egyszerű iterációs módszer, más néven a módszerrel az egymást követő közelítés - egy matematikai algoritmus megtalálása az értékek az ismeretlen mennyiségek fokozatos tisztázza.A módszer lényege az, hogy, ahogy a neve is mutatja, fokozatosan kifejező közelítő értékét a következőket pedig, egyre kifinomultabb eredményeket.Ezt a módszert alkalmazzák, hogy megtalálják a változó értékét egy adott funkciót, és oldja egyenletrendszerek, mind a lineáris és nem lineáris.
Fontolja meg, hogy ezt az eszközt a megoldást a lineáris rendszerek.Módszere egyszerű iterációs algoritmus a következő:
1. Ellenőrizze a konvergencia az eredeti mátrixban.A tétel konvergencia, ha a kezdeti mátrix rendszer egy átlós dominanciája (azaz minden sorban a fő átlós elemek nagyobbnak kell lennie nagyságrendű, mint az összege diagonális elemei az oldalán helyezkedik el), a módszer egyszerű iteráció - konvergens.
2. A mátrix az eredeti rendszer nem mindig a diagonális dominancia.Ilyen esetekben, a rendszer képes átalakítani.Az egyenletek, amelyek megfelelnek a konvergencia feltétele érintetlen marad, de nem kielégítő, hogy a lineáris kombinációja, azazszaporodnak, kivonni, összeadni az egyenleteket együtt, hogy a kívánt eredményt.
Ha a kapott rendszer a főátlójában együtthatók kényelmetlen, majd mindkét oldalát ennek az egyenletnek adunk szempontjából formájában ci * xi, jelek, amelyek egybe kell esnie a jelei a diagonális elemeket.
3. Alakítsa át a kapott rendszer a normál nézethez:
x- = β- + α * X
Ezt meg lehet tenni sokféleképpen, például: az első egyenletből Express x1 más ismeretlen re vtorogo- x2-retretego- X3 stbUgyanakkor az általunk használt képlet:
αij = - (aij / Ali)
i = bi / Ali
kell újra, hogy a rendszer a szokásos típusú megfelel a konvergencia feltétele:
Σ (j = 1) | αij | ≤ 1,míg i = 1,2, ... n
4. Kezdje használni, sőt, az eljárás egymást követő közelítés.
x (0) - első megközelítésben kifejezzük az X (1), majd x (1) kifejezett x (2).Az általános képlet egy mátrix formában néz ki:
x (n) = β- + α * x (n-1)
számítani, amíg el nem érjük a kívánt pontosságot:
max | xi (k) -xi (k + 1) ≤ ε
Szóval, nézzük meg a gyakorlatban a módszer egyszerű iteráció.Példa:
megoldani lineáris rendszerek:
4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 pontossággal ε = 10-3
Lássuk, hogy uralja a diagonális elemei a modul.
Látjuk, hogy a konvergencia-feltételt kielégíti csak a harmadik egyenlet.Az első és a második átalakítani az első egyenlet mi adjuk hozzá a második:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
vonjuk az első, a harmadik:
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
átalakítottuk az eredetirendszer egyenértékű:
7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4
Most hogy a rendszer normál formában:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Ellenőrizze a konvergencia az iterációs folyamat:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, azaz,A feltétel teljesül.
0,3947
első megközelítésben x (0) = 0,4762
0,8511
Helyettesítsük ezeket az értékeket az egyenletbe a szokásos formáját, akkor a következő értékeket:
0,08835
x (1) = 0,486793
0, 446.639
helyettesítse új értékeket kapunk:
0,215243
x (2) = 0,405396 0,558336
továbbra is számítani addig a pillanatig még nem jött közel az értékeket, amelyek megfelelnek a meghatározott feltételeknek.
0,18813
x (7) = 0,441091
0,544319
0,188002
x (8) = 0,44164
0,544428
helyességének ellenőrzését az eredményeket:
45 * 0,1880 -1,7 * 0.441 + 3,5 * 0.544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0.441 + 4,7 *0544 = 3,9977
eredményeket kapjuk, a kapott értékeket az eredeti egyenlet, teljes mértékben kielégítik az egyenletet.
Mint látható, a módszer egyszerű iteráció ad meglehetősen pontos eredményt, de a megoldás az egyenlet kellett tölteni egy csomó időt, és nem nehézkes számítások.
