olevaan tilaan kone voidaan määritellä eri tavoin (yhden pisteen ja vektorin ja vektorin kaksi pistettä, kolme pistettä, jne.).Se on tässä yhtälö kone voi olla erilaisia.Myös tietyissä olosuhteissa kone voi olla rinnakkain, kohtisuorassa, leikkaavat, jne.Tästä ja puhua tässä artikkelissa.Opimme tekemään yleistä yhtälö tason eikä vain.
Normaali yhtälö
Oletetaan, että on tilaa R3, jotka on suorakulmainen koordinaatisto XYZ.Määritellään vektori α, joka vapautuu ensimmäisen pisteen A kautta loppuun vektorin α kiinnittää tason P, joka on kohtisuorassa sitä.
Olkoon P mielivaltainen piste Q = (x, y, z).Säde vektori Q allekirjoittaa kirjeen s.Vektorin pituus α on yhtä suuri kuin p = IαI ja Ʋ = (cosa, cosβ, cosγ).
Se on yksikkövektori, joka on suunnattu sivulle, sekä vektori α.α, β, ja γ - on väliin muodostettu kulma vektorin Ʋ ja positiivinen akselien suunnassa tilan x, y, z, vastaavasti.Projektio pisteen vektori Ʋ QεP on vakio, joka on yhtä suuri kuin p (p, Ʋ) = p (r≥0).
edellä yhtälö järkevää, kun p = 0.Vain taso P tässä tapauksessa osuu piste D (α = 0), joka on peräisin, ja yksikkövektori Ʋ, vapautuu piste O on kohtisuorassa P, huolimatta sen suunta, mikä tarkoittaa, että vektori Ʋ määritettyjopa allekirjoittamaan.Edellinen yhtälö on koneemme II, ilmaistuna vektori muodossa.Mutta koordinaatit lajissaan niin:
P on suurempi tai yhtä suuri kuin 0. Olemme löytäneet yhtälö tason avaruudessa normaalilla tavalla.
yleinen yhtälö
Jos yhtälö koordinaatit kerrotaan mitä tahansa määrää, joka ei ole yhtä kuin nolla, saadaan yhtälö vastaa tätä joka määrittää hyvin tason.Se on näkymä:
Tässä A, B, C - on numero samanaikaisesti nollasta poikkeava.Tämän yhtälön kutsutaan tasossa yhtälön yleistä muotoa.
yhtälö tason.Erityisesti tapauksissa
yhtälö yleensä muodossa voidaan muuttaa lisäehtoja.Harkita joitakin niistä.
oletetaan, että kerroin on yhtä suuri kuin 0. Tämä tarkoittaa, että on samansuuntainen tietyn akselin Ox.Tässä tapauksessa muuttaa muotoa yhtälön: Vu + Cz + D = 0.
samanlainen muoto yhtälön muuttuu ja seuraavissa olosuhteissa:
- Ensinnäkin, kun B = 0, niin yhtälö muutokset Ax + CZ + D = 0, jotka osoittavat yhdensuuntainen y-akselin.
- Toiseksi, jos C = 0, yhtälö muuttuu ax + by + D = 0, tulee olemaan puhua yhdensuuntainen ennalta akselin Oz.
- Kolmanneksi, kun D = 0, yhtälö näyttäisi ax + by + Cz = 0, mikä tarkoittaa, että kone leikkaa O (alkuperä).
- Neljänneksi, jos = B = 0, niin yhtälö muutokset CZ + D = 0, joka osoittautuu rinnakkain Oxy.
- Viidenneksi, jos B = C = 0, yhtälö Ax + D = 0, mikä tarkoittaa, että on samansuuntainen Oyz.
- kuudes, jos = C = 0, yhtälö on muodoltaan Vu + D = 0, niin silloin on yhdensuuntainen raportin Oxz.
tyyppi yhtälöt osissa
Siinä tapauksessa, määrä, B, C, D ovat erilaisia kuin nolla, muodossa yhtälön (0) voi olla seuraava:
x / + y / b + z /= 1,
jossa = -D /, b = -D / B, C = -D / C.
Hanki tulos yhtälö kone kappaleina.On huomattava, että tämä taso osuu akselin Ox koordinaateissa (, 0,0), Dy - (0, b, 0) ja Oz - (0,0, s).
