-Line - est un cas particulier d'un quadrilatère qui a une paire de côtés parallèles est.Le terme "Keystone" est dérivé du mot grec τράπεζα, ce qui signifie "table", "table".Dans cet article, nous examinons les types de trapèze et ses propriétés.Aussi, nous regardons la façon de calculer les différents éléments de la figure géométrique.Par exemple, la diagonale d'un trapèze équilatéral, la ligne médiane, région, et d'autres. Le matériel est présenté dans le style de la géométrie élémentaire populaire, t. E. Dans une forme aisément accessible.
général
abord, essayons de comprendre ce que le quadrilatère.Ce chiffre est un cas particulier d'un polygone à quatre côtés et quatre sommets.Deux sommets du quadrilatère qui ne sont pas adjacents sont appelés opposé.La même chose peut être dite des deux côtés non adjacents.Les principaux types de quadrilatères - un parallélogramme, rectangle, losange, carré, trapèze et le deltoïde.
Mais revenons à la trapèze.Comme nous l'avons dit, cette figure, les deux côtés sont parallèles.Elles sont appelées bases.Les deux autres (non parallèles) - côtés.Les matériaux des différents examens et très souvent, vous pouvez trouver les tâches associées à trapèzes dont la solution nécessite souvent la connaissance de l'étudiant, ne sont pas fournis par le programme.Le cours de géométrie de l'école initie les élèves aux propriétés des angles et de diagonales et la ligne médiane d'un triangle isocèle.Mais autre que celui visé à une figure géométrique possède d'autres caractéristiques.Mais à leur sujet plus tard ... Types
trapèze
Il existe de nombreux types de ce chiffre.Cependant, la plupart convenu d'examiner deux d'entre eux - isocèle et rectangulaire.
1. rectangulaire Trapèze - un chiffre dans lequel l'un des côtés perpendiculaires à la base.Elle a deux angles sont toujours quatre vingt dix degrés.
2. trapèze isocèle - une figure géométrique dont les côtés sont égaux.Et cela signifie, et les angles aux paires de bases que l'égalité.Grands principes
de méthodes pour étudier les propriétés d'un trapèze
aux principes de base comprennent l'utilisation de l'approche dite de la tâche.En fait, il n'y a pas besoin d'entrer dans une géométrie de cours théorique de nouvelles propriétés de cette figure.Ils peuvent être ouverts ou dans le processus de formulation des différentes tâches (meilleur système).Il est très important que l'enseignant sait ce que les tâches que vous devez mettre en face des élèves à un moment donné du processus éducatif.En outre, chaque trapèze de la propriété peut être représenté comme une tâche importante dans la tâche.
Le deuxième principe est l'organisation dite spirale de l'étude "remarquable" propriété trapèze.Cela implique un retour au processus de l'apprentissage des caractéristiques individuelles de la figure géométrique.Ainsi, il est plus facile pour les étudiants à les mémoriser.Par exemple, les quatre points de caractéristique.On peut montrer que dans l'étude de similarité, et en utilisant ensuite les vecteurs.Et des triangles égaux adjacentes aux côtés de la figure, il est possible de prouver, en utilisant non seulement les propriétés des triangles avec des hauteurs égales, effectués sur les côtés, qui se trouvent sur une ligne droite, mais aussi par la formule S = 1/2 (ab * sin).En outre, il est possible de travailler sur la loi des sinus inscrits sur le trapèze ou d'un triangle décrit sur le trapèze, et ainsi sur l'utilisation D.
de «parascolaire» présente une figure géométrique dans le contenu des cours de l'école -. Tâches est la technologie de leur enseignement.La référence constante à étudier les propriétés du passage de l'autre permet aux étudiants d'apprendre le trapèze profond et fournit la solution des tâches.Donc, nous procédons à l'étude de cette figure remarquable.Éléments et propriétés d'un trapèze isocèle
Comme nous l'avons noté
, dans cette figure géométrique dont les côtés sont égaux.Pourtant, il est connu comme un trapèze droit.Et quelle est-elle si remarquable et pourquoi a obtenu son nom?Les caractéristiques particulières de ce chiffre concerne que non seulement elle côtés égaux et des angles dans les bases, mais aussi en diagonale.En outre, les angles d'un trapèze isocèle est égale à 360 degrés.Mais ce nest pas tout!De tous les trapèzes isocèles seulement autour d'un cercle peut être décrit.Cela est dû au fait que la somme des angles opposés sur la figure est de 180 degrés, mais seulement quand cette condition peut être décrite par un cercle autour de la quadruple.Les propriétés suivantes des figures géométriques est considéré que la distance entre le haut de la base opposée au sommet de la projection sur une ligne droite qui contient cette base sera égale à la ligne médiane.
