A térben sík lehet definiálni különböző módon (egy ponttal és egy vektort és a vektort a két pont, három pont, stb).Ez ebben a sík egyenletét lehet különféle.Továbbá, bizonyos feltételek mellett a gépen lehet párhuzamos, merőleges, metsző, stbEzen és beszélni ebben a cikkben.Megtanuljuk, hogy az általános egyenlete a gépet, és nem csak.
Normál egyenlet
Tegyük fel, van egy hely R3, amely egy derékszögű koordináta-rendszert XYZ.Definiáljuk a vektor α, ami kell szabadítani a kezdeti pont A. Keresztül a végén a vektor α felhívni a P sík, amely merőleges rá.
Legyen P egy tetszőleges pont Q = (x, y, z).A rádiuszvektorhoz a Q pont alá a levelet p.A hossza a vektor α egyenlő p = IαI és ʋ = (cosa, cosβ, cosγ).
Ez egy egység vektor, amely arra irányul, hogy az oldalsó, valamint a vektor α.α, β, és γ - az a szög között képződött a vektor ʋ és pozitív irányban a tengely a tér x, y, z, ill.A vetülete egy pontot a vektor ʋ QεP egy állandó, amely egyenlő a p (p, ʋ) = P (r≥0).
A fenti egyenlet van értelme, ha p = 0.Az egyetlen P sík ebben az esetben metszik D pont (α = 0), amely az eredete, és az egység vektor ʋ, felszabaduló az O pont lesz merőleges a P, annak ellenére, hogy az irányba, ami azt jelenti, hogy a vektor ʋ meghatározvaakár aláírására.Előző egyenlet gépünk II-ben kifejezett vektoros formában.De a koordinátákat a maga nemében, hogy így legyen:
P nagyobb vagy egyenlő 0. Találtunk az egyenlet a sík a térben, a szokásos módon.
általános egyenlete
Ha az egyenlet a koordinátákat szorozzuk bármilyen szám, amely nem egyenlő nullával, megkapjuk az egyenlet egyenértékűek ezen, amely meghatározza a nagyon sík.Ez lesz a nézet:
Itt az A, B, C - az a szám, ugyanabban az időben eltér a nullától.Ez az egyenlet a továbbiakban a sík egyenlete az általános formában.
a sík egyenletét.A speciális esetek
egyenlet általános formája lehet módosítani további feltételek.Vegyünk néhány közülük.
feltételezzük, hogy az együttható Egy egyenlő 0. Ez azt jelenti, hogy a sík párhuzamos egy adott tengely Ox.Ebben az esetben módosítsa a formája az egyenlet: Vu + Cz + D = 0.
hasonló formában az egyenlet fog változni, és a következő feltételek mellett:
- Először is, amikor a B = 0, akkor az egyenlet változtatásokat ax + Cz + D = 0, amely azt jelezné, párhuzamos az Y-tengely.
- Másodszor, ha a C = 0, az egyenlet átalakul ax + by + D = 0, lesz beszélni párhuzamos az előre meghatározott tengellyel oz.
- Harmadszor, ha D = 0, az egyenlet nézne Ax + By + Cz = 0, ami azt jelentené, hogy a sík metszi O (eredete).
- Negyedszer, ha a = b = 0, akkor az egyenlet változtatásokat Cz + D = 0, amely bizonyítja párhuzamos Oxy.
- Ötödször, ha B = C = 0, az egyenlet válik Ax + D = 0, ami azt jelenti, hogy a sík párhuzamos Oyz.
- hatodik, ha A = C = 0, az egyenlet formájában Vu + D = 0, akkor nem lesz párhuzamos a jelentés Oxz.
típusú egyenletek szakaszain
Abban az esetben, ahol a szám az A, B, C, D nullától eltérő, a forma egyenlet (0) a következők lehetnek:
x / a + Y / B + Z / a= 1,
képletben A = -D / A, B = -D / B, C = -D / C.
Get eredményeként a sík egyenletét darabokban.Meg kell jegyezni, hogy ez a sík metszi a tengelyt Ox koordinátákra (a, 0,0), Dy - (0, b, 0) és az Oz - (0,0, s).
