Yksi keskeisistä oksat matemaattinen analyysi on integraalilaskentaa.Se kattaa laajan alueen kohteiden, jossa ensimmäinen - se on toistaiseksi kiinteä.Aseta se avain on, että takaisin lukiossa paljastaa yhä enemmän näkymiä ja mahdollisuuksia, jossa kuvataan korkeampi matematiikka.
ulkonäkö
Ensi silmäyksellä näyttää täysin olennainen moderni, ajankohtainen, mutta käytännössä käy ilmi, että hän oli ilmestynyt vuonna 1800 eaa.Homeland on virallisesti pidetään Egyptissä ei ole säilynyt aikaisempi todiste sen olemassaolosta.Se johtuu tiedon puutteesta, kaikki samalla sijoitettu yksinkertaisesti ilmiönä.Se osoittaa jälleen, että tieteellistä kehittämistä kansojen niistä hetkistä.Edelleen todettiin kirjoitukset antiikin Kreikan matemaatikot, vuodelta 4. vuosisadalta eKr.Ne kuvaavat käytetty menetelmä, jossa toistaiseksi kiinteä, olemus, joka oli löytää äänenvoimakkuutta tai alue kaareva muoto (kolmiulotteinen ja kaksiulotteinen plane, vastaavasti).Periaate laskelma perustuu jako alkuperäisen luku äärettömän osia, jos tilavuus (alue) on jo tiedossa.Ajan, menetelmä on kasvanut, Arkhimedeen käytetään se löytää alueen paraabelin.Vastaavia laskelmia samaan aikaan, ja käyttäytymisen harjoituksia muinaisessa Kiinassa, missä he olivat täysin riippumattomia Kreikan mies tiede.
kehittämisen
seuraava läpimurto XI vuosisadalla eKr on tullut työtä arabien tiedemies "vaunu" Abu Ali al-Basri, joka työnsi rajat jo tiedossa, ovat peräisin olennainen laskentakaava summia määrien ja astetta ensimmäisenäNeljänneksi, käyttäen tähän tiedämme menetelmän matemaattinen induktio.
mielissä tänään ihailla miten muinaiset egyptiläiset luonut hämmästyttävä monumentteja ilman erikoistyökaluja, mahdollisesti lukuun ottamatta hänen kätensä, mutta ei valtaa mielen tiedemiehet ajan yhtä ihmettä?Verrattuna hetkellä elämän tuntuu melkein primitiivinen, mutta päätös toistaiseksi integraalin päätellä kaikkialla ja käytetään käytännössä jatkokehitykseen.
seuraava askel tapahtui XVI luvulla, jolloin italialainen matemaatikko toi Cavalieri menetelmä indivisibles, joka piristyi Pierre de Fermat.Nämä kaksi persoonallisuutta loi perustan modernin integraalilaskennan, joka tunnetaan tällä hetkellä.He sitoivat käsitteet eriyttäminen ja integrointi, joka aiemmin koettu itsenäisinä yksikköä.Yleisesti, matematiikka, että aika on murskattu, päätelmät hiukkasten olemassa itse, vain rajoitettu.Tapa yhdistymisvapaus ja etsimään kiistatonta oli ainoa todellinen tällä hetkellä, kiitos hänelle, moderni matemaattinen analyysi oli mahdollisuus kasvaa ja kehittyä.
