Cramerin sääntö - on yksi tarkka menetelmiä ratkaista lineaarisia algebrallisia yhtälöitä (Slough).Sen tarkkuus käytön vuoksi taustatekijät matriisien, sekä joitakin rajoituksia määrätty todiste lause.
lineaarisen algebrallisia yhtälöitä kertoimet kuuluvat esimerkiksi useita R - todellinen määrä, tuntemattomilta x1, x2, ..., xn kutsutaan joukko ilmauksia muodossa
AI2 x1 + AI2 x2 + ... ain xn = bi i =1, 2, ..., m, (1)
missä aij, kahden - ovat todellisia lukuja.Kukin näistä ilmaisuja kutsutaan lineaarinen yhtälö, aij - kertoimet tuntemattomien, bi - vapaa yhtälöiden kertoimet.
liuosta, jossa oli (1) on nimeltään N-ulotteinen vektori x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), joka silloin, kun substituoitu tuntemattomien x1, x2, ..., xn kukin rivien järjestelmä ontodellinen tasa-arvo.
järjestelmä on nimeltään johdonmukainen, jos sillä on vähintään yksi ratkaisu, ja epäjohdonmukaista, jos sen joukko ratkaisuja sama tyhjä joukko.
On muistettava, että jotta löytää ratkaisu järjestelmien lineaarinen algebrallisia yhtälöitä käyttäen Cramerin sääntö, matriisit, järjestelmien on oltava neliö, mikä tarkoittaa periaatteessa sitä sama määrä tuntemattomia ja yhtälöt järjestelmässä.
Joten, käyttää menetelmää Cramer, sinun pitäisi ainakin tietää mitä Matrix on lineaarisen algebrallisia yhtälöitä ja miten se annetaan.Ja toiseksi, ymmärtää, mitä kutsutaan tekijä matriisi, ja hallita taidot sen laskeminen.
olettaa, että tämän tiedon teillä.Ihana!Sitten sinun täytyy vain muistaa kaavoja määrittämiseksi menetelmää Cramer.Yksinkertaistaa ulkoa Käyttäkää seuraavia tunnuksia:
-
Det - tärkein tekijä järjestelmän;
-
deti - on tekijä matriisin saatu tärkein matriisin järjestelmän korvaamalla i: nnen sarakkeen matriisin sarakkeen vektorille, jonka elementit ovat oikealta puolelta lineaarisia yhtälöitä;
-
n - tuntemattomien lukumäärä ja yhtälöt järjestelmässä.
Sitten Cramerin sääntöä laskemaan i: nnen komponentin xi (i = 1, .. n) n-ulotteisen vektorin x voidaan kirjoittaa
xi = deti / Det, (2).
Näin Det tiukasti nollasta poikkeava.
ainutlaatuinen ratkaisu silloin, kun se on yhdessä, jonka ehto nollasta poikkeava pääasiallinen tekijä järjestelmän.Muuten, jos summa (XI), neliö, on ehdottomasti positiivinen, sitten SLAE neliömatriisi on epäjohdonmukainen.Tämä voi tapahtua erityisesti silloin, kun ainakin yksi Deti nollasta poikkeava.
esimerkissä 1 .Ratkaista kolmiulotteinen järjestelmä Lau, käyttämällä Cramerin kaavaa.
x1 + 2 x 2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.
päätös.Me kirjoittaa matriisin rivin jossa Ai - on i: nnen rivin matriisin.
A1 = (1 2 4), A2 = (1, 5 2), A3 = (-1 3 1).
pilarittomia kertoimet b = (31 lokakuu 29).
tärkein tekijä Det järjestelmä on
Det = A11 A22 A33 + A12 A23 A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 a21 a12 = 1-20 12-12 2-10 = -27.
laskemiseksi DET1 käytettävä korvaavia a11 = b1, A21 = b2, A31 = b3.Sitten
DET1 = B1 A22 A33 + A12 A23 B3 + A31 b2 A32 - A13 A22 b3 - B1 A32 A23 - A33 b2 A12 = ... = -81.
Samoin laskea permutaatio käyttäen det2 = b1 a12, a22 = b2, b3 = A32 ja vastaavasti laskea det3 - a13 = B1, B2 = A23, A33 = b3.
Sitten voit tarkistaa, että det2 = -108, ja det3 = - 135.
mukaan Cramerin sääntö löydämme x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135/ (- 27) = 5.
Vastaus: X ° = (3,4,5).
Perustuu soveltamisen ehdot tämän säännön, Cramerin sääntö ratkaista järjestelmien lineaariset yhtälöt voidaan käyttää epäsuorasti, esimerkiksi tutkia järjestelmän mahdollisesta useita ratkaisuja riippuen parametrin arvon k.
Esimerkki 2. määritellä mitä arvoja parametrin k eriarvoisuus | kx - y - 4 | + | x + KY +4 | & lt; = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu.
päätös.
Eroavuudet määritelmä moduulin toiminto voidaan toteuttaa vain, jos molemmat lausekkeet ovat nolla samanaikaisesti.Näin ollen, tämä ongelma pienenee löytää ratkaisu lineaarisen järjestelmän algebrallisia yhtälöitä
kx - y = 4,
x + ky, = -4.
ratkaisu tämän järjestelmän vain, jos se on tärkein tekijä
Det = k ^ {2} + 1 on nollasta poikkeava.Ilmeisesti tämä edellytys pätee kaikille kelvolliset arvot parametrin k.
Vastaus: kaikkien todellisten arvojen parametrin k.
tavoitteet tyyppi voidaan myös vähentää, monia käytännön ongelmia matematiikan, fysiikan tai kemian.
