méthode simple d'itération, aussi appelée la méthode des approximations successives - un algorithme mathématique pour trouver les valeurs des quantités inconnues par clarifier progressivement.L'essence de cette méthode est que, comme son nom l'indique, sont progressivement exprime une première approximation des suivantes, sont de plus en plus des résultats plus précis.Cette méthode est utilisée pour trouver la valeur d'une variable dans une fonction donnée, et des systèmes d'équations de résolution, à la fois linéaire et non-linéaire.
Considérez comment cette méthode est implémentée dans la solution de systèmes linéaires.Méthode de l'algorithme d'itération est simple comme suit:
1. Vérifier l'état de la convergence dans la matrice originale.Le théorème de convergence si le système de matrice initiale a une dominance diagonale (-dire, chaque rangée de les principaux éléments de la diagonale doit être de plus grande ampleur que la somme des éléments diagonaux de la côté du module), la méthode d'itération simple - convergent.
2. La matrice du système d'origine est pas toujours la dominance diagonale.Dans de tels cas, le système peut convertir.Les équations qui satisfont la condition de convergence est laissé intact, mais avec insatisfaisant faire des combinaisons linéaires, c.-à-multiplier, soustraire, ajouter les équations ensemble pour obtenir le résultat souhaité.
Si le système résultant dans les principaux coefficients diagonaux sont mal à l'aise, puis sur les deux côtés de cette équation est ajouté termes de la forme ci * xi, des signes qui doivent coïncider avec les signes des éléments diagonaux.
3. Convertir le système résultant à la vue normale:
x = β- + α * x
Cela peut être fait de plusieurs façons, par exemple: de la première équation Express x1 par d'autres inconnue x2 vtorogo- partirtretego- x3 etc.Dans le même temps, nous utilisons la formule:
αij = - (AIJ / AII)
i = bi / AII
devrait à nouveau assurer que le système de type normal correspond à la condition de convergence:
Σ (j = 1) | αij | ≤ 1,tout i = 1,2, ... n
4. commencer à utiliser, en fait, la méthode des approximations successives.
x (0) - première approximation, nous exprimer à travers x (1), suivie par x (1) x express (2).La formule générale d'une forme de matrice ressemble à ceci:
x (n) = β- + α * x (n-1)
calculer jusqu'à ce que nous atteignons la précision souhaitée:
max | xi (k) -xi (k + 1) ≤ ε
Donc, regardons la pratique de la méthode de itération simple.Exemple:
résoudre des systèmes linéaires:
4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 avec une précision ε = 10-3
Voyons, si dominé par les éléments de la diagonale du module.
nous voyons que l'état de la convergence ne satisfait que la troisième équation.La première et la deuxième se convertir à la première équation nous ajoutons la seconde:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
soustraire le premier de la troisième:
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
Nous transformé l'originalsystème équivalent:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4
donne maintenant le système au format normal:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Vérifiez la convergence du processus d'itération:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, à savoir,la condition est remplie.
0,3947
première approximation x (0) = 0,4762 0,8511
substituent pas à ces valeurs dans l'équation de la forme normale, nous obtenons les valeurs suivantes:
0,08835
x (1) = 0,486793
0, 446639
substituer de nouvelles valeurs, nous obtenons:
0,215243
x (2) = 0,405396 0,558336
continuer à calculer jusqu'au moment n'a pas encore approcher les valeurs qui répondent à des conditions déterminées.
0,18813
x (7) = 0,441091
0,544319
0,188002
x (8) = 0,44164
0,544428
vérifier l'exactitude des résultats:
45 * 0,1880 -1,7 * 0.441 + 3,5 * 0.544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0.441 + 4,7 *0,544 = 3,9977 résultats
obtenus en substituant les valeurs trouvées dans l'équation originale, de satisfaire pleinement l'équation.
Comme nous pouvons le voir, la méthode d'itération simple donne un résultat assez précis, mais pour la solution de cette équation nous avons dû passer beaucoup de temps et de faire des calculs compliqués.