Voyons maintenant comment trouver les angles d'un triangle isocèle.Prenons le cas de solutions à ce problème à condition que les dimensions connues des côtés de la figure.Décision
généralement rectangle est désigné par les lettres A, B, C, D, où BC et AD - une fondation.Les côtés isocèles trapèze sont égaux.Nous supposons que X est égale à leur taille, et la taille de la base est Y, et Z (petites et grandes, respectivement).Pour effectuer le calcul de l'angle nécessaire de tenir en hauteur H. Le résultat est un triangle rectangle ABN, où AB - l'hypoténuse et le BN et AN - jambes sont.Nous calculons la taille de l'AN de la jambe: Avec base prend moins et le résultat est divisé par 2. Nous vous écrivons en tant que formule: (ZY) / 2 = F. Maintenant, pour le calcul de l'angle aigu du triangle nous utilisons les fonction cos.Nous obtenons l'entrée suivante: cos (β) = X / F.Maintenant, nous calculons l'angle: β = Arcos (X / F).En outre, sachant un coin, nous pouvons déterminer la deuxième, car il est une opération arithmétique élémentaire: 180 - β.Tous les angles sont définis.
Il ya une deuxième solution à ce problème.Au début, nous omettons de coin pour calculer la valeur de la hauteur H. jambe BN.On sait que le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égale à la somme des carrés des deux autres côtés.Nous obtenons: BN = √ (X2 F2).Ensuite, nous utilisons la fonction tg trigonométrique.Le résultat est: β = arctg (BN / F).L'angle aigu trouvé.Ensuite, on définit un angle obtus proche de la première méthode.
diagonales de propriété d'un trapèze isocèle
écrivent les quatre premières règles.Si la diagonale dans un trapèze isocèle perpendiculaire, puis:
- la hauteur de la figure est la somme des bases, divisé par deux;
- sa hauteur et la ligne médiane sont égaux;
- aire d'un trapèze est égal au carré de la taille (la ligne médiane, la moitié de la somme des bases);
- carré diagonal est la moitié de la somme des carrés des bases ou deux fois le carré de la ligne moyenne (de hauteur).
Considérons maintenant la formule de détermination de la diagonale d'un trapèze équilatéral.Cet élément d'information peut être divisé en quatre parties:
longueur 1. Formule diagonale à travers elle.
admis que A - base inférieure, B - C supérieure - côtés égaux, D - diagonale.Dans ce cas, la longueur peut être déterminée comme suit:
D = √ (C 2 + A * B).
2. Formule pour la longueur de la diagonale de la loi des cosinus.
admis que A - base inférieure, B - C supérieure - côtés égaux, D - diagonale, α (à la base inférieure) et β (la base supérieure) - les coins d'un trapèze.Nous obtenons la formule suivante, avec laquelle vous pouvez calculer la longueur de la diagonale:
- D = √ (A2 + S2-2A * Sur * cos);
- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cos).
3. Des longueurs de Formule des diagonales d'un trapèze isocèle.
admis que A - base inférieure, B - supérieure, D - diagonale, M - ligne médiane, H - hauteur, P - l'aire d'un trapèze, α et β - l'angle entre les diagonales.Déterminer la longueur des formules suivantes:
- D = √ (M2 + H2);
- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);
- D = √ (H (A + B) / sin) = √ (2n / sin) = √ (2M + H / sin).
Adhoc égalité: sin = sinβ.
4. Formule en diagonale à travers la longueur et la hauteur de la partie.
admis que A - base inférieure, B - C supérieure - côtés, D - diagonale, H - hauteur, α - angle de la base inférieure.
déterminer la longueur des formules suivantes:
- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);
- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);
- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C 2 H 2)).Éléments et les propriétés de trapèze rectangle
Voyons ce que cela est formes géométriques intéressantes.Comme nous l'avons dit, nous avons un trapèze rectangle deux angles droits.
Outre la définition classique, il ya d'autres.Par exemple, un trapèze rectangle - un trapèze, dont un côté est perpendiculaire aux substrats.Ou ayant des formes au niveau des angles latéraux.Dans ce type de la hauteur du trapèze est le côté qui est perpendiculaire à la base.La ligne du milieu - un segment reliant les points médians des deux côtés.La structure de cet élément est qu'il est parallèle aux bases, et est égale à la moitié de leur somme.
