Une des branches fondamentales de l'analyse mathématique est le calcul intégral.Il couvre le vaste domaine des objets, où le premier - Il est une intégrale indéfinie.Position comme la clé est que au lycée révèle un nombre croissant de perspectives et aux occasions, qui décrit les mathématiques supérieures.
apparition de
À première vue, il semble tout à fait partie intégrante de moderne, d'actualité, mais en pratique, il se trouve qu'il était apparu en 1800 en Colombie-Britannique.Homeland est officiellement considérée comme l'Egypte ont pas survécu plus tôt la preuve de son existence.Il en raison du manque d'information, tout en positionnée simplement comme un phénomène.Il confirme une fois de plus le niveau de développement scientifique des peuples de ces fois.Enfin il a été constaté écrits des anciens mathématiciens grecs, datant du 4ème siècle avant JC.Ils décrivent la méthode utilisée lorsque l'intégrale indéfinie, dont l'essence était de trouver le volume ou la surface de la forme incurvée (plan en trois dimensions et en deux dimensions, respectivement).Le principe de calcul basé sur la division de la figure composantes infinitésimales d'origine, à condition que le volume (région) du déjà connu.Au fil du temps, la méthode a grandi, Archimède a utilisé pour trouver la zone de la parabole.Des calculs similaires dans le même temps, et mener des exercices dans la Chine ancienne, où ils étaient complètement indépendant du compagnon de la science grecque.
développement
prochaine percée dans le XI siècle avant JC est devenue l'œuvre du savant arabe "wagon" Abou Ali al-Basri, qui ont poussé les limites du déjà connu, sont dérivées de la formule intégrale pour calculer les sommes des montants et des degrés de la première àQuatrièmement, en utilisant pour cela, nous savons que la méthode d'induction mathématique.
esprits d'aujourd'hui admirent la façon dont les anciens Egyptiens créé les monuments étonnants sans outils spéciaux, à l'exception possible de ses mains, mais n'a pas le pouvoir de les scientifiques de l'esprit de l'époque pas moins un miracle?Par rapport à l'heure actuelle de la vie semble presque primitive, mais la décision des intégrales indéfinies déduites partout et utilisés dans la pratique pour le développement ultérieur.
étape suivante a eu lieu dans le XVI siècle, quand mathématicien italien a procédé Cavalieri des indivisibles, qui a ramassé Pierre de Fermat.Ces deux personnalité a jeté les bases pour le calcul intégral moderne, qui est connu pour le moment.Ils ont attaché les concepts de différenciation et d'intégration, qui étaient auparavant perçus comme des unités autonomes.En gros, les mathématiques de cette époque a été brisée, les conclusions des particules existent par eux-mêmes, avec une portée limitée.Voie d'association et de la recherche de terrain commun était le seul vrai en ce moment, grâce à lui, l'analyse mathématique moderne eu l'occasion de grandir et se développer.
Avec le passage du temps change tout, et la notation de l'intégrale ainsi.En gros, les scientifiques ont désigné dans sa manière, par exemple, Newton a utilisé une icône carrée, qui a mis une fonction intégrable, ou tout simplement mis ensemble.Cette disparité a duré jusqu'à ce que le XVII siècle, quand un point de repère pour l'ensemble de la théorie de l'analyse mathématique scientifique Gottfried Leibniz présenté comme un symbole familier pour nous.Le «S» allongé est en fait basé sur cette lettre de l'alphabet, comme représente la somme des primitives.Le nom de l'intégrale est due à Jacob Bernoulli, après 15 ans.
définition formelle de l'intégrale indéfinie dépend de la définition de la primitive, si nous la considérons en premier lieu.
La primitive - il est la fonction inverse du dérivé, dans la pratique, elle est appelée primitive.En d'autres termes: la fonction primitive de D - est une fonction D, le dérivé est égale à v & lt; = & gt;V '= v.Rechercher la primitive est, le calcul de l'intégrale indéfinie, et le processus est appelé intégration.
Exemple: (l'y) de
fonction= Y3, et ses primitives S (y) = (Y4 / 4).
ensemble de toutes les primitives de la fonction - ce qui est une intégrale indéfinie, il est indiqué comme suit: ∫V (x) dx.
