Fourier - une représentation d'une fonction choisie arbitrairement à une période spécifique dans une rangée.En termes généraux, la décision visée à l'élément d'expansion de la base orthogonale.L'expansion des fonctions en série de Fourier est un outil très puissant pour résoudre les divers problèmes en raison des propriétés de la transformation de l'intégration, la différenciation, et déplacer les expressions d'arguments et de convolution.
personne qui ne connaît pas les mathématiques supérieures, ainsi qu'avec le travail du scientifique français Fourier ne sera probablement pas comprendre ce que les «rangs» et ce qu'ils font.Pourtant, cette transformation est assez fermement entré nos vies.Il est utilisé non seulement les mathématiques, mais aussi des physiciens, des chimistes, des médecins, des astronomes, des sismologues, océanographes et autres.Laissez-nous, et nous prenons un coup d'œil aux œuvres du grand scientifique français qui ont fait la découverte, en avance sur son temps.
homme et la transformée de Fourier
série de Fourier est l'une des méthodes (ainsi que l'analyse et autres) de la transformée de Fourier.Ce processus se produit chaque fois qu'une personne entend un son.Nos oreilles convertit automatiquement l'onde sonore.Le mouvement vibratoire des particules élémentaires dans un milieu élastique sont disposés en série (dans le spectre) niveau de volume consécutive pour les tons de différents emplacements.Ensuite, le cerveau convertit les données en sons qui nous sont familières.Tout cela vient en plus de notre volonté ou la conscience elle-même, mais dans le but de comprendre ces processus prendra plusieurs années pour étudier les mathématiques supérieures.
détails sur la transformée de Fourier transformée de Fourier
peut être effectué d'analyse, des chiffres et d'autres méthodes.séries de Fourier sont processus numérique pour décomposer des processus oscillatoires - de marées et des vagues de lumière à des cycles solaires (et d'autres objets astronomiques) activité.L'utilisation de ces techniques mathématiques peuvent démonter fonctions représentant tous les processus oscillatoires dans un certain nombre de composantes sinusoïdales qui vont du minimum au maximum et le dos.La transformée de Fourier est une fonction décrivant la phase et l'amplitude des sinusoïdes correspondant à une fréquence particulière.Ce processus peut être utilisé pour traiter les équations très complexes qui décrivent les processus dynamiques qui se produisent sous l'action de la chaleur, de la lumière ou de l'énergie électrique.En outre, la série de Fourier utilisé pour distinguer les composants DC formes d'onde complexes, permettant d'interpréter correctement les observations expérimentales en médecine, la chimie et l'astronomie.
Contexte
père fondateur de cette théorie est le mathématicien français Jean Baptiste Joseph Fourier.Son nom a ensuite été appelé cette transformation.Initialement, les chercheurs ont utilisé une technique d'étudier et d'expliquer les mécanismes de conduction de la chaleur - la propagation de la chaleur dans les solides.Fourier suppose que la distribution initiale des irrégulière vague de chaleur peut être décomposé en simple, sinusoïde, dont chacun aura sa température minimale et maximale, ainsi que sa phase.Ainsi, chaque tel composant à mesurer du minimum au maximum et vice versa.La fonction mathématique qui décrit les crêtes supérieures et inférieures de la courbe, et la phase de chaque harmonique, appelée la transformée de Fourier de l'expression de la distribution de température.L'auteur de la théorie de la fonction de distribution global réduit, ce qui est difficile à la description mathématique, dans un très facile à manipuler un certain nombre de fonctions périodiques de sinus et cosinus, donnant un total de la distribution initiale.Principe
de conversion et les points de vue des contemporains
contemporains scientifique - les grands mathématiciens du début du XIXe siècle - ne pas accepter cette théorie.La principale objection était l'approbation de Fourier que la fonction de rupture décrivant une ligne droite ou courbe est déchiré, il peut être représenté comme une somme d'expressions sinusoïdales qui sont continues.Par exemple, considérez la "étape" Heaviside: sa valeur est zéro à la gauche de l'écart et la bonne unité.Cette fonction décrit la dépendance du courant électrique à partir de la variable temporaire à la fermeture du circuit.Théorie contemporains à cette époque n'a jamais rencontré une situation similaire lors de la rupture d'expression décrit une combinaison de fonctions communes, continues, comme exponentielle, sinus, linéaire ou quadratique.
qui confond les mathématiciens français dans la théorie de Fourier?