Tekintettel az egyenlet x / a + Y / B + z / c = 1, könnyen, hogy szemléltesse a elhelyezését a sík képest egy adott koordinátarendszerben.
koordinálja a normál vektor
normálvektor n a P sík a koordinátái, amelyek az együtthatók az általános egyenlete a gépet, azaz n (A, B, C).
Annak érdekében, hogy meghatározzuk a koordinátákat a normális N, elég ahhoz, hogy tudja az általános egyenlet egy adott sík.
használatakor egyenletek szegmens, amely a forma x / a + Y / B + z / c = 1, mint amikor a általános egyenlet felírható koordinátáit bármely szokásos vektor egy adott sík: (1 / a + 1 / b +1 / s).
érdemes megjegyezni, hogy a normál vektor segít megoldani különböző problémákat.A leggyakoribb probléma, azt bizonyítja, merőleges vagy párhuzamos sík, a feladat megtalálni a szögek között a repülőgépek vagy a szögek között síkok és vonalak.
nézet síkjával egyenlet szerint pont koordinátáit és a normál vektor
nulla vektor n, merőleges egy adott gépet, az úgynevezett rendes (normál) egy adott síkra.
feltételezik, hogy a koordinátarendszerben (derékszögű koordinátarendszerben) Oxyz megkérdezte:
- Mₒ pont koordinátáit (hₒ, uₒ, zₒ);
- nulla vektor n = A * i + j + B C * * k.
szükség ahhoz, hogy az egyenlet a sík, amely áthalad a ponton merőleges a normál Mₒ n.A tér
választhat tetszőleges ponton, és hagyta, hogy az M (x y, z).Legyen a sugár vektor bármely M pont (x, y, z) R = x * i + y * j + Z * k, és a sugár vektor a pont Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ* j + zₒ * k.Az M pont tartozik, egy adott síkban, ha a vektor merőleges a vektor MₒM n.Írunk a ortogonalitási állapotban útján skalárszorzat:
[MₒM, n] = 0.
Mivel MₒM = r-rₒ, vektor a sík egyenletét így fog kinézni:
[r - rₒ, n] = 0.
Ez az egyenlet különböző alakja.Erre a célra, a tulajdonságait a skalár termék, és átalakult a bal oldalon az egyenlet.[r - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n].Ha [rₒ, n] jelöli, s kapjuk a következő egyenletet: [r, n] - c = 0 vagy [r, n] = s, amely kifejezi az összhang a előrejelzéseket az normálvektora a sugár-vektorok az adott pontok tartozó gépen.
Most lehet kapni a fajta felvételi koordinálja a gépünk vektor egyenlet [r - rₒ, n] = 0. Mivel r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * kés n = A * i + j + B C * * k, van:
kiderül, alakul a mi a sík egyenletét ponton áthaladó merőleges a normál n:
A * (x hₒ) + B *(uₒ y) S * (Z-zₒ) = 0.
típusa sík egyenlet szerinti koordinátáit két pontot és egy vektor kollineáris sík
Adjuk két pontot M '(X', Y ', Z') és az M '(x ", y", Z "), valamint a vektor egy(A ', A "és ‴).
Most egyenlővé egy adott síkban, amely kerül sor keresztül a meglévő pontokat M 'és M ", valamint bármely M pont a koordináták (x, y, z) párhuzamos egy adott vektor.
Ez mélt'sága vektorok {x, x ', Y, Y'; ZZ '} és M "M = {x" -x', Y 'Y', Z "-Z '} legyen egy síkbanvektor: A = (A ', A ", egy ‴), és hogy eszközöket (mélt'sága, M' M, a) = 0.