Kanssa ajan kulumisen muuttaa kaiken, ja merkintätapa kiinteä samoin.Yleisesti ottaen tutkijat ovat nimenneet sen omalla tavallaan, esimerkiksi Newton käytetty neliö kuvake, joka laittaa integroituva funktio, tai yksinkertaisesti koota.Tämä ero kesti XVII luvulla, kun maamerkki koko teorian matemaattisen analyysin tutkija Gottfried Leibniz käyttöön symboli tuttu.Pitkänomainen "S" on todella perustuu että kirjaimella, kuten yhteenlasketun summan perusalkioiden.Nimi olennainen johtui Jakob Bernoulli, 15 vuoden jälkeen.
virallista määritelmää toistaiseksi kiinteä riippuu määritelmästä primitiivinen, joten pidämme sitä ensiksi.
alkeellinen - se on käänteisfunktio johdannaisen, käytännössä sitä kutsutaan primitiivinen.Toisin sanoen: primitiivinen funktio d - on funktio D, johdannainen on yhtä suuri kuin v & lt; = & gt;V = v.Etsi primitiivinen on, laskenta toistaiseksi kiinteä, ja prosessia kutsutaan integraatio.
Esimerkki:
funktio s (y) = y3, ja sen primitiivinen S (y) = (Y4 / 4).
asettaa kaikkien primitiivejä funktion - tämä on toistaiseksi kiinteä, se ilmaistaan seuraavasti: ∫v (x) dx.
Koska V (x) - Nämä ovat muutamia alkuperäisen primitiivinen toiminto, meillä on ilmaisu: ∫v (x) dx = V (x) + C, jossa C - vakio.Alle mielivaltaista tarkoitetaan jatkuvaa, koska sen derivaatta on nolla.
ominaisuudet
ominaisuuksia, jotka ovat toistaiseksi kiinteä, määritelmien perusteella ja ominaisuudet johdannaisia.
Harkitse keskeisiä kohtia:
- kiinteä johdannainen primitiivinen on itse primitiivinen, sekä mielivaltaista C & lt; = & gt;∫V '(x) dx = V (x) + C;
- johdannainen kiinteä funktion on alkuperäinen funktio & lt; = & gt;(∫v (x) dx) = v (x);
- vakio poistetaan olennainen merkki & lt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, missä k - on mielivaltainen;
- kiinteä, joka on otettu summa identtisesti yhtä suuri summa integrals & lt; = & gt;∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.
kaksi viimeistä ominaisuudet voidaan päätellä, että toistaiseksi kiinteä on lineaarinen.Tämän vuoksi, olemme: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.
vakauttaminen harkita esimerkkejä ratkaisuista toistaiseksi integraalin.
välttämätöntä löytää kiinteä ∫ (3sinx + 4cosx) dx:
- ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C.
Vuodesta esimerkki voimme päätellä, että et tiedä miten käsitellä toistaiseksi integrals?Vain löytää kaikki primitives!Mutta haku periaatteita jäljempänä.
menetelmiä ja esimerkkejä
ratkaisemiseksi kiinteä, voi turvautua seuraavista menetelmistä:
- pöydän valmis käyttämään;
- integroida osilla;
- integroitu korvaamalla muuttuja;
- ratkaisun merkin alla ero.
taulukoissa
helpoin ja miellyttävällä tavalla.Tällä hetkellä, matemaattinen analyysi voi ylpeillä varsin laaja taulukoita, jossa tuotiin esiin perus kaavat toistaiseksi integraalin.Toisin sanoen, on olemassa malleja johdettu sinulle ja voit vain hyödyntää niitä.Tässä on luettelo perus pöytä kantoja, joka voi näyttää lähes kaikissa tapauksissa, joiden ratkaisu:
- ∫0dy = C, missä C - vakio;
- ∫dy = y + C, missä C - vakio;
- ∫yndy = (yn + 1) / (n + 1) + C, missä C - vakio, ja n - on eri yksiköiden määrä;
- ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, jossa C - vakio;
- ∫eydy = ey + C, missä C - vakio;
- ∫kydy = (ky / ln k) + C, jossa C - vakio;
- ∫cosydy = Siny + C, missä C - vakio;
- ∫sinydy = -cosy + C, missä C - vakio;
- ∫dy / cos2y = tgy + C, missä C - vakio;
- ∫dy / sin2y = -ctgy + C, missä C - vakio;
- ∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, missä C - vakio;
- ∫chydy = ujo + C, missä C - vakio;
- ∫shydy = chy + C, missä C - vakio.
