donné une simple fonction de la trigonométrie = Sin (x) est dérivable en tout point de l'ensemble du domaine.Il est nécessaire de prouver que le dérivé du sinus de tout argument est le cosinus de même angle, qui est, '= cos (x).La preuve
est basée sur la définition de dérivé
Définir x (arbitraire) dans un petit voisinage d'un point du triangle x x0 particulier.Nous montrons la valeur d'une fonction en elle, et au point x pour trouver le minimum de la fonction spécifiée.Si △ x - incrément de l'argument, puis un nouvel argument - est X0 + Ax = x, la valeur de cette fonction à une valeur donnée de l'argument y (x) est Sin (x0 + Ax), la valeur d'une fonction en un point précis à (x0) est également connu.
Nous avons maintenant Δu = Sin (X0 + △ x) -Sin (X0) - a reçu la fonction d'incrémentation.
Selon la formule de sinus somme de deux angles inégaux permet de convertir la différence Δu.
Δu = Sin (X0) · Cos (△ x) + Cos (X0) · Sin (Ax) moins Sin (x0) = (Cos (Ax) -1) · Sin (X0) + Cos (X0) · Sin (△ x).
échange de termes regroupés de la première à la troisième Sin (X0), effectué un facteur commun - sine - les crochets.Nous sommes arrivés à exprimer la différence Cos (△ x) -1.Vous changez le signe de la console et entre parenthèses.Savoir ce qui est de la 1-Cos (△ x), nous faisons le changement et obtient une expression simplifiée Δu, qui est ensuite divisé par le triangle x.
Δu / △ x est de la forme: Cos (X0) · Sin (△ x) / △ x 2 · Sin2 (0,5 · △ x) · Sin (x0) / △ x.Ceci est le rapport entre la fonction d'incrémentation à l'argument des hypothèses d'augmentation.
Reste à trouver la limite des rapports obtenus par nous pendant lim △ x tend vers zéro.
connu cette limite Sin (△ x) / Ax est égal à 1, pour une condition donnée.Et l'expression 2 · Sin2 (0,5 · △ x) / △ x de la somme résultant de la transformation privé à un produit contenant comme premier facteur de limite remarquable: le numérateur de la fraction et znemenatel diviser par 2, le carré du sinus de remplacer le produit.Donc:
(Sin (0,5 · Ax) / (0,5 · Ax)) · Sin (Ax / 2).
limite de cette expression comme △ x tend vers zéro, le nombre est égal à zéro (1 multiplié par 0).Il se trouve que la limite du rapport Ay / △ x est égal à cos (x0) · 1-0, ceci est Cos (x0), une expression qui ne dépend pas de △ x, tendant vers 0. D'où la conclusion: le dérivé du sinus de tout angle x est égal à cosinus de xnous écrivons donc: '= cos (x).
Cette formule est listé dans la table des dérivés connus, où toutes les fonctions élémentaires
lors de la résolution des problèmes, où il rencontre le dérivé du sinus, vous pouvez utiliser les règles de différenciation et de formules toutes faites de la table.Par exemple, pour trouver la dérivée d'une fonction simple y = 3 · Sin (x) -15.Nous utilisons les règles de base de la différenciation, la suppression du facteur numérique pour le signe du calcul nombre constant dérivé et le dérivé (il est nul).Appliquer la valeur du tableau de la dérivée du sinus de l'angle x égale cos (x).Nous obtenons la réponse: y '= 3 · cos (x) -O.Ce dérivé, à son tour, est également une fonction élémentaire y = G · cos (x).
dérivé du sinus carré de tout argument
Lors du calcul de l'expression (Sin2 (x)), vous devez vous rappeler comment différencier une fonction complexe.Donc, Sin2 = (x) - est une fonction exponentielle comme condition sine carré.L'argument, il est également une fonction trigonométrique, un argument compliqué.Le résultat dans ce cas est le produit du premier facteur est la dérivée de la place d'une argumentation complexe, et la seconde - un dérivé du sinus.Voici la règle pour différencier une fonction d'une fonction: (u (v (x))) 'est (u (v (x)))' · (v (x)).Expression v (x) - un argument complexe (fonction interne).Si la fonction donnée est «y est égal à x sinus carré", la dérivée d'une fonction composite est y = 2 · sin (x) · cos (x).Le produit du premier facteur est doublé - dérivée d'une fonction de puissance connue, et cos (x) - dérivé du sinus de l'argument de la fonction quadratique complexe.Le résultat final peut être convertie en utilisant la formule du sinus trigonométrique de l'angle double.A: Le dérivé est Sin (2 · x).Cette formule est facile à retenir, il est souvent utilisé comme une table.