Szóval mi egyenlet egy sík térben nézne ki:
típusú egyenlet metsző síkban három pontot
Tegyük fel, hogy három pontot (x ', y', z '), (x', y"z"), (x ‴ Have ‴, Z '), amelyek nem tartoznak azonos vonalon.Meg kell írni az egyenletet az áthaladó sík megadott három pontot.Az elmélet a geometria azt állítja, hogy ez a fajta sík létezik, ez csak egyetlen.Mivel ez a sík metszi a pont (X ', Y', Z '), a formát annak egyenlet a következő:
Itt az A, B, és C-tól eltérő időben.Is adott sík metszi a két pont (X ', Y', Z ') és (X ‴ Saját ‴, Z').Ebben az összefüggésben kell elvégezni ezt a fajta feltételek:
Most mi is létrehozhatunk egy egységes rendszert egyenletek (lineáris) az ismeretlent u, v, w:
A mi esetünkben, x, y, vagy z tűnik tetszőleges pontot, amely kielégíti(1) egyenlet.Figyelembe véve, egyenlet (1) és egy egyenletrendszer (2) és (3), a rendszer a egyenletek az ábrán látható a fenti, a vektor kielégíti N (A, B, C), ami nem triviális.Ennek oka, hogy a meghatározó a rendszer nulla.
(1) egyenlet, amelynek megvan ez az egyenlet a gépet.Miután 3 pont ő tényleg megy, és ez könnyen ellenőrizhető.Ahhoz, hogy ezt elérjük, lebomlanak a meghatározója az elemek található, az első sorban.A meglévő tulajdonságait meghatározó ez azt jelenti, hogy a mi sík ugyanakkor három kereszt kezdetben adott pontok (X ', Y', Z '), (X', Y ', Z'), (x ‴ Saját ‴, Z ').Ezért úgy döntöttünk, hogy elénk.
lapszög a síkok közötti
lapszög egy térbeli geometriai forma, amelyet két fél repülőgépek érkeznek ugyanazon a vonalon.Más szóval, ez a része a tér, amely arra korlátozódik, hogy a fél-síkban.
Tegyük fel, hogy két sík a következő egyenleteket:
Tudjuk, hogy a vektorok N = (A, B, C) és u. = (A', H¹, S¹) a beállított merőleges síkban.Ebben a tekintetben, a szög φ közötti vektorok N és N'egyenlő szög (diéderes) található, amely ezek között a síkok.Skalárszorzat adja meg:
NN¹ = | N || u. | cos φ,
pontosan azért, mert
cosφ = NN¹ / | N || u. | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (a² + V²s² +)) * (√ (A') ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).
elég, hogy fontolja meg, hogy 0≤φ≤π.
valójában két sík, amelyek keresztezik, hogy két szög (diéderes): φ1 és φ2.Az összeg megegyezik a π (φ1 + φ2 = π).Ami a koszinuszok, az abszolút értékeket egyenlő, de ezek a különböző jelek, hogy van, cos φ1 = -cos φ2.Ha az egyenletben (0) helyébe az A, B és C -A, -B és -C rendre az egyenlet, megkapjuk, meg fogja határozni az azonos síkban, csak a szög φ egyenletben cos φ = NN1 / | N|| N1 | váltja π-φ.
egyenlet síkjára merőleges merőleges
nevezett síkban, amelyek között a szög 90 fok.A bemutatott anyag fölött, találunk egyenlete merőleges a másik.Tegyük fel, hogy két sík: Ax + By + Cz + D = 0 és A¹h + + S¹z V¹u + D = 0.Azt mondhatjuk, hogy ők merőleges ha cosφ = 0.Ez azt jelenti, hogy AA¹ NN¹ = + + VV¹ SS¹ = 0.
egyenlet párhuzamos síkon
Párhuzamos nevezett két sík, amelyek nem tartalmazzák a közös pontokat.
állapotban párhuzamos síkban (az egyenletek ugyanazok, mint az előző bekezdésben), hogy a vektorok N és N', amelyek a rájuk merőleges, kollineáris.Ez azt jelenti, hogy a következő feltételek arányosság:
A / A'= V / H¹ = C / S¹.
Ha a feltételek az arányosság kiterjesztik - A / A'= V / H¹ = C / S¹ = DD¹,
ez azt jelzi, hogy az adatok síkja azonos.Ez azt jelenti, hogy az egyenlet Ax + By + Cz + D = 0 és + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 leírni egy gépet.
távolság a síkban attól a ponttól
Tegyük fel, hogy van egy P síkban, amely egyenlet adja (0).Meg kell találni a távolság a pont koordinátáit (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ.Ehhez meg kell, hogy az egyenlet a P sík a szokásos formáját:
(ρ, v) = p (r≥0).