Après tout, si un mathématicien a eu raison de ses affirmations, puis, en résumant une série de Fourier trigonométrique infinie, vous pouvez obtenir une représentation précise de l'étape d'expression, même si elle comporte de nombreuses étapes similaires.Au début du XIXe siècle, cette déclaration semblait absurde.Mais malgré tous les doutes, de nombreux mathématiciens ont élargi la portée de l'étude de ce phénomène, en le déplaçant au-delà de la recherche de la conductivité thermique.Cependant, la plupart des scientifiques ont continué à souffrir de la question: «la somme des séries sine Can converge vers la valeur exacte de la fonction discontinue"
convergence des séries de Fourier: l'exemple
question de la convergence soulevé chaque fois que nécessaire sommation d'une série infinie des nombres.Pour comprendre ce phénomène, prenons l'exemple classique.Pourriez-vous jamais atteindre le mur quand chaque étape sera la moitié de la précédente?Supposons que vous êtes deux mètres du but, le premier pas de plus vers la mi-course, la prochaine - au niveau des trois-quarts, et après la cinquième vous surmonter presque 97 pour cent de la voie.Toutefois, peu importe le nombre d'étapes que vous faites, la cible que vous atteignez dans le sens strictement mathématique.Utilisation de calculs numériques, nous pouvons prouver que à la fin peut être approché sur une distance donnée arbitrairement petit.Cela équivaut à une preuve démontrant que la valeur totale de la moitié, le quart, et ainsi de suite. E. aurez tendance à l'unité.
question de la convergence: la seconde venue, ou un périphérique Lord Kelvin
nouveau la question se pose à la fin du XIXe siècle, lorsque le Fourier a essayé d'utiliser pour prédire l'intensité des flux et reflux.A cette époque, Lord Kelvin a été inventé dispositif est un dispositif de calcul analogique qui permet aux marins de la marine marchande et militaire pour suivre ce phénomène naturel.Ce mécanisme définit un ensemble de phases et des amplitudes de la hauteur de la table des marées et les moments de temps correspondantes, soigneusement mesurée dans le port au cours de l'année.Chaque paramètre est un composant courant sinusoïdal d'expression est l'un des éléments réguliers.Les résultats des mesures sont introduites dans le dispositif de calcul Lord Kelvin, synthétiser courbe, qui prédit la hauteur d'eau en fonction du temps pour la prochaine année.Très vite, ces courbes ont été faites pour tous les ports du monde.
Et si le processus seront brisés fonction discontinue?
A l'époque il semblait évident que le dispositif prédire un raz de marée, avec beaucoup de comptes d'éléments peuvent calculer un grand nombre de phases et des amplitudes, et ainsi de fournir une prévision plus précise.Toutefois, il est avéré que ce modèle ne soit pas observé dans les cas où l'expression de marée qui sera synthétisé, contenait un saut forte, à savoir qu'il est discontinue.Dans ce cas, si les données sont entrées dans le dispositif d'une table de points de temps, il calcule quelques coefficients de Fourier.La fonction initiale est rétablie grâce à la composante sinusoïdale (conformément aux coefficients trouvés).La différence entre l'original et l'expression reconstruit peut être mesuré à tout moment.Au cours du calcul et de la comparaison répétée montre que la valeur de la plus grande erreur est réduite.Cependant, ils sont localisés dans la région correspondant au point de rupture, et d'autres points tend vers zéro.En 1899, ce résultat a été confirmé théoriquement Joshua Willard Gibbs de l'Université de Yale.