Parce que le V (x) - Voici quelques-unes de la fonction primitive originale, nous avons une expression: ∫V (x) dx = V (x) + C, où C - constante.Sous la constante arbitraire désigne toute constante, depuis sa dérivée est nulle.Propriétés
Propriétés
qui ont une intégrale indéfinie, basés sur les définitions et propriétés des dérivés.
considère que les points clés:
- intégrale, dérivée de la primitive est lui-même primitive, plus une constante arbitraire C & lt; = & gt;∫V '(x) dx = V (x) + C;
- dérivé de l'intégrale de la fonction est la fonction d'origine & lt; = & gt;(∫V (x) dx) '= v (x);
- constante est retiré du signe de l'intégrale & lt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, où k - est arbitraire;
- intégrante, qui est prise à partir de la somme des identiquement égale à la somme des intégrales de & lt; = & gt;∫ (v (y) + w (y)) = ∫V dy (y) dy + ∫w (y) dy.
Les deux dernières propriétés peuvent être conclus que l'intégrale indéfinie est linéaire.Pour cette raison, on a: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) = dy k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.
Pour consolider compte des exemples de solutions intégrales indéfinies.
nécessaire de trouver le ∫ intégrante (3sinx + 4cosx) dx:
- ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C
De l'exemple, nous pouvons conclure que vous ne savez pas comment faire face à intégrales indéfinies?Il suffit de trouver toutes les primitives!Mais la recherche des principes discutés ci-dessous.Méthodes et exemples
afin de résoudre l'intégrale, vous pouvez recourir aux méthodes suivantes: table
- prêt à utiliser;
- intégrer par parties;
- intégré en remplaçant la variable;Règlement
- sous le signe de la différence.Tables
façon
plus facile et agréable.À l'heure actuelle, l'analyse mathématique peut se vanter assez vastes tableaux, qui définissait les formules de base de intégrales indéfinies.En d'autres termes, il existe des modèles dérivés de vous et vous ne pouvez profiter d'eux.Voici une liste des postes de table de base, qui peut afficher presque tous les cas, avoir une solution:
- ∫0dy = C, où C - constante;
- ∫dy = y + C, où C - constante;
- ∫yndy = (yn + 1) / (n + 1) + C, où C - une constante, et n - est différent du nombre d'unités;
- ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, où C - constante;
- ∫eydy = ey + C, où C - constante;
- ∫kydy = (ky / ln k) + C, où C - constante;
- ∫cosydy = siny + C, où C - constante;
- ∫sinydy = -cosy + C, où C - constante;
- ∫dy / cos2y = tgy + C, où C - constante;
- ∫dy / sin2y = -ctgy + C, où C - constante;
- ∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, où C - constante;
- ∫chydy = + c timide, où C - constante;
- ∫shydy = chy + C, où C - constante.
Si vous voulez faire une couple de marches conduisent à intégrer à un affichage tabulaire et profiter de la victoire.Exemple: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C
Selon la décision, il est clair que pour la tableExemple intégrand manque multiplicateur 5. Nous ajoutons en parallèle avec cette multiplier par 1/5 à l'expression générale n'a pas changé.
intégration par parties
Considérons deux fonctions - z (y) et x (Y).Ils doivent être continûment différentiable sur son domaine.Comme l'une des propriétés de différenciation avoir: d (XZ) + = xdz ZDX.L'intégration des deux côtés, nous obtenons: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + zdx) = & gt;zx = ∫zdx + ∫xdz.
Réécrire l'équation résultante, nous obtenons une formule qui décrit la méthode d'intégration par parties: ∫zdx = zx - ∫xdz.
Pourquoi est-il nécessaire?Le fait que quelques exemples peuvent simplifier, relativement parlant, pour réduire ∫xdz ∫zdx, si celui-ci est proche d'une forme de tableaux.De plus, cette formule peut être utilisée plus d'une fois, pour des résultats optimaux.
Comment résoudre intégrales indéfinies de cette façon:
- nécessaire de calculer ∫ (s + 1) e2sds
∫ (x + 1) e2sds = {z = s + 1, DZ = ds, y = 1 / 2e2s, dy= e2xds} = ((S + 1) E2S) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((s + 1) E2S) / 2-E2S / 4 + C;
- doit calculer ∫lnsds ∫lnsds
= {z = LNS, dz = ds / s, y = s, = dy ds} = - SLN ∫s x ds / s = SLNS - ∫ds = SLN -s+ c = s (LNS-1) + C
variable de remplacement
Cette décision de principe intégrales indéfinies de la demande pas moins que les deux précédents, bien que compliquée.La méthode est la suivante: Soit V (x) - l'intégrale d'une fonction V (x).Dans le cas où elle-même partie intégrante de l'exemple de captures, est susceptible de devenir confus et aller à de mauvaises solutions.Pour éviter ce pratiquée transition de la variable x à z, dans laquelle une expression générale simplifiée tout en maintenant visuellement z en fonction de x.
