Cramer - est l'une des méthodes exactes de systèmes d'équations algébriques linéaires (Slough) résoudre.Sa précision en raison de l'utilisation des déterminants de matrices, ainsi que certaines des restrictions imposées dans la démonstration du théorème.Système
d'équations algébriques linéaires à coefficients appartenant à, par exemple, une pluralité de R - nombres réels, de x1 inconnue, x2, ..., xn est appelé l'ensemble des expressions de la forme
ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi pour i =1, 2, ..., m (1) où aij
, bi - sont des nombres réels.Chacune de ces expressions est appelée une équation linéaire, AIJ - coefficients des inconnues, bi - coefficients libres des équations.Solution
de (1) est appelé le vecteur de dimension n x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), qui, lorsqu'il est substitué dans la inconnues x1, x2, ..., xn chacune des rangées dans le système devientune véritable égalité.Système
est appelé cohérente si elle a au moins une solution, et incohérent, si l'ensemble de ses solutions coïncide avec l'ensemble vide.
Il faut se rappeler que dans le but de trouver la solution de systèmes d'équations algébriques linéaires en utilisant la règle de Cramer, matrices, les systèmes doivent être carré, ce qui signifie essentiellement le même nombre d'inconnues et équations du système.
Donc, utiliser la méthode de Cramer, vous devriez au moins savoir ce que la Matrice est un système d'équations algébriques linéaires et comment il est délivré.Et d'autre part, de comprendre ce que l'on appelle le déterminant de la matrice, et de maîtriser les compétences de son calcul.
supposer que cette connaissance que vous possédez.Merveilleux!Ensuite, vous avez juste à mémoriser les formules de détermination de la méthode de Cramer.Pour simplifier la mémorisation utiliser la notation suivante:
-
Det - le principal déterminant du système;
-
deti - est le déterminant de la matrice obtenue à partir de la matrice principale du système en remplaçant la colonne de rang i de la matrice à un vecteur de colonne dont les éléments sont les côtés droit des systèmes d'équations linéaires;
-
n - le nombre d'inconnues et équations du système.
Puis la règle de Cramer calculer la composante xi i-ème (i = 1, .. n) n dimensions vecteur x peuvent être écrites comme
xi = deti / Det, (2).
Ainsi Det strictement non nul.
solution unique quand il est assuré conjointement par l'état du principal déterminant non nul du système.Sinon, si la somme des (xi), carré, est strictement positif, alors SLAE une matrice carrée est incompatible.Cela peut se produire en particulier lorsque au moins une valeur non nulle de deti.
Exemple 1 .Pour résoudre le système tridimensionnel de Lau, en utilisant la formule de Cramer.
x1 + x2 + 2 = 31 4 x3, x1 + 5
x2 + x3 = 2 29, 3
x1 - x2 + x3 = 10.Décision
.Nous écrivons la matrice de la rangée où Ai - est la ligne i-ème de la matrice.
A1 = (1 2 4), A2 = (1, 5 2), A3 = (-1 3 1).Colonne
coefficients gratuit B = (31 29 10).
principal déterminant système Det est
Det = A11 A22 A33 A12 A23 A31 + + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1 - 20 12-12 2-10 = -27.
Pour calculer DET1 utilisation substitution A11 = b1, b2 = a21, a31 = b3.Puis
DET1 = b1 A22 A33 A12 A23 + b3 + b2 a31 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 a12 b2 = ... = -81.
même, pour calculer une permutation utilisant det2 = b1 a12, a22 = B2, B3 = A32 respectivement et, pour calculer DET3 - a13 = b1, b2 = a23, a33 = b3.
Ensuite, vous pouvez vérifier que det2 = -108, et DET3 = - 135.
Selon la règle de Cramer-nous trouver x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135/ (- 27) = 5.
Réponse: x ° = (3,4,5).
Basé sur les conditions de l'applicabilité de cette règle, la règle de Cramer pour les systèmes d'équations linéaires de résolution peut être utilisée indirectement, par exemple, pour enquêter sur le système sur le nombre possible de solutions en fonction de la valeur d'un paramètre k.
Exemple 2. Déterminer pour quelles valeurs du paramètre k l'inégalité | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | & lt; = 0 a exactement une solution.Décision
.
Cette disparité dans la définition de la fonction du module peut être réalisée que si les deux expressions sont égaux à zéro en même temps.Par conséquent, ce problème est réduit à trouver la solution d'un système linéaire des équations algébriques
kx - y = 4,
x + ky = -4.Solution
de ce système que si elle est le principal déterminant de
Det = k ^ {2} + 1 est non nul.Il est évident que cette condition est valable pour toutes les valeurs possibles du paramètre k.
Réponse: pour toutes les valeurs réelles du paramètre k.
Les objectifs de ce type peut également être réduite, de nombreux problèmes pratiques des mathématiques, de la physique ou de la chimie.
