Quels nombres irrationnels?Pourquoi sont-ils appelés?Si elles sont utilisées, et qui représentent?Peu de gens peuvent sans hésitation à répondre à ces questions.Mais en fait, les réponses sont assez simples, mais tous ne sont pas nécessaires, et dans des situations très rares essence et de désignation numéros
Irrational
sont infinies non récurrent décimal.La nécessité d'introduire ce concept en raison du fait que, pour relever de nouveaux défis émergents ont été insuffisantes avant concepts existants de nombres réels ou réels, entiers, naturels et rationnels.Par exemple, pour calculer la place d'une variable est 2, vous devez utiliser un non-périodiques décimales infinies.En outre, de nombreuses équations simples ont aussi pas de solution sans l'introduction de la notion de nombres irrationnels.
Cet ensemble est appelé I. Et, comme on le voit, ces valeurs ne peuvent pas être représentés comme une simple fraction, dont le numérateur est un entier, et le dénominateur - un nombre naturel.
premier de toute façon ce phénomène face mathématiciens indiens dans le VII siècle avant JC, quand il a été découvert que les racines carrées de certaines quantités ne peuvent pas être clairement identifiés.Une première preuve de l'existence de ces numéros est crédité Hippasus Pythagore qui l'a fait dans l'étude d'un triangle isocèle.Une contribution sérieuse à l'étude de cet ensemble ont apporté même certains scientifiques qui ont vécu avant le Christ.L'introduction de la notion de nombres irrationnels conduit à une révision du système mathématique existant, ce qui explique pourquoi ils sont si importants.Origine
du nom
Si le rapport en latin - est "tir", "attitude", le préfixe "ir"
donne à ce mot de sens opposé.Ainsi, le nom d'une pluralité de ces nombres indique qu'ils ne peuvent pas être mis en corrélation à un nombre entier ou fractionnaire, sont endroit distinct.Cela découle de leur essence.
place dans le classement général
Les nombres irrationnels avec rationnelle se réfère à un groupe de réel ou virtuel, qui sont à leur tour intégré.Il est un sous-ensemble, mais de distinguer les espèces algébriques et transcendantal, qui seront discutés ci-dessous.
Propriétés
Depuis nombres irrationnels - cela fait partie de l'ensemble des biens, qui sont applicables à tous leurs propriétés, qui sont étudiés en arithmétique (également appelé lois fondamentales de algébriques).
a + b = b + a (commutatif);
(a + b) + c = a + (b + c) (associativité);
0 = a + a;
a + (-a) = 0 (l'existence d'additif inverse);
ab = ba (loi commutative);
(ab) c = a (bc) (Distributivity);
un (b + c) = ab + ac (loi distributive);
hache 1 = un
hache 1 / a = 1 (l'existence de retour);
comparaison est aussi faite en conformité avec les lois et les principes généraux:
Si un & gt;b et b & gt;c, puis un & gt;c (de relation transitive) et.t. e.
cours, tous les nombres irrationnels peuvent être convertis en utilisant les opérations arithmétiques de base.Pas de règles spéciales pour cela.
En outre, les nombres irrationnels couverts par l'axiome d'Archimède.Il précise que pour toutes les deux valeurs de a et b est vrai que, en prenant une fois que suffisamment terme, il est possible de battre b.
utiliser
Malgré le fait que dans la vie réelle est pas si souvent de traiter avec eux, nombres irrationnels ne donnent pas compte.Ils sont un grand nombre, mais ils sont pratiquement invisibles.Nous sommes entourés par des nombres irrationnels.Des exemples familiers à tout le monde - le nombre pi, égale à 3.1415926 ..., ou e, est en fait une base des logarithmes naturels, 2,718281828 ... En algèbre, la trigonométrie et de la géométrie avoir à les utiliser en permanence.Par ailleurs, l'importance bien connue de la «section d'or», à savoir le rapport entre la quantité d'un inférieur, et vice versa, applique également à cet ensemble.Moins bien connu «argent» - trop.
sur le numéro de ligne, ils sont très proches, de sorte que entre deux valeurs, couverts par un ensemble de rationnel, irrationnel se produisent nécessairement.
Jusqu'à maintenant, il ya beaucoup de questions non résolues liées à cet ensemble.Il ya des critères tels que la mesure de l'irrationalité et le nombre normal.Mathématiciens continuent à enquêter sur les exemples les plus significatifs pour leur appartenance à tel ou tel groupe.Par exemple, il suppose que E -. Nombre normal, t E. La probabilité de son dossier différentes figures, les mêmes.Comme wee, vous respectez il est sous enquête.La mesure a également appelé valeur de l'irrationalité indique dans quelle mesure un nombre particulier peut être approchée par des nombres rationnels.
algébrique et
Comme déjà mentionné, les nombres irrationnels transcendantales conditionnellement divisés en algébrique et transcendantale.Classiquement, puisque, à proprement parler, cette classification est utilisé pour diviser l'ensemble C.
Sous cette appellation se cachant nombres complexes, qui comprennent l'effectif ou réel.
Donc algébrique appelé une valeur, qui est la racine du polynôme est pas identiquement nulle.Par exemple, la racine carrée de 2 va tomber dans cette catégorie, car il est une solution de l'équation x2 - 2 = 0.
Tous les autres nombres réels qui ne satisfont pas à cette condition sont appelés transcendantale.Cette espèce et sont les exemples les plus connus et déjà mentionnés - Pi et la base du logarithme naturel e.
intéressant, aucun, ni le second ont été élevés par des mathématiciens en tant que tels, leur irrationalité et de la transcendance a été prouvé par de nombreuses années après leur découverte.PI preuve a été donnée en 1882 et simplifié en 1894, qui a mis fin au débat sur le problème de la quadrature du cercle, qui a duré pendant plus de 2500 ans.Il est pas encore totalement compris, de sorte que les mathématiques moderne a du travail à faire.Par ailleurs, le premier calcul assez précise de cette valeur avait Archimède.Avant lui, tous les calculs étaient trop approximative.
pour e (le nombre d'Euler, ou Napier), preuve de sa transcendance a été trouvé en 1873.Il est utilisé dans la résolution des équations logarithmique.
Parmi d'autres exemples - les valeurs de sinus, cosinus et tangente pour toutes les valeurs algébriques non nuls.