Koska yhtälön X / + y / b + z / C = 1, se on helppo visualisoida sijoittamista tason suhteessa tietyn koordinaatistoon.
koordinaatit normaalivektorin
normaali vektori n-tason P on koordinaatit, jotka ovat kertoimet yleisen yhtälön tasossa, eli n (A, B, C).
Sen määrittämiseksi koordinaatit normaali n, riittää tietää yleinen yhtälö tietyn tason.
Käytettäessä yhtälöitä segmentteihin, jotka on muotoon x / + y / b + z / C = 1, kuin silloin, kun käytetään yleinen yhtälö voidaan kirjoittaa koordinaatit tahansa normaali vektori annetun tason: (1 / + 1 / b +1 / s).
syytä huomata, että normaali vektori auttaa ratkaisemaan erilaisia ongelmia.Yleisimpiä ovat ongelmia, on todiste kohtisuorassa tai yhdensuuntaiset tasot, tehtävänä on löytää kulmat lentokoneiden tai kulmat välillä lentokoneita ja linjat.
näkymä tasossa yhtälön mukaan koordinaatit pisteen ja normaali vektori
nollasta poikkeava vektori n, joka on kohtisuorassa tietyn tason, jota kutsutaan normaali (normaali) tietyn tason.
olettaa, että koordinaattiavaruuden (suorakulmainen koordinaatisto) Oxyz kysyi:
- Mₒ pisteen koordinaatit (hₒ, uₒ, zₒ);
- nollavektori n = * i + j + B C * * k.
tarpeen tehdä yhtälö, joka kulkee pisteen kautta, joka on kohtisuorassa normaaliin Mₒ n.Tilassa
valita tahansa pisteeseen ja anna hänen M (x y, z).Anna napavektoriinsa tahansa pisteessä M (x, y, z) on r = x * i + y * j + z * k, ja säde vektori pisteen Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* j + zₒ * k.Kohta M kuuluu tiettyyn tasoon, jos vektori on kohtisuorassa vektoriin MₒM n.Kirjoitetaan ortogonaalisuus kunnosta skalaaritulo:
[MₒM, n] = 0.
Koska MₒM = r-rₒ, vektori yhtälön kone näyttää tältä:
[r - rₒ, n] = 0.
Tämä yhtälö voi olla eri muoto.Tätä tarkoitusta varten, ominaisuudet skalaaritulo, ja transformoitiin vasemmalla puolella yhtälö.[R - rₒ, n] = [r, N] - [rₒ, n].Jos [rₒ, n] merkitty n, saadaan seuraava yhtälö: [r, n] - C = 0 tai [r, n] = t, joka ilmaisee yhdenmukaisuutta ulokkeiden normaalilla vektori säde-vektorit annetaan pisteitä, jotka kuuluvat tasoon.
Nyt voit saada sellaista tallennuksen koordinoida koneemme vektori yhtälö [r - rₒ, n] = 0. Koska r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * kja n = * i + j + B C * * K, meillä on:
kääntyy pois, muodostuu meidän yhtälö, joka kulkee pisteen kohtisuoraan normaali n:
* (x hₒ) + B *(uₒ y) S * (z-zₒ) = 0.
tyyppi tasossa yhtälön mukaan koordinaatit kaksi pistettä ja vektorin suoralla tasossa
Määrittele kahden pisteen M '(x', y ', z') ja M '(x', y ", Z"), samoin kuin vektori(',' ja '' ').
Nyt voimme rinnastaa tietyn tason, joka tapahtuu läpi nykyisten pisteiden M "ja M", sekä kaikki kohta M (x, y, z) rinnakkain tietyn vektorin.
Tämä M'M vektorit {x, x ', y, y', ZZ '} ja M ", M = {x' -x ', y' y 'z' z '} tulisi olla samassa tasossavektori = (',', '' '), ja että välineet (M'M, M' M,) = 0.
