Kulmien summa kolmio.

kolmio on monikulmio, jossa on kolme sivua (kolme kulmaa).Yleisimmät puoli edustaa pieniä kirjaimia, vastaava iso kirjain, joka päinvastainen vertices.Tässä artikkelissa katsomaan tämäntyyppisiä geometrisia muotoja, lause, joka määrittää mikä vastaa summa kulmien kolmio.

Tyypit suurin kulmat

seuraavanlaisia ​​monikulmio kolme vertices:

• Teräväkulmaisen jossa kaikki terävät kulmat;
• suorakulmainen ottaa yksi oikeaan kulmaan puolella hänen kuvan, jota kutsutaan jalat ja puoli, joka on sijoitettu vastapäätä oikeassa kulmassa on nimeltään hypotenuusa;
• tylppä, kun yksi kulma on tylppä;
• isosceles, joka kaksi puolta yhtä, ja niitä kutsutaan sivusuunnassa, ja kolmas - pohjan kolmion;
• tasasivuinen, jossa on kolme yhtä suuri puolelta.

ominaisuudet

On perus ominaisuuksia, jotka ovat ominaisia ​​kullekin kolmion:

• vastapäätä suurempi puolella on aina suuri kulma, ja päinvastoin;
• vastakkaisilla puolilla yhtä suuret ovat yhtä suurissa kulmissa, ja päinvastoin;
• mitään kolmio on kaksi terävät kulmat;
• ulko kulma on suurempi kuin mikään sisäinen kulma ei liity häneen;
• summa kahdelle kulmista on aina pienempi kuin 180 astetta;
• ulko kulma on yhtä suuri kuin summa kahden muun kulmat, jotka eivät ole mezhuyut häntä.

lause, kulmien summa Kolmion

lause todetaan, että jos lisäät kaikki kulmat geometrinen kuvio, joka sijaitsee euklidiseen tasossa, niiden summa on 180 astetta.Yritetään todistaa tämän lauseen.

Olkoon meillä mielivaltainen kolmion kanssa vertices KMN.Kautta top M vetää viiva yhdensuuntainen KN (vaikka tätä linjaa kutsutaan rivi Euclid).On huomattava, kohta siten, että piste K ja sijaitsivat eri puolille suoraan MN: ään.Saamme samassa kulmassa ja AMS MUF, joka, kuten sisempi valhe poikittain muodostaa risteävien MN yhteistyössä CN ja MA linjat, jotka ovat yhdensuuntaiset.Tästä seuraa, että kulmien summa kolmio sijaitsee pisteiden M ja N on yhtä suuri kuin koko kulma CMA.Kaikki kolme kulmat muodostuvat summan summa kulmien CMA ja MCS.Koska nämä kulmat ovat sisäisiä suhteen yksipuolisia rinnakkaista CN ja MA leikkaaminen KM, niiden summa on 180 astetta.QED.

tutkinta

Ylhäältä tämän lauseen merkitsee seuraavaa seuraus: jokainen kolmio on kaksi terävät kulmat.Tämän todistamiseksi oletetaan, että tämä geometrinen kuvio on vain yksi pienestä kulmasta.Lisäksi, voidaan olettaa, että ei ole kulmaa ei ole akuutti.Tässä tapauksessa, sen on oltava vähintään kahden kulman, jonka suuruus on yhtä suuri tai suurempi kuin 90 astetta.Mutta sitten kulmien summa on suurempi kuin 180 astetta.Ja tämä ei voi olla, sillä Lauseen summa kulmien kolmio on 180 ° - ei enempää eikä vähempää.Sitähän oli todistaa.

ominaisuus ulkonurkissa

Mikä on kulmien summa kolmio, jotka ovat ulkoisia?Vastaus tähän kysymykseen saadaan käyttämällä kahdella eri tavalla.Ensimmäinen on, että on tarpeen löytää kulmien summa, joka on otettu yksi jokaista pistettä, eli kolme kulmaa.Toinen tarkoittaa, että sinun täytyy löytää summa kuusi kulmat kärjet.Aluksi Katsotaanpa käsitellä ensimmäinen.Siten, kolmio on kuusi ulko kulmat - jokaisen huippupiste kaksi.Jokainen pari on yhtä suuri kulmaan toisiinsa nähden, koska ne ovat pystysuoraan:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Lisäksi on tunnettua, että ulompi kulma kolmion on summa kahden sisemmän, eivät mezhuyutsya sen kanssa.Näin ollen,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

On käynyt ilmi, että summa ulkoisen kulmat otetaan yksitellen lähellä päällekkäin, on yhtä suuri kuin:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A ∟S + + + + ∟A ∟V + ∟V ∟S= 2 x (+ ∟A ∟V + ∟S).

Koska kulmien summa on yhtä kuin 180 astetta, voidaan väittää, että ∟A + ∟V ∟S = + 180 °.Tämä tarkoittaa sitä, että ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °.Jos toinen vaihtoehto on käytetty, niin summa kuusi kulmat ovat vastaavasti suurempi kaksinkertaistui.Että on summa ulkopuolen kulmien kolmio on:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

suorakulmaisen kolmion

Mikä on sama summa kulmien suorakulmaisen kolmion on saari?Vastaus, jälleen, Lauseesta, jossa todetaan, että kulmat kolmion lisätä jopa 180 astetta.Ja väite äänet (omaisuus) seuraavasti: in Suorakulmaisen kolmion terävät kulmat lisätä jopa 90 astetta.Me todistaa sen totuudesta.Tulkoon annetaan kolmio KMN, joka ∟N = 90 °.Meidän on osoitettava, että ∟K ∟M + = 90 °.