Convergence des séries de Fourier et le développement des mathématiques en général, l'analyse de Fourier
ne concerne pas les expressions contenant un nombre infini de salves à un certain intervalle.Dans la série de Fourier générale, si la fonction originale de présenter les résultats de la mesure physique réelle convergent toujours.Questions de convergence du processus pour les classes spécifiques de fonctions ont conduit à de nouvelles branches des mathématiques, comme la théorie des fonctions généralisées.Il est associé à des noms tels que L. Schwartz, J .. Mikusiński et George. Temple.Dans le cadre de cette théorie a été établie base théorique claire et précise pour des expressions telles que la fonction de Dirac (il décrit la zone unifiée de la région, concentrés dans un quartier infinitésimale du point) et «étape» Heaviside.Grâce à ce travail série de Fourier est devenu utile pour résoudre des équations et des problèmes, qui impliquent des concepts intuitifs: charge ponctuelle, le point de masse, dipôles magnétiques, et la charge concentrée sur la poutre.Procédé
série de Fourier
Fourier, en conformité avec les principes de l'interférence, commence par la décomposition des formes complexes en simple.Par exemple, un changement dans le flux de chaleur en raison de son passage à travers les différents obstacles de matériau de forme irrégulière, ou un changement de la surface de la terre isolant - un tremblement de terre, un changement dans l'orbite d'un corps céleste - l'influence des planètes.Typiquement, ces équations décrivant les systèmes classiques simples sont résolus élémentaire pour chaque vague.Fourier a montré que des solutions simples peuvent être résumées comme pour des tâches plus complexes.Dans le langage des mathématiques, la série de Fourier - une méthodologie pour la soumission de la quantité d'expression d'harmoniques - cosinus et des ondes sinusoïdales.Par conséquent, cette analyse est également connu comme «l'analyse harmonique".
série de Fourier - une méthode idéale pour «l'âge de l'ordinateur»
Avant la création de la technologie informatique technique de Fourier est la meilleure arme dans l'arsenal des scientifiques travaillant avec la nature ondulatoire de notre monde.série de Fourier sous forme de complexe vous permet de résoudre non seulement des problèmes simples qui se prêtent à l'application des lois de Newton de la mécanique directe, mais aussi les équations fondamentales.La plupart des découvertes de la science newtonienne du XIXe siècle est devenu possible que grâce à la méthode de Fourier.
séries de Fourier aujourd'hui
Avec le développement des ordinateurs Fourier ressuscité à un niveau qualitativement nouveau.Cette technique est fermement ancré dans presque tous les domaines de la science et de la technologie.A titre d'exemple, un signal audio et vidéo numérique.Sa mise en œuvre a été rendue possible que grâce à la théorie développée par le mathématicien français au début du XIXe siècle.Ainsi, la série de Fourier sous forme de complexe a permis de faire une percée dans l'étude de l'espace.En outre, il a affecté l'étude de la physique des matériaux semi-conducteurs et de plasma, l'acoustique à micro-ondes, de l'océanographie, radar, sismologie.
série de Fourier trigonométrique
En mathématiques, la série de Fourier est une façon de représenter des fonctions complexes arbitraires comme une somme de plus simple.Dans les cas ordinaires, le nombre de ces expressions peut être sans fin.Plus le nombre considéré dans le calcul, la plus précise le résultat final est obtenu.L'utilisation la plus courante de simples fonctions trigonométriques cosinus et sinus.Dans ce cas, la série de Fourier est appelé trigonométrique, et la décision de ces expressions - la décomposition harmonique.Ce procédé a un rôle important dans les mathématiques.Tout d'abord, une série trigonométrique fournit un moyen d'image et d'étudier les fonctions qu'il est l'unité principale de la théorie.En outre, elle nous permet de résoudre un certain nombre de problèmes en physique mathématique.Enfin, cette théorie a contribué au développement de l'analyse mathématique a donné lieu à un certain nombre de branches très importants des mathématiques (théorie intégrante, la théorie des fonctions périodiques).En outre, le point de départ pour le développement des théories de départ suivantes: ensembles, les fonctions d'une variable réelle, analyse fonctionnelle, et a marqué le début de l'analyse harmonique.