Ebben az esetben, ρ (x, y, z) a sugár vektor a mi Q pont, található az N, P - a merőleges távolság a P, amely már leszerelt a nulla pont, V - az az egység vektor található, amely abba az irányba, egy.
különbség ρ-ρº sugara vektor egy pont Q = (x, y, z), tulajdonában lévő P és a sugár vektor egy adott pont Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) egy ilyen vektor, az abszolút értékakinek előrejelzései v egyenlő a d távolság, ami szükséges, hogy megtalálják Q0 = (hₒ, uₒ, zₒ) P:
D = | (ρ-ρ0, v) |, de
(ρ-ρ0, v) = (ρ, v) - (ρ0, v) = p (ρ0, v).
Kiderül,
d = | (ρ0, v) p |.
ma már a távolság kiszámításához d Q0 a P sík, ki kell használni a szokásos formáját az egyenlet sík, a váltás a bal oldalon a folyó, és az utolsó hely, x, y, z helyettesítő (hₒ, uₒ, zₒ).
Így megtaláljuk az abszolút értéke a kapott kifejezés, hogy kérik d.
A nyelvi beállításokat, megkapjuk a nyilvánvaló:
d = | + Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (a² + V² + s²).
Ha egy adott pont Q0 van a másik oldalon a P sík, mint a származás között, a vektor ρ-ρ0 és v jelentése tompaszög, így:
d = - (ρ-ρ0, v) = (ρ0, v) -p & gt; 0.
Abban az esetben, amikor a pont Q0 valamint származási található ugyanazon oldalán az U, a generált szög hegyesszög, azaz:
D = (ρ-ρ0, v) = P - (ρ0, v) & gt;0.
Az eredmény az, hogy az első esetben (ρ0, v) & gt; p, a második (ρ0, v) & lt; p.
érintő sík és annak egyenlet
Ami a sík a felszínre az érintkezési pont Mº - egy sík, amely tartalmaz minden lehetséges érintő a görbe át húzott, hogy pont a felületen.
Az ilyen típusú felület egyenlete F (x, y, z) = 0 egyenletet az érintő sík az érintési pont Mº (hº, uº, zº) a következőképpen néz ki:
Fx (hº, uº, zº) (x hº)+ Fx (hº, uº, zº) (uº y) + Fx (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.
Ha határozza meg kifejezetten a felszíni z = f (x, y), az érintő sík által leírt képlet:
z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y- uº).
metszéspontja két sík
háromdimenziós tér egy koordináta-rendszer (négyszögletes) Oxyz, adott két sík a P 'és P ", amelyek átfedik egymást, és nem ugyanaz.Mivel bármely sík, ami egy derékszögű koordináta-rendszer által meghatározott általános egyenlet, azt feltételezzük, hogy n 'és n "által adott egyenletek A'x + + V'u S'z + D' = 0 és A" x + b "y +A "D + z" = 0.Ebben az esetben normális N '(A', B ', C') a sík P ', és a szokásos N' (A ', B', C ') a P sík ".Ahogy a sík nem párhuzamos és nem esnek egybe, ezek a vektorok nem kollineáris.A matematika nyelvén, itt van ez a feltétel a következőképpen írható fel: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * A ", λ * C"), λεR.Legyen az egyenes vonal, amely abban rejlik, a kereszteződésekben a P 'és P ", majd jelöljük a levelet egy, ebben az esetben egy = N' ∩ P".
egy - ez egy közvetlen, amely egy sor pont (általános) síkok P 'és P ".Ez azt jelenti, hogy a bármely pont koordinátáit sorába tartozó és egyszerre kell felelniük az egyenlet A'x + + V'u S'z + D '= 0 és A "x + B" y + C "Z + D" = 0.Ezután a pont koordinátáit lesz egy adott oldat a következő egyenletek:
Az eredmény az, hogy a döntés (Általános) az egyenletrendszer fogja meghatározni a koordinátáit minden egyes pont a vonal, amelyet a metszéspont a P 'és P ", és hogy meghatározza a közvetlen éskoordináta-rendszerben Oxyz (téglalap alakú) teret.