Siten lause, kulmien summa ∟K + ∟M ∟N = + 180 °.Tässä tilassa sanotaan, että ∟N = 90 °.On käynyt ilmi ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °.Tämä on ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °.Se meidän pitäisi todistaa.

Lisäksi edellä mainitut ominaisuudet suorakulmaisen kolmion, voit lisätä nämä:

• kulmia, jotka vasten jalat ovat teräviä;
• kolmion hypotenuusa on suurempi kuin mikä tahansa jalat;
• jalat enemmän kuin summa hypotenuusan;
• kateetista kolmion, joka sijaitsee vastapäätä kulman 30 astetta, puolet hypotenuusan, eli se on yhtä suuri kuin puolet.

Toisena ominaisuus geometrinen muoto voidaan tunnistaa Pythagoraan lause.Hän väittää, että kolmio, jonka kulma on 90 astetta (suorakaide) on summa neliöiden jalat neliöön hypotenuusan.

kulmien summa tasakylkisen kolmion

Aiemmin totesimme, että tasakylkisen kolmion kutsutaan monikulmio, jossa on kolme kärkipisteet, jossa on kaksi yhtä suuri puolin.Tämä ominaisuus on tiedossa geometrinen kuvio: kulmat tyvestä yhtä suuri.Olkaamme todistaa tämän.

Ota kolmio KMN, joka on tasakylkinen, SC - sen perusta.Meidän on todistettava, että ∟K = ∟N.Joten, oletetaan, että MA - bisector on meidän kolmio KMN.Kolmio MCA kanssa ensimmäinen merkki kolmio on yhtä suuri MNA.Nimittäin edellytys, koska CM = HM, MA on yhteinen puoli, ∟1 = ∟2, koska AI - puolittaja.Käyttäen yhdenvertaisuutta kaksi kolmiota, voidaan väittää, että ∟K = ∟N.Siten lause on osoittautunut.

Mutta olemme kiinnostuneita, mikä on summa kulmien kolmio (tasakylkistä).Koska tässä yhteydessä ei sen ominaisuuksia, voimme alkaa lauseen edellä.Eli, voimme sanoa, että ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, tai 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (kuten ∟K = ∟N).Tämä ominaisuus ei todistaa, kun hän Lause kulmien summa Kolmion todistettiin aikaisemmin.

Myös ottaen ominaisuuksien kulmien kolmion, on myös niin tärkeitä lausuntoja:

• sisällä kolmion korkeus, joka on alennettu pohja, on myös mediaani, bisector, kulma, joka on tasavertaisten osapuolten välillä, samoin kuin symmetria-akselin sen perusta;
• mediaani (bisector korkeus), jotka järjestetään sivuille geometrisen kuvion ovat yhtäläiset.

tasasivuisen kolmion

Sitä kutsutaan myös oikea, on kolmio, jotka ovat yhtä kaikki osapuolet.Ja siksi myös yhtäläisten näkökulmista.Kukin niistä on 60 astetta.Me todistaa tätä ominaisuutta.

Oletetaan, että meillä on kolmio KMN.Me tiedämme, että KM = NM = CL.Tämä tarkoittaa sitä, että mukaan kiinteistön kulmat, sijaitsee pohjan tasasivuisen kolmion, ∟K = = ∟M ∟N.Koska mukaan kulmien summa kolmio lauseen ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, 3 x ∟K = 180 ° tai ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °.Näin ollen, esitetyt dokazano.Kak ylhäältä katsottuna perusteella todiste lause, kulmien summa tasasivuisen kolmion kuin kulmien summa muita kolmio on 180 astetta.Jälleen todistaa tämä lause ei ole tarpeen.

On vielä joitakin ominaisuuksia ominaisuus kolmion:

• mediaani, bisector, korkeus tällainen geometrinen kuvio ovat samat, ja niiden pituus lasketaan (x √3): 2;
• jos kuvaavat polygonin ympärillä ympyrää, niin sen säde on yhtä suuri kuin (x √3): 3;
• jos tasasivuisen kolmion kirjoitettu vuonna ympyrän, niin säde on (ja x √3): 6;
• alue tämän geometrinen kuvio lasketaan seuraavasti: (a2 x √3): 4.

tylppäkulmainen kolmio

Määritelmän tylppäkulmaisia ​​kolmion, yksi sen kulmista on välillä 90-180 astetta.Kun kuitenkin otetaan huomioon, että kulma kahden muun geometriset muodot ovat teräviä, voidaan päätellä, että ne eivät ylitä 90 astetta.Näin ollen, lause, kulmien summa kolmio työn laskemalla yhteen kulmien tylpän kolmion.Joten, voimme turvallisesti sanoa, perustuu edellä lause, että summa kulmien obtuse kolmio on 180 astetta.Jälleen, tämä lause ei tarvitse uudelleen proof.