système mécanique qui consiste d'un point matériel (le corps), accroché sur le filament inextensible apesanteur (sa masse est négligeable par rapport au poids du corps) dans un champ gravitationnel uniforme, appelé le pendule mathématique (un autre nom - l'oscillateur).Il existe d'autres types de dispositifs.Au lieu d'un filament peut être utilisé tige en apesanteur.Pendulum peut révéler clairement l'essence de nombreux phénomènes intéressants.Au bas des fluctuations d'amplitude de son mouvement est appelé harmonique.
Comprendre le système mécanique
période de Formule d'oscillation du pendule a été élevé Huygens scientifique hollandais (1629-1695 gg.).Ce contemporain de Isaac Newton était très friands du système mécanique.En 1656, il a créé la première horloge avec un mécanisme de pendule.Ils ont mesuré le temps avec une précision extrême pour l'époque.Cette invention a été une étape importante dans le développement d'expériences physiques et des activités pratiques.
Si le pendule est dans sa position d'équilibre (suspendu verticalement), la force de gravité est équilibrée par la force de la tension du fil.Pendule plat sur un fil non étirable est un système à deux degrés de liberté avec un lien.Si vous changez un seul composant des caractéristiques de changement de toutes ses parties.Ainsi, si une chaîne est remplacé par une tige, système mécanique alors donnée est seulement un degré de liberté.Quelles étaient les propriétés de pendule mathématique?Dans ce système simple sous l'influence d'une perturbation périodique, il est le chaos.Dans le cas où le point de suspension ne bouge pas, et oscille le pendule semble à une nouvelle position d'équilibre.Si les fluctuations rapides de haut en bas le système mécanique devient position stable "à l'envers."Il dispose également de son nom.Il est appelé le Kapitza pendule.
pendule Pendule a des propriétés très intéressantes.Tout d'entre eux sont pris en charge par des lois physiques bien connues.La période d'oscillation du pendule tout autre dépend de divers facteurs tels que la taille et la forme du corps, la distance entre le point de suspension et le centre de gravité, la distribution de poids par rapport à ce point.Voilà pourquoi la définition de la période de l'organe d'accrochage est tout à fait difficile.Il est beaucoup plus facile de calculer la période d'un pendule simple, dont la formule est donnée ci-dessous.En tant que résultat d'observations de ces systèmes mécaniques peut être réglé de telles lois:
• Si, tout en conservant la même longueur du pendule, suspendu diverses charges, la période d'oscillation a reçu le même, bien que leur poids varie grandement.Par conséquent, la période d'un tel pendule est indépendante de la masse de la charge.
• Si le système commence à dévier le pendule est pas trop grand, mais sous des angles différents, il fluctue à la même période mais dans des amplitudes différentes.Tant que l'écart du centre de l'équilibre ne soit pas trop grandes fluctuations dans leur forme sont assez proche harmonique.La période du pendule ne dépend pas de l'amplitude de vibration.Cette propriété du système mécanique est appelé isochronisme (en "chronos" grecs - temps "Izosov" - égale).Période
d'un pendule simple
Ce chiffre représente une période d'oscillations naturelles.Malgré le libellé compliqué, le processus est très simple.Si la longueur du fil d'un pendule simple L, et l'accélération de la pesanteur g, alors cette valeur est:
T = 2π√L / g
petite période des oscillations naturelles en aucune façon indépendante de la masse du pendule et l'amplitude d'oscillation.Dans ce cas, le balancier se déplace comme une longueur mathématique à partir d'ici.Fluctuations
pendule mathématique
pendule oscille, qui peut être décrit par une équation différentielle simple:
x + ω2 sin x = 0,
où x (t) - fonction inconnue (ce qui est l'angle de déviation à partir de la position d'équilibre inférieuretemps t, exprimé en radians);ω - une constante positive, qui est déterminée par les paramètres de la pendule (ω = √g / L, où g - est l'accélération due à la gravité, et L -. longueur d'un pendule simple (suspension) de l'équation
des petites oscillations près de la position d'équilibre (équation harmonique) est comme suit:..
x + ω2 sin x = 0
mouvement vibratoire du pendule
Pendulum, ce qui rend de petites oscillations, se déplaçant sinusoïde L'équation différentielle du second ordre répond à toutes les exigences et les paramètres d'un tel mouvement Pour déterminer le chemin que vous devez régler la vitesse et les coordonnées,qui plus tard a déterminé les constantes indépendantes:
x = a sin (θ0 + cot),
où θ0 - la phase initiale, A - amplitude de l'oscillation, ω - fréquence angulaire, qui est déterminée à partir de l'équation du mouvement
Pendulum (la formule pour grande.amplitudes)
Ce système mécanique, font leurs vibrations avec une amplitude importante est assujettie aux lois de la circulation plus complexes.Pour une telle pendule ils sont calculés selon la formule:
sin x / 2 = u * sn (wt / u),
où sn - Jacobi sine, qui, pour u & lt;1 est une fonction périodique, et pour le petit u elle coïncide avec le sinus trigonométrique simple.Valeurs U déterminées par l'expression suivante:
u = (ε + ω2) / 2ω2,
où ε = E / ML2 (ML2 - énergie du pendule).