En langage mathématique est la suivante: ∫V (x) dx = ∫V (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (1-y (x)), où x =y (z) - substitution.Et, bien entendu, la fonction inverse z = y-1 (x) décrit en détail la relation et la relation entre les variables.Important - dx différentiel nécessairement remplacée par la nouvelle dz différentiel, depuis le changement de variable dans l'intégrale indéfinie consiste à remplacer partout, pas seulement dans l'intégrale.
Exemple:
- besoin de trouver ∫ (s + 1) / (s2 + 2s - 5) ds
appliquent la substitution z = (s + 1) / (s2 + 2s-5).Puis 2sds = dz = 2 + 2 (s + 1) DS & lt; = & gt;(s + 1) = ds dz / 2.En conséquence, l'expression suivante, qui est très facile à calculer:
∫ (s + 1) / (s2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2LN | z | + C = 1 / 2LN| s2 + 2s-5 | + C;
- besoin de trouver ∫2sesdx intégrante
Pour répondre à réécrire l'expression sous la forme suivante:
∫2sesds = ∫ (2e) SDS.
désignent un = 2e (en remplacement de l'argument de cette étape est pas, il est encore s), donner notre apparemment complexe, partie intégrante de la forme d'un tableau de base:
∫ (2e) SDS = ∫asds = AS / LNA+ C = (2e) s / ln (2e) + C = 2ses / ln (2 + LNE) + C = 2ses / (LN2 + 1) + C
Wrap sous le signe de la différence
En gros, cette méthodeintégrales indéfinies - frère jumeau du principe de le changement de variable, mais il existe des différences dans le processus d'enregistrement.Considérez détail.
Si ∫V (x) dx = V (x) + C et y = z (x), puis ∫V (y) dy = V (y) + C
Nous ne devrions pas oublier les transformations intégrales triviales, entreoù:
- dx = d (x + a), et dans lequel - chaque constante;
- dx = (1 / a) d (ax + b), où un - constante à nouveau, mais pas zéro;
- xdx = 1 / 2D (x2 + b);
- sinxdx = -d (cosx);
- cosxdx = d (sin).
Si nous considérons le cas général où nous calculons l'intégrale indéfinie, des exemples peut être amené sous la formule générale w '(x) = dx dw (x).Exemples
:
- doivent trouver ∫ (2s + 3) 2DS, ds = 1 / 2D (2s + 3)
∫ (2s + 3) 2DS = 1 / 2∫ (2s + 3) 2d (2s+ 3) = (1/2) x ((2S + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) + C 2;
∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / coss = -ln | coss | + C
aide en ligne
Dans certains cas, la faute qui peut être ou la paresse, ou un besoin urgent, vous pouvez utiliserconseils en ligne, ou plutôt d'utiliser une calculatrice intégrales indéfinies.Malgré l'apparente complexité et la nature controversée des intégrales, leur décision est soumise à un certain algorithme, qui est construit sur le principe de "si vous ne le faites pas ... alors ...".
bien sûr, des exemples très complexes de cette calculatrice ne pourra pas maîtriser, comme il ya des cas dans lesquels une décision doit trouver une artificiellement "forcé" en introduisant certains éléments dans le processus, car le résultat est pas de manière évidente à réaliser.Malgré la nature controversée de cette déclaration, il est vrai, comme les mathématiques, en principe, une science abstraite, et son objectif principal considère la nécessité d'élargir les limites de possibilités.En effet, pour une bonne marche dans les théories est très difficile de se déplacer et évoluer, il ne faut pas supposer que des exemples de la solution des intégrales indéfinies, qui nous a donné - ce est la hauteur d'options.Mais revenons à l'aspect technique des choses.Au moins pour vérifier les calculs, vous pouvez utiliser le service dans lequel il a été énoncée pour nous.Si il existe un besoin pour le calcul automatique des expressions complexes, ils ne doivent pas recourir à un logiciel plus grave.Il est nécessaire de prêter attention principalement sur l'environnement MATLAB.Décision
application
intégrales indéfinies semble à première vue complètement déconnectée de la réalité, car il est difficile de voir l'utilisation évidente de l'avion.En effet, leur utilisation partout directement impossible, cependant, ils sont considérés comme élément intermédiaire nécessaire dans le processus de retrait des solutions utilisées dans la pratique.Donc, retour à l'intégration de la différenciation, donc de participer activement dans le processus de résolution d'équations.
À leur tour, ces équations ont un impact direct sur la décision d'un problème mécanique, le calcul des trajectoires et la conductivité thermique - en bref, tout ce qui constitue le présent et façonner l'avenir.Les exemples intégrale indéfinie, dont nous avons examinés ci-dessus, simplement anodin au premier abord, comme une base pour mener à bien de plus en plus de nouvelles découvertes.