Considérons maintenant les formules de base qui définissent les formes géométriques.Pour ce faire, nous supposons que le A et B - base;C (perpendiculaire à la base) et D - la partie du trapèze rectangle, M - ligne médiane, α - un angle aigu, P - Square.
1. Le côté, perpendiculaire à la base, une figure égale à la hauteur (C = N), et est égale à la longueur du deuxième côté A et le sinus de l'angle α à une base supérieure (C = A * sin).En outre, il est égal au produit de la tangente de l'angle α aigu et la différence dans les bases: C = (A-B) * tgα.
2. Le côté de la D (non perpendiculaire à la base) égal au quotient de la différence de A et B et le cosinus (α) un angle aigu ou un chiffre privée hauteur H et des sinus angle aigu: A = (A-B) / cos α = C / sin.
3. Le côté qui est perpendiculaire à la base égale à la racine carrée de la différence entre le carré D - deuxième côté - et le carré de la différence entre les bases:
C = √ (Q2 (AB 2)).
4. Partie A trapèze rectangle est égale à la racine carrée de la somme du carré de côté C, et la différence entre les bases carrées de formes géométriques: D = √ (C2 + (A-B) 2).
5. Le côté de C est égal au quotient de la somme du double de la zone de ses motifs: C = P / M = 2n / (A + B).
6. zone définie par le produit M (ligne médiane d'un trapèze rectangle) à la hauteur ou sur le côté, perpendiculaire à la base: P = M * N = M * C.
7. Partie C est égale au quotient de deux fois la superficie de la figure dans le travail de l'angle aigu des sinus et de la somme de ses bases: C = P / M * sin = 2n / ((A + B) * sin).
côté 8. Formule du trapèze rectangle à travers sa diagonale et l'angle entre eux:
- sin = sinβ;
- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sin = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,
où D1 et D2 - trapèze diagonale;α et β - l'angle entre eux.
côté 9. Formule travers un coin à la base inférieure et les autres parties: D = (A-B) / cos = C / sin = N / sin.
Depuis trapèze avec un angle droit est un cas particulier du trapèze, les autres formules qui déterminent ces chiffres se rencontrent et rectangulaire.
biens inscrits cercle
Si la condition est dit que dans un cercle trapèze rectangle inscrit, vous pouvez utiliser les propriétés suivantes:
- le montant est la somme des bases côtés;
- la distance entre le sommet d'une forme rectangulaire pour les points de contact du cercle inscrit est toujours égal;
- égale à la hauteur du côté de trapèze, perpendiculaire à la base, et est égal au diamètre du cercle;
- centre du cercle est le point où se croisent bissectrices des angles;
- si le côté est divisé en segments de point de contact H et M, alors le rayon du cercle est égale à la racine carrée du produit de ces segments;
- quadrilatère, qui a formé les points de contact, le sommet du trapèze et le centre du cercle inscrit - un carré dont le côté est égal au rayon;
- aire de la figure est égale au produit de base demi-somme et motifs de sa hauteur.
trapèze similaires
Ce sujet est très utile pour étudier les propriétés des figures géométriques.Par exemple, en diagonale diviser trapèze en quatre triangles, et à côté des bases sont similaires, et sur les côtés - par l'égalité.Cette déclaration peut être appelé une propriété de triangles, qui sont trapèze cassé ses diagonales.La première partie de cette déclaration est prouvé par une indication de similitude dans les deux coins.Pour prouver la seconde partie est préférable d'utiliser la méthode ci-dessous.
La preuve
accepté que le chiffre ABSD (AD et BC - la base du trapèze) est diagonales brisées HP et AC.Le point d'intersection - O. Nous recevons quatre triangles: AOC - à la base inférieure, BOS - à la base supérieure, ABO et SOD sur les côtés.Triangles SOD et le biofeedback ont une hauteur commune dans ce cas, si les segments de CD et OD sont leurs bases.Nous constatons que la différence dans leurs domaines (P) est égal à la différence entre ces segments: PBOS / PSOD = BO / ML = K. Ainsi PSOD PBOS = / K.De même, l'triangles AOB et le biofeedback ont une hauteur commune.Nous acceptons leurs segments de base SB et OA.Nous obtenons le PBOS / PAOB = CO / OA = K et PAOB PBOS = / K.Il en résulte que PSOD = PAOB.
