tutkittu matematiikan olisi tiedossa, että summa vallan sarjan välein lähentyminen monet meistä, on jatkuva ja rajoittamattoman määrän kertoja eriytetty toiminto.Herää kysymys: Onko mahdollista väittää, että annetaan mielivaltainen funktio f (x) - on summa potenssisarjan?Eli millä edellytyksillä f-la f (x) voidaan esittää potenssisarja?Tämän asian tärkeys on, että on mahdollista korvata noin Q-uw f (x) on summa muutaman ensimmäisen ehdot potenssisarjan, että on polynomi.Tällainen korvaava toiminto on varsin yksinkertainen ilmaisu - polynomi - on kätevä ja ratkaisemaan tiettyjä ongelmia matemaattisen analyysin, eli ratkaisemaan integrals laskettaessa differentiaaliyhtälöiden, ja niin edelleen. D.
osoitti, että joidenkin f-II f (x)joka voi laskea johdannaiset (n + 1): nnen mukaan luettuina, viimeistään läheisyydessä (α - R; x0 + R) pisteessä x = α on oikeudenmukainen kaava:
Tämä kaava on nimetty kuuluisan tiedemies Brooke Taylor.Sarja, joka on johdettu edellisestä, jota kutsutaan Maclaurin sarja:
sääntö, jonka avulla on mahdollista valmistaa Maclaurin sarja laajennus:
- Määritä johdannaiset ensimmäisen, toisen, kolmannen ... järjestyksessä.
- laskettu, jotka ovat johdannaisia x = 0.
- Record Maclaurin sarja tätä toimintoa, ja sitten määrittää välein lähentymistä.
- määrittää aikaväli (R, R), jossa jäljellä oleva Maclaurin kaavan
Rn (x) - & gt;0 n - & gt;ääretön.Jos se on olemassa, se funktio f (x) on yhtä suuri kuin summa Maclaurin sarjassa.
Tarkastellaan nyt Maclaurin sarjan yksittäisten toimintojen.
1. Siten ensimmäinen on f (x) = ex.Tietenkin, niiden ominaisuudet, f-la johdannaisia erilaisia tilauksia, ja f (k) (x) = vapaasti, jossa k on yhtä suuri kuin kaikki luonnolliset luvut.Korvaamalla x = 0.Saamme f (k) (0) = e0 = 1, k = 1,2 ... Edellä esitetyn perusteella, määrä ex on seuraava:
2. Maclaurin sarjan funktio f (x) = sin x.Heti täsmentää, että f-Ia kaikille tuntemattomia on johdannaisten lisäksi f (x) = cos x = sin (x + n / 2), f '' (x) = -sin x = sin (x+ 2 * n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), jossa k on yhtä suuri kuin mikä tahansa positiivinen kokonaisluku.Että on, suorittamalla yksinkertaisia laskutoimituksia, voimme päätellä, että sarja f (x) = sin x on tämän tyyppinen:
3. Nyt harkita teologisen tiedekunnan f (x) = cos x.Se on kaikkien tuntematon on johdannaisia mielivaltaisessa järjestyksessä, ja | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) | & lt; = 1, k = 1,2 ... jälleen kerran, tuottavattietyt laskelmat, huomaamme, että sarja f (x) = cos x näyttää tältä:
Joten olemme listanneet tärkeimmät ominaisuudet, jotka voidaan laajentaa Maclaurin sarja, mutta ne täydentävät Taylorin sarja tiettyihin toimintoihin.Nyt me luetella ne samoin.On myös huomattava, että Taylorin ja Maclaurin sarjat ovat tärkeä osa työpajan sarjan liuoksia korkeamman matematiikan.Joten, Taylorin sarja.
1. Ensimmäinen on sarja F-II f (x) = ln (1 + x).Kuten edellisissä esimerkeissä, tämän me f (x) = ln (1 + x) voidaan taittaa peräkkäin, käyttäen yleistä muotoa Maclaurin sarjassa.Kuitenkin, tämä toiminto Maclaurin voidaan saada paljon helpompaa.Integrointi geometrisen sarjan, saamme sarja f (x) = ln (1 + i) näytettä:
2. Ja toinen, joka on lopullinen tässä artikkelissa, on sarja f (x) = arctg n.X kuuluvien välillä [-1, 1] on laajennus reilun:
Siinä kaikki.Tässä artikkelissa pidettiin eniten käytetty Maclaurin ja Taylorin sarja korkeamman matematiikan, erityisesti taloudellisten ja teknisten oppilaitosten.