Détermination de la période d'oscillation du pendule non linéaire est réalisée par la formule:
T = 2π / Ω,
où Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - intégrale elliptique, π - 3,14.Mouvement
pendule sur séparatrice
appelé séparatrice trajectoire du système dynamique, dans lequel un espace de phase à deux dimensions.Pendulum se déplace sur la non-cyclique.Dans un point à l'infini dans le temps, il tombe de la position la plus haute dans la direction de vitesse nulle, puis gagner progressivement.Il a finalement arrêté, revenir à sa position initiale.
Si l'amplitude de l'oscillation du pendule se rapproche de la du nombre , ce qui suggère que le mouvement dans le plan de phase est proche de la séparatrice.Dans ce cas, sous l'influence de petit système mécanique de force d'entraînement périodique présente un comportement chaotique.
Dans le cas d'un pendule simple de la position d'équilibre avec un φ d'angle se produit gravité tangentielle Fτ = -mg péché φ.Signe "moins" signifie que la composante tangentielle est dirigée vers le côté opposé de la pendule.En désignant par x pendule déplacement le long de l'arc d'un cercle de rayon L de son déplacement angulaire est égale à & phiv = x / L.La deuxième loi de Newton, conçu pour les projections de l'accélération de vecteur et de donner la valeur souhaitée:
mg τ = Fτ = -mg sin x / L
Basé sur ce rapport, il est clair que le pendule est un système non linéaire, parce que la forcece qui tend à revenir à une position d'équilibre est pas toujours proportionnelle au déplacement de x et sin x / L.
seulement lorsque le pendule mathématique effectue petites vibrations, il est un oscillateur harmonique.En d'autres termes, il forme un ensemble mécanique capable d'effectuer des oscillations harmoniques.Cette approximation est valable pour des angles presque 15-20 °.Pendule avec de grandes amplitudes est pas harmonieux.La loi de Newton
pour les petites oscillations d'un pendule
Si le système mécanique effectue de petites oscillations, la 2ème loi de Newton ressemblera à ceci:
mg τ = Fτ = -m * g / L * x.
Sur cette base, nous pouvons conclure que l'accélération tangentielle d'un pendule simple est proportionnelle à son déplacement avec le signe "moins".Ceci est une condition selon laquelle le système devient un oscillateur harmonique.Module facteur de proportionnalité entre le déplacement et l'accélération est égale au carré de la pulsation:
ω02 = g / L;ω0 = √ g / L.
Cette formule correspond à la fréquence naturelle des petites oscillations de ce type de balancier.Sur cette base,
T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.Calculs
basé sur la loi de conservation de l'énergie
Propriétés de mouvement oscillatoire du pendule peuvent être décrits à l'aide de la loi de conservation de l'énergie.Il convient de garder à l'esprit que l'énergie potentielle du pendule dans un champ gravitationnel est égal à:
E = mgΔh = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2
énergie cinétique complet de mécanique égale ou potentiel maximum: Epmax = Ekmsx = E
Après avoir écrit la loi de conservation de l'énergie, prenant la dérivée des côtés gauche et droit de l'équation:
Ep + Ek = const
Depuis la dérivée des valeurs constantes égale à 0, alors (Ep + Ek) '= 0. Le dérivé est égale à la somme deles dérivés de somme:
Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (MV2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,
ainsi:
Mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + M a) = 0.
De la dernière formule, nous trouvons:α = - g / L * x.
application pratique de pendule mathématique
accélération due à la gravité varie selon la latitude, parce que la densité de la croûte de la Terre sur la planète est pas la même.Où le rock se produisent avec une densité plus élevée, il sera un peu plus élevé.Accélération de la pendule mathématique est souvent utilisé pour l'exploration.En cherchant l'aide d'une variété de minéraux.Il suffit de compter le nombre d'oscillations d'un pendule, peut être trouvée dans les entrailles de la terre ou de charbon de minerai.Cela est dû au fait que ces ressources ont une densité supérieure et de la masse se trouvant au-dessous des pierres en vrac.
pendule mathématique utilisé par ces chercheurs de premier plan comme Socrate, Aristote, Platon, Plutarque, Archimède.Beaucoup d'entre eux croyaient que le système mécanique peut affecter le sort et la vie de l'homme.Archimède utilisé un pendule mathématique à ses calculs.Aujourd'hui, de nombreux médiums et occultistes utilisent ce système mécanique pour la mise en œuvre de ses prophéties, ou la recherche de personnes disparues.
célèbre astronome et scientifique K. Flammarion Français pour leur recherche a également utilisé le pendule mathématique.Il a affirmé que, avec son aide, il était capable de prédire la découverte d'une nouvelle planète, l'apparition de la météorite de Tunguska, et d'autres événements importants.Pendant la Seconde Guerre mondiale en Allemagne (Berlin) est un institut spécialisé du pendule.Aujourd'hui, ce type de recherche engagé l'Institut de Munich de parapsychologie.Son travail avec le pendule le personnel de cette institution appelée "radiesteziey."