Joten meidän yhtälön kone avaruudessa näyttää tältä:
tyyppi yhtälö kone leikkaa kolme pistettä
Oletetaan, että meillä kolme pistettä (x ', y' z '), (x', y"z"), (x '' 'On' '', z '' '), jotka eivät kuulu samaan linjaan.On tarpeen kirjoittaa yhtälö, joka kulkee määritelty kolme pistettä.Teoria geometrian mukaan tällainen kone on olemassa, se on vain yksi ja ainoa.Koska tämä taso leikkaa pisteen (x ', y', z '), muodossa, sen yhtälö on seuraava:
Tässä A, B, ja C ovat erilaisia kuin nolla samaan aikaan.Myös antanut kone leikkaa kaksi pistettä (x ', y' z ') ja (x' '' On '' ', z' '').Tässä yhteydessä olisi tehtävä tällainen edellytykset:
Nyt voimme luoda yhtenäinen järjestelmä yhtälöt (lineaarinen) ja tuntematonta u, v, w:
Meidän tapauksessamme x, y tai z näyttää mielivaltaiselta kohta, joka toteuttaayhtälö (1).Ottaen huomioon yhtälö (1) ja järjestelmän yhtälöt (2) ja (3), järjestelmän yhtälöt kuvassa yllä, vektori täyttää N (A, B, C), joka on triviaali.Tämä johtuu tekijä järjestelmän on nolla.
Yhtälö (1), joka meillä on, tämä on yhtälön tason.Jälkeen 3 kohta hän todella menee, ja se on helppo tarkistaa.Voit tehdä tämän, me hajota tekijä osia, jotka sijaitsevat ensimmäisellä rivillä.Nykyisten ominaisuuksien tekijä se merkitsee, että koneemme samanaikaisesti kolme ristiä aluksi annetaan pisteitä (x ', y' z '), (x', y 'z'), (X '' 'On' '', z '' ').Joten päätimme laittaa ennen meitä.
diedrikulma tasojen välinen
diedrikulma on spatiaalinen geometrinen muoto, joka muodostuu kahdesta puoli-tasoihin, jotka ovat peräisin saman linjan.Toisin sanoen, tämä tilan osa, joka rajoittuu puolitasossa.
Oletetaan, että meillä kaksi lentokoneet seuraavalla kaavalla:
Tiedämme, että vektorit N = (A, B, C) ja Nl = (Al: n väliin, Hl, S¹) asetettua kohtisuoraan lentokoneita.Tältä osin kulma φ välillä vektorit N ja Nl yhtä suuri kulma (dihedral), joka sijaitsee näiden tasojen.Skalaaritulo on:
NN¹ = | N || Nl | cos φ,
juuri siksi
cosφ = NN¹ / | N || Nl | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (a² + V²s² +)) * (√ (Al: n väliin) ² + (Hl) ² + (S¹) ²)).
riittää katsoa, että 0≤φ≤π.
oikeastaan kaksi konetta, jotka leikkaavat muodostaen kaksi kulmat (dihedral): φ1 ja φ2.Määrä on sama kuin niiden π (φ1 + φ2 = π).Sillä niiden kosinit, niiden absoluuttiset arvot ovat yhtä suuret, mutta ne ovat erilaisia merkkejä, eli cos φ1 = -cos φ2.Jos yhtälön (0) korvataan A, B ja C -A, -B ja -C vastaavasti, yhtälö, saadaan, määrittää samassa tasossa, vain kulma φ yhtälössä cos φ = NN1 / | N|| N1 | korvataan π-φ.
yhtälö kohtisuorassa kohtisuorassa
kutsutaan tasossa, joiden välillä on 90 astetta.Käyttämällä materiaali esitetty edellä, voidaan löytää yhtälön kohtisuorassa muihin.Oletetaan, että meillä on kaksi konetta: Ax + By + Cz + D = 0 ja A¹h + + S¹z V¹u + D = 0.Voimme sanoa, että ne ovat kohtisuorassa jos cosφ = 0.Tämä tarkoittaa sitä, että AA¹ NN¹ = + VV¹ SS¹ = 0.
yhtälö samansuuntaisen tason
Parallel kutsuttu kaksi lentokonetta, jotka eivät sisällä yhteistä pistettä.
kunto yhdensuuntaiset (niiden yhtälöt ovat samat kuin edellisessä kohdassa), että vektorit N ja Nl, joka heille kohtisuorassa, suoralla.Tämä tarkoittaa, että seuraavat ehdot suhteellisuuden:
/ Al: n väliin = V /; Hl = C / S¹.
Jos suhteellisuuteen on laajennettu - / Al: n väliin = V /; Hl = C / S¹ = DD¹,
tämä osoittaa, että datatason sama.Tämä tarkoittaa, että yhtälö ax + by + Cz + D = 0 ja + A¹h V¹u S¹z + D¹ = 0 kuvaavat yhdessä tasossa.
etäisyys tason näkökulmasta
Oletetaan, että meillä on tason P, joka on yhtälön (0).On tarpeen löytää hänen etäisyys pisteen koordinaatit (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.Voit tehdä tämän, sinun täytyy tuoda yhtälön tason P normaalissa muodossa:
(ρ, v) = p (r≥0).