Jos haluat tehdä pari askelta johtaa integrandiarvojen sen taulukkomuodossa katsella ja nauttia voiton.Esimerkki: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.
päätöksen mukaan on selvää, että taulukonEsimerkki integrandiarvojen puuttuu kerroin 5. Lisäämme sen rinnalla tällä kerrotaan 1/5 yleisilmausta ei muuttunut.
integrointi jonka osat
Tarkastellaan toimintoja - z (y) ja x (y).Niiden on oltava jatkuvasti differentiable toimialallaan.Yhtenä ominaisuuksia eriyttäminen on: d (XZ) + = XDZ ZDX.Integrointi molemmin puolin, saamme: ∫d (XZ) = ∫ (XDZ + ZDX) = & gt;zx = ∫zdx + ∫xdz.
uudelleenkirjoitus tuloksena yhtälö, saamme kaavan, joka kuvaa menetelmää integraatiota osat: ∫zdx = zx - ∫xdz.
Miksi se on tarpeen?Se, että muutamia esimerkkejä voivat yksinkertaistaa, suhteellisesti vähentää ∫zdx ∫xdz, jos jälkimmäinen on lähellä taulukkomuodossa.Myös tämä kaava voidaan käyttää useammin kuin kerran, optimaalisen tuloksia.
Miten ratkaista toistaiseksi integraaleja tällä tavalla:
- tarpeen laskea ∫ (t + 1) e2sds
∫ (x + 1) e2sds = {z = n + 1, dz = ds, y = 1 / 2e2s, dy= e2xds} = ((t + 1) E2S) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((t + 1) E2S) / 2-E2S / 4 + C;
- on laskettava ∫lnsds
∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s+ C = s (LNS-1) + C.
Korvaava muuttuja
Tätä periaatetta päätös toistaiseksi integraalin kysynnän peräti kaksi edellistä, mutta monimutkainen.Menetelmä on seuraava: Olkoon V (x) - integraali jokin funktio v (x).Siinä tapauksessa, että sinänsä olennainen saaliiden slozhnosochinenny esimerkiksi todennäköisesti hämmentyä ja mennä väärään ratkaisuja.Tämän välttämiseksi harjoiteltu siirtymistä muuttujan x z, jossa yleisesti ilmaisu visuaalisesti yksinkertaistettava säilyttäen z riippuen x.
Matemaattisesti kieli on seuraava: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)), y '(z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), jossa x =y (z) - korvaaminen.Ja, tietenkin, käänteisfunktio z = y-1 (x), kuvaavat täysin suhdetta ja suhde muuttujia.Tärkeää - ero dx välttämättä korvataan uudella ero dz, koska muutos muuttujan toistaiseksi kiinteä liittyy korvaa sitä kaikkialla, ei vain integrandiarvojen.
Esimerkki:
- täytyy löytää ∫ (t + 1) / (s2 + 2s - 5) ds
soveltaa vaihdosta z = (t + 1) / (s2 + 2s-5).Sitten 2sds = dz = 2 + 2 (s + 1) DS & lt; = & gt;(T + 1) ds = dz / 2.Tämän seurauksena seuraava lauseke, joka on erittäin helppo laskea:
∫ (t + 1) / (s2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln| s2 + 2s-5 | + C;
- täytyy löytää olennainen ∫2sesdx
Vastatakseen kirjoittaa lauseke seuraavassa muodossa:
∫2sesds = ∫ (2e) SDS.
merkitsevät = 2e (korvaa argumentti tämä vaihe ei ole, se on edelleen s), annamme näennäisesti monimutkainen, olennainen perus taulukon muodossa:
∫ (2e) SDS = ∫asds = kuten / lna+ C = (2e) s / ln (2e) + C = 2ses / ln (2 + LNE) + C = 2ses / (LN2 + 1) + C.