Pour consolider le matériau est recommandé pour les étudiants à trouver un lien entre les zones de triangles obtenus, qui est cassée trapèze ses diagonales, de décider de la prochaine tâche.Il est connu que les zones triangles BOS et ADP sont égaux, vous devez trouver l'aire d'un trapèze.Depuis PSOD = PAOB, puis PABSD PBOS + = AOMI + 2 * PSOD.De la similitude des triangles BOS et ADP montre que BO / OD = √ (PBOS / AOMI).Par conséquent, PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / AOMI).Nous obtenons le PSOD = √ (* PBOS AOMI).Puis PABSD PBOS + = AOMI + 2 * √ (AOMI PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.
Propriétés similitude
continuer à développer ce thème, vous pouvez prouver les autres caractéristiques intéressantes des trapèzes.Ainsi, en utilisant la similarité peut s'avérer section de propriétés qui passe par le point formé par l'intersection des diagonales de cette figure géométrique, parallèle à la base.Pour ce faire va résoudre le problème suivant: vous devez trouver la longueur du segment de la RK, qui passe par le point O. De la similitude des triangles ADP et le biofeedback qui suit AO / OS = BP / BS.De la similitude des triangles ADP et ASB suit que AB / AC = PO / BS = AD / BS + (BP).Cela implique que PO = BS * BP / BS + (BP).De même, à partir de la similitude des triangles MLC et DBS suit que OK = BS * BP / BS + (BP).Cela implique que PO = OK et RK = 2 * BS * BP / BS + (BP).Le segment passant par le point d'intersection des diagonales, parallèle à la base et reliant les deux côtés du point d'intersection des deux divisé.Sa longueur - est la moyenne harmonique des bases de la figure.
Considérez le trapèze de la qualité suivante, qui est appelée la propriété des quatre points.Les points d'intersection des diagonales (D), les intersections continuent côtés (E) et le fond intermédiaire (T et G) se situent toujours sur la même ligne.Ceci est facilement prouvé par similitude.Ces triangles BES et AED sont similaires, et dans chacun d'eux, et la médiane ET HERISSON divisent l'angle au sommet E à parts égales.En conséquence, le point E, T et F sont colinéaires.De même, sur la même ligne sont disposés en termes de T, O, et G. Cela découle de la similitude des triangles BOS et ADP.Par conséquent, nous concluons que les quatre points - E, T, S et F - reposeront sur une ligne droite.
Utilisation trapèzes similaires, peut être offert aux élèves de trouver la longueur du segment (LF), qui se divise en deux figure semblable.Ce segment doit être parallèle aux bases.Depuis trapèze obtenu ALFD et LBSF similaire, le BS / LF = LF / AD.Ceci implique que la LF = √ (BS * BP).Nous constatons que le segment de rupture comme un trapèze en deux, a une longueur égale à la longueur moyenne géométrique de la figure de base.
Considérez la propriété suivante de similitude.Il est basé sur le segment, qui divise le trapèze en deux morceaux de taille égale.Nous acceptons ce segment Keystone ABSD est divisé en deux comme EN.Du sommet de la chambre réduit la hauteur de ce segment est divisé en deux parties FR - B1 et B2.Nous obtenons PABSD / 2 = (BS EN +) * B1 / 2 = (AD + FR) * B2 / 2 = PABSD (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Suivant composent le système, la première équation est (BS EN +) * B1 = (AD + FR) * B2 et le second (BS EN +) * B1 = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Il en résulte que B2 / B1 = (BS EH +) / (AD + EH) et BS EN + = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1).Nous constatons que la longueur du segment, en divisant le trapèze en deux dimensions égales, égale à la longueur moyenne quadratique de la base: √ ((BS2 + w2) / 2).Conclusions
similitude
Ainsi, nous avons prouvé que:
1. Le segment de ligne joignant au milieu des côtés de trapèze, parallèle à AD et BC et est égale à la BC moyenne et AD (la longueur de la base du trapèze).
2. La ligne passant par le point d'intersection des diagonales parallèles AD et BC sera égal au nombre BP moyennes harmoniques et BS (BS 2 * * BP / BS + (BP)).
3. Couper, brisant sur le trapèze comme, a une longueur de la moyenne géométrique de la BC et AD bases.
4. L'élément qui divise la figure en deux dimensions égales, a une longueur de nombres carrés moyens des AD et BC.
Pour consolider le matériau et la compréhension des liens entre les segments de l'étudiant est nécessaire pour les construire pour un trapèze particulier.Qu'est-ce que ça veut dire?
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