Tässä tapauksessa, ρ (x, y, z) on säde vektori meidän Q, joka sijaitsee n, P: - on kohtisuora etäisyys P, joka on poistettu nollapisteen, v - on yksikkövektori, joka sijaitsee suuntaan.
ero ρ-ρº säde vektori Q = (x, y, z), jonka omistaa P ja säde vektori tietyn pisteen Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) on sellainen vektori, absoluuttinen arvojonka ennusteet v on yhtä suuri kuin etäisyys d, joka on tarpeen löytää kohteesta Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) P:
D = | (ρ-ρ0, v) |, mutta
(ρ-ρ0, v) = (ρ, v) - (ρ0, v) = p (ρ0, v).
On käynyt ilmi,
d = | (ρ0, v) s |.
nyt nähneet laskea etäisyys d Q0 tasoon P, sinun on käytettävä tavanomaista muotoa yhtälön kone, siirtyminen vasemmalle joen, ja viimeinen paikka x, y, z korvike (hₒ, uₒ, zₒ).
Niinpä löytää absoluuttinen arvo tuloksena ilmaisun, että haetaan d.
käyttäminen kieliasetukset, saadaan selvä:
d = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (a² + V² + s²).
Jos tietyssä kohdassa Q0 on toisella puolella ja tason P alkuperästä, välinen vektori ρ-ρ0, ja v on tylppä kulma, jolloin:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) -p & gt; 0.
Siinä tapauksessa, kun piste Q0 yhdessä alkuperä sijaitsee samalla puolella U, syntyy kulma on akuutti, joka on:
d = (ρ-ρ0, v) = p - (ρ0, v) & gt;0.
Tuloksena on, että ensimmäisessä tapauksessa (ρ0, v) & gt; p, toinen (ρ0, v) & lt; s.
sivuava taso ja sen yhtälö
Mitä kone pintaan yhteyspiste Mº - taso sisältää kaikki mahdolliset tangentti käyrä piirretään kyseisessä kohdassa pinnalla.
Tämän tyyppiseen yhtälöön pinnan F (x, y, z) = 0 yhtälön tangentin tasossa tangenttipisteen Mº (hº, uº, zº) näyttää seuraavalta:
Fx (hº, uº, zº) (x hº)+ Fx (hº, uº, zº) (uº y) + Fx (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.
Jos selkeästi määritellä pinta z = f (x, y), sivuava taso on kuvata yhtälöllä:
z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y-- uº).
risteyksessä kahden tason
kolmiulotteisessa avaruudessa on koordinaatisto (suorakulmainen) Oxyz, annettiin kaksi tasojen P 'ja P ", jotka ovat päällekkäisiä ja eivät ole samoja.Koska kaikki tasossa, joka on suorakulmainen koordinaatisto on määritelty yleinen yhtälö, oletamme, että n 'ja n "on annettu yhtälöillä A'x + V'u S'z + D' = 0 ja" x + B "y +Kun "D + z" = 0.Tässä tapauksessa meillä on normaali n '(', B ', C'), että taso P "ja tavanomaisen n '(', B ', C'), että taso P".Koska koneemme eivät ole yhdensuuntaiset ja eivät ole samat, nämä vektorit eivät ole collinear.Käyttämällä kieli matematiikan, meillä on tämä ehto voidaan kirjoittaa: n '≠ n "↔ (', B ', C') ≠ (λ *", λ * In ", λ * C"), λεR.Anna suoraa linjaa, joka sijaitsee risteyksessä P 'ja P ", on merkitty kirjaimella, tässä tapauksessa = n' ∩ P".
- tämä on suora, joka koostuu joukko pisteitä (yleistä) tasojen P 'ja P ".Tämä tarkoittaa sitä, että koordinaatit tahansa kuuluvan linjan ja on samanaikaisesti täytä yhtälön A'x + V'u S'z + D '= 0 ja "x + B" y + C "z + D" = 0.Sitten, koordinaatit kohta on erityistä ratkaisua seuraavissa kaavoissa:
Tuloksena on, että päätös (yleistä), että järjestelmän yhtälöt määrittää koordinaatit kunkin pisteen linjan, joka on leikkauspiste P 'ja P ", ja määrittää suoraan jakoordinaatistossa Oxyz (suorakaide) tilaa.
