal viisil, näiteks Newton kasutas ruut ikoon, mis panna integrable funktsioon, või lihtsalt kokku panna.See erinevus kestis kuni XVII sajandi mil maamärki kogu teooria matemaatiline analüüs teadlane Gottfried Leibniz kasutusele sümbolina meile tuttav.Pikliku "S" põhineb tegelikult, et täht, nagu näitab summa primitiivid.Nimi lahutamatu pidi Jacob Bernoulli, pärast 15 aastat.
ametliku määratluse määramata integraal sõltub määratlus primitiivne, et me arvestame seda esiteks.
maapinna naturaalne - see on vastupidine funktsioon tuletise, praktikas seda nimetatakse primitiivne.Teisisõnu: primitiivse funktsioonina d - on funktsioon D, tuletis on võrdne v & lt; = & gt;V '= v.Otsi primitiivne on, arvutamise määramata integraal, ja protsessi nimetatakse integratsiooni.
Näide:
funktsioon s (y) = y3, ja selle primitiivne S (y) = (y4 / 4).
komplekti kõik primitiivid funktsiooni - see on määramata integraal, see on tähistatud järgmiselt: ∫v (x) dx.
Kuna V (x) - Need on mõned originaal primitiivne funktsioon, meil on väljend: ∫v (x) dx = V (x) + C, kus C - konstant.Vastavalt suvaline konstant mis tahes pidev, sest tema tuletis on null.
omadused
omadused, mis on määramata integraal, mis põhineb mõistete ja omaduste derivaadid.
Mõtle põhipunktid:
- lahutamatu tuletis primitiivne ise primitiivne, pluss suvaline konstant C & lt; = & gt;∫V '(x) dx = V (x) + C;
- tuletis funktsiooni integraali on esialgse funktsiooni & lt; = & gt;(∫v (x) dx) '= v (x);
- pidev eemaldatakse integraalimärgi & lt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, kus k - on meelevaldne;
- lahutamatu, mis on võetud summa identselt võrdne summa integraalid & lt; = & gt;∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.
Viimased kaks omadused võib järeldada, et määramata integraal on lineaarne.Tänu sellele on meil: ∫ (kv (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.
Et kindlustada kaaluda näiteid lahendusi määramata integraalid.
vaja leida lahutamatu ∫ (3sinx + 4cosx) dx:
- ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C.
Alates Näiteks võime järeldada, et sa ei tea, kuidas toimida määramata integraalid?Lihtsalt leida kõik primitiivid!Aga otsing põhimõtted allpool.
meetodid ja näited
Et lahendada lahutamatu võite pöörduda järgmiste meetoditega:
- tabelis kasutusvalmis;
- integreerida osade kaupa;
- integreeritud asendades muutuja;
- asula märgi all erinev.
tabelid
lihtsam ja meeldiv viis.Praegu matemaatiline analüüs võib kiidelda üsna ulatuslikud tabelid, milles on välja toodud põhilised valemid määramata integraalid.Teisisõnu on mustreid ja te saate ainult neid ära.Siin on nimekiri põhi tabelis kohtadel, mis võib näidata peaaegu igal juhul, võttes lahendus:
- ∫0dy = C, kus C - konstant;
- ∫dy = y + C, kus C - konstant;
- ∫yndy = (ün + 1) / (n + 1) + C, kus C - konstant, ja n - erineb ühikute arv;
- ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, kus C - konstant;
- ∫eydy = ey + C, kus C - konstant;
- ∫kydy = (ky / ln k) + C, kus C - konstant;
- ∫cosydy = siny + C, kus C - konstant;
- ∫sinydy = -cosy + C, kus C - konstant;
- ∫dy / cos2y = tgy + C, kus C - konstant;
- ∫dy / sin2y = -ctgy + C, kus C - konstant;
- ∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, kus C - konstant;
- ∫chydy = shy + C, kus C - konstant;
- ∫shydy = chy + C, kus C - konstant.
Kui sa tahad teha mõned sammud viivad integrand kuni tabelina ja naudi võidu.Näide: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.
Otsuse kohaselt on selge, et kui lauaNäide integrand puudub kordaja 5. Lisame ta paralleelselt käesoleva korrutada 1/5 üldise ilme ei muutunud.
Integratsioon Parts
Mõtle kaks funktsiooni - z (y) ja x (y).Nad peavad pidevalt diferentseeruvad oma domeeni.Nagu üks omadusi diferentseerumine on: d (xz) + = XDZ ZDX.Integreerimine mõlemad pooled, saame: ∫d (xz) = ∫ (XDZ + ZDX) = & gt;zx = ∫zdx + ∫xdz.
ümberkirjutamine tulemuseks võrrandi, saame valemi, mis kirjeldab meetodit integratsiooni osad: ∫zdx = zx - ∫xdz.
Miks on vaja?Asjaolu, et mõned näited võib lihtsustada, on suhteliselt vähendada ∫zdx ∫xdz, kui viimane on lähedal tabeli kujul.Ka see võib kasutada valemit rohkem kui üks kord, optimaalse tulemuse saavutamiseks.