Kääri merkin alla ero
Yleisesti ottaen tämä menetelmätoistaiseksi integraalin - kaksoisveli periaatteen muutoksen muuttujan, mutta on eroja prosessia rekisteröinnin.Harkitse yksityiskohta.
Jos ∫v (x) dx = V (x) + C ja y = z (x), sitten ∫v (y) dy = V (y) + C.
Emme saa unohtaa triviaali Integraalimuunnokset, joukossajossa:
- dx = d (x +), ja jolloin - kukin vakio;
- dx = (1 /) d (ax + b), jossa - jatkuva uudelleen, mutta ei nolla;
- xdx = 1 / 2d (x 2 + b);
- sinxdx = -d (cosx);
- cosxdx = d (sinx).
Jos ajatellaan yleisesti silloin, kun laskemme toistaiseksi kiinteä, esimerkkejä voidaan hakea yleiskaava w '(x) dx = dw (x).
Esimerkkejä:
- täytyy löytää ∫ (2s + 3) 2DS, ds = 1 / 2d (2s + 3)
∫ (2s + 3) 2DS = 1 / 2∫ (2s + 3) 2d (2s+ 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;
∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -ln | COSS | + C.
Online-ohje
Joissakin tapauksissa vika, joka voi olla tai laiskuus tai kiireellisesti, voit käyttääOnline vinkkejä, tai pikemminkin, käyttää laskinta toistaiseksi integraalin.Huolimatta ilmeisen monimutkaisia ja kiistanalaisia luonne integraalien, niiden päätökseen sovelletaan tietty algoritmin, joka on rakennettu periaate "jos et ... niin ...".
tietenkin hyvin monimutkainen esimerkkejä tästä laskin ei pysty hallitsemaan, koska on olemassa tapauksia, joissa päätös on löytää keinotekoisesti "pakko" ottamalla käyttöön tiettyjä osatekijöitä, koska tulos ei ole ilmeinen tapoja saavuttaa.Vaikka kiistanalainen luonne tämän lausunnon, on totta, kuten matematiikka, periaatteessa, abstrakti tiede, ja sen ensisijaisena tavoitteena katsoo tarvetta laajentaa rajoja mahdollisuuksia.Todellakin, sileä sisäänajon teorioita on erittäin vaikea liikkua ylös ja kehittyä, joten älä oleta että esimerkkejä liuosta toistaiseksi integrals, joka antoi meille - tämä on korkeus vaihtoehtoja.Mutta takaisin teknistä puolta.Ainakin tarkistaa laskelmia, voit käyttää palvelua, jossa se esitettiin meille.Jos on tarpeen automaattinen laskeminen monimutkaisia ilmaisuja, niin heidän ei tarvitse turvautua vakavampi ohjelmisto.On tarpeen kiinnittää huomiota ensisijaisesti ympäristöön Matlab.
Sovellus
päätös toistaiseksi integraalin ensi silmäyksellä näyttää täysin vieraantunut todellisuudesta, koska on vaikea nähdä ilmeinen käytön tason.Todellakin, niiden käyttö missä tahansa suoraan mahdotonta, mutta ne katsotaan tarpeellisiksi välielementti prosessissa peruuttamisen ratkaisujen käytetty käytännössä.Niin, takaisin integrointi eriyttäminen, mikä osallistuu aktiivisesti prosessiin ratkaista yhtälöitä.
Puolestaan nämä yhtälöt on suora vaikutus päätöksestä mekaaninen ongelma, laskenta liikeratoihin ja lämmönjohtavuus - Lyhyesti sanottuna kaikki, joka muodostaa nykyisen ja tulevaisuuden muokkaamisessa.Toistaiseksi kiinteä, joista esimerkkejä olemme harkinneet edellä, vain vähäpätöinen ensi silmäyksellä, tukikohtana suorittaa enemmän ja enemmän uusia löytöjä.