Kuidas lahendada määramata integraalid nii:
- vaja arvutada ∫ (s + 1) e2sds
∫ (x + 1) e2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e2s, dy= e2xds} = ((s + 1) E2S) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((s + 1) E2S) / 2-E2S / 4 + C;
- tuleb arvutada ∫lnsds
∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = Slns - ∫s x ds / s = Slns - ∫ds = Slns -s+ C = s (LNS-1) + C.
asendamine muutuja
See põhimõte otsusega määramata integraalid nõudluse vähemalt kahes eelmises, kuigi keeruline.Meetod on järgmine: Olgu V (x) - integraali mõne funktsiooni v (x).Juhul kui iseenesest lahutamatu osa kalasaagist slozhnosochinenny Näiteks on tõenäoline, et saada segaduses ja minna valesti lahendusi.Selle vältimiseks praktiseeritakse üleminek muutujat x-z, milles üldmõiste visuaalselt lihtsustatud säilitades z sõltuvalt x.
matemaatilises keeles on järgmine: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), kus x =y (z) - vahetusest.Ja muidugi, pöördfunktsiooni z = y-1 (x) kirjeldab täielikult suhet ja muutujatevahelist suhet.Oluline - erinevus dx tingimata asendada uue erinevus dz, sest muutus muutuja määramata integraal tähendab seda asendava kõikjal, mitte ainult integrand.
Näide:
- vaja leida ∫ (s + 1) / (s2 + 2s - 5) ds
rakendada asendusravi z = (t + 1) / (s2 + 2s-5).Siis 2sds = dz = 2 + 2 (s + 1) ds ainena = & gt;(s + 1) ds = dz / 2.Selle tulemusena järgmist väljendit, mis on väga lihtne arvutada:
∫ (s + 1) / (s2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2LN | z | + C = 1 / 2LN| S2 + 2s-5 | + C;
- vaja leida lahutamatu ∫2sesdx
tegelemiseks kirjutada väljend järgmisel kujul:
∫2sesds = ∫ (2e) SDS.
tähendada = 2e (asendades argument see samm ei ole, see on ikka s), anna meie näiliselt keerukas, lahutamatu põhiline tabeli kujul:
∫ (2e) SDS = ∫asds = nagu / LNA+ C = (2e) s / ln (2e) + C = 2ses / ln (2 + LNE) + C = 2ses / (ln2 + 1) + C.
Wrap märgi all erinevus
Üldiselt on see meetodmääramata integraalid - kaksikvend põhimõtte muutus muutuv, kuid esineb erinevusi registreerimise menetlust.Mõtle üksikasjalikult.
Kui ∫v (x) dx = V (x) + C ja y = z (x), siis ∫v (y) dy = V (y) + C.
Me ei tohiks unustada triviaalne lahutamatu transformatsioonide hulgaskus:
- dx = d (x + a), kusjuures - iga konstantne;
- dx = (1 / a) d (ax + b), kus a - konstantse uuesti, kuid ei ole null;
- xdx = 1 / 2d (x2 + b);
- sinxdx = -d (cosx);
- cosxdx = d (sinx).
Kui mõtleme üldiselt juhul, kui me arvutada määramata integraal, näiteid võib tuua all üldvalemiga w '(x) dx = dw (x).
Näited:
- vaja leida ∫ (2s + 3) 2ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)
∫ (2s + 3) 2ds = 1 / 2∫ (2s + 3) 2d (2s+ 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;
∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSSiga) / COSSiga = Ln | COSSiga | + C.
Hetkel abi
Mõningatel juhtudel vea, mis võib olla või laiskus või tungiv vajadus, mida saab kasutadaHetkel näpunäiteid, või õigemini, kasutada kalkulaatorit määramata integraalid.Hoolimata näilisest keerukusest ja vastuolulistele integraalid, nende otsus sõltub teatud algoritmi, mis on üles ehitatud põhimõttel "kui sa seda ei tee ... siis ...".
muidugi väga keerukas näiteid kalkulaator ei osata, sest esineb juhtumeid, kus otsus on leida kunstlikult "sunnitud" kehtestades teatud elemente protsess, sest tulemus ei ole selge, kuidas saavutada.Vaatamata vastuoluline iseloom seda avaldust, siis on tõsi, nagu matemaatika, põhimõtteliselt abstraktne teadus, ja selle peamine eesmärk on seisukohal, et on vaja laiendada piire võimalused.Tõepoolest, sile run-teooriad on väga raske liikuda ja areneda, seega ei saa eeldada, et näiteid lahendus määramata integraalid, mis andis meile - see on kõrgus võimalusi.Aga tagasi tehniline pool asju.Vähemalt kontrollida arvutusi, mida saab kasutada teenust, mis oli kirjutatud meile.Kui on vajadus automaatne arvutamine kompleksi väljendeid, siis nad ei pea kasutama raskemast tarkvara.On vaja pöörata tähelepanu peamiselt keskkonnale MatLab.
taotlemine
otsuse määramata integraalid esmapilgul tundub täiesti lahutatud reaalsusest, sest see on raske näha selge kasutamine lennukis.Tõepoolest, nende kasutamine kõikjal otse võimatu, aga neid peetakse vajalikuks vahe element protsessis tühistamise lahendusi praktikas kasutada.Niisiis, tagasi integratsiooni eristumine, mis osalevad aktiivselt protsessis lahendada võrrandid.
, siis need võrrandid on otsene mõju otsusele mehaanilise probleem, arvutamist trajektoorid ja soojusjuhtivus - lühidalt, kõik, mis moodustab praegu ja tuleviku kujundamisel.Tähtajatu lahutamatu, mille näited on meil peetakse ülal, vaid triviaalne esmapilgul alusena teha rohkem ja rohkem uusi avastusi.
