egyik alapvető ága a matematikai analízis az integrálszámítás.Ez magában foglalja a széles területen tárgyak, ahol az első - ez egy határozatlan integrál.Helyezzük el a legfontosabb az, hogy a gimiben kiderül egyre több kilátásokat és lehetőségeket, amely leírja a magasabb matematika.
megjelenése
Első pillantásra úgy tűnik, teljesen integrált a modern, helyi, de a gyakorlatban kiderül, hogy ő megjelent ie 1800.Homeland hivatalosan tekinthető Egyiptomban nem maradt fenn a korábbi létezését alátámasztó bizonyíték.Ez miatt az információ hiánya, miközben elhelyezni egyszerűen egy jelenség.Ez ismét megerősíti a szintű tudományos fejlődés a népek akkoriban.Végül azt találtuk, írásai az ókori görög matematikus, nyúlik az ie 4. században.Leírják az alkalmazott módszer, amikor a határozatlan integrál, amelynek lényege az volt, hogy a hangerőt vagy területe ívelt forma (háromdimenziós és kétdimenziós síkon, sorrendben).Az elv alapján történő számítás részlege az eredeti figura végtelenül alkatrészek, feltéve, hogy a kötet (területe) már ismert.Idővel a módszer nőtt, Archimedes használta, hogy megtalálják a területet a parabola.Hasonló számítások ugyanakkor, és magatartása gyakorlatok az ősi Kínában, ahol voltak teljesen független a görög fickó tudomány.
Fejlesztési
következő áttörés a XI században vált a munka az arab tudós "kocsi" Abu Ali al-Basri, aki eltolta a határokat a már ismert, származik a beépített képlet kiszámításához az összegeket az összegek és fokban az első,Negyedszer, hogy erre mi ismerjük a módszer teljes indukció.
fejében a mai csodálni, milyen az ókori egyiptomiak létre a csodálatos műemlékek mindenféle speciális eszköz nélkül, kivéve talán a kezét, de nem az elme ereje tudósok az idő nem kevesebb csoda?Összehasonlítva a jelenleg az élet úgy tűnik, szinte primitív, de a döntés a határozatlan integrál levezethető mindenhol, amit a gyakorlatban a további fejlődéshez.
következő lépés történt a XVI században, amikor olasz matematikus hozta Cavalieri módszer indivisibles, amely felvette Pierre de Fermat.Ez a két személyiség alapkövét a modern integrálszámítás, amelyről ismert, ebben a pillanatban.Elkapták a fogalmak a differenciálás és az integráció, amelyeket korábban érzékelt autonóm egységek.Nagyjából, a matematika akkori már összetört, a következtetéseket a részecskék léteznek önmagukban, korlátozott körét.Út az egyesülési és a közös alapot kereső volt az egyetlen igaz abban a pillanatban, hála neki, a modern matematikai analízis volt lehetősége, hogy növekedni és fejlődni.
Az idő múlásával mindent megváltoztat, és a jelölést az integrál is.Nagyjából, a tudósok kijelölő maga módján, például Newton használt négyzet ikont, amely véget integrálható függvény, vagy egyszerűen össze.Ez a különbség egészen a XVII században, amikor a mérföldkő az egész elmélet matematikai analízis tudós Gottfried Leibniz be, mint egy szimbólum ismerős számunkra.A hosszúkás "S" valójában alapul, hogy betűvel, mint jelent az összege primitívek.A név a szerves volt köszönhető, hogy Jacob Bernoulli, 15 év után.
hivatalos meghatározása határozatlan integrál függ a meghatározása a primitív, ezért úgy vélik, hogy az első helyen.
A primitív - ez az inverz függvényt a származtatott, a gyakorlatban ez az úgynevezett primitív.Más szóval: a primitív függvénye d - egy olyan funkció, D, a származékos egyenlő v & lt; = & gt;V '= v.Keresés a primitív, a számítás a határozatlan integrál, és a folyamatot nevezzük integráció.
Példa:
funkció s (y) = y3, és annak primitív S (y) = (Y4 / 4).
meg az összes primitív függvény - ez egy határozatlan integrál, akkor a következők szerint alakul: ∫v (x) dx.
Mivel a V (x) - Ezek közül néhány az eredeti primitív függvény, van egy kifejezés: ∫v (x) dx = V (x) + C, ahol C - állandó.Az önkényes állandó: minden olyan állandó, hiszen a derivált nulla.
Ingatlan
tulajdonságok A határozatlan integrál alapján a meghatározásokat és tulajdonságait származékok.
Fontolja legfontosabb pontok:
- szerves származékát primitív maga primitív, plusz egy tetszőleges konstans C & lt; = & gt;∫V '(x) dx = V (x) + C;
- származéka integrálja a funkció az eredeti funkció & lt; = & gt;(∫v (x) dx) '= V (x);
- állandó eltávolítjuk a szerves jel & lt; = & gt;∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, ahol k - önkényes;
- szerves, amelyet vett összege azonos az összegével egyenlő a integráljainak & lt; = & gt;∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.
Az utolsó két tulajdonság lehet következtetni, hogy a határozatlan integrál lineáris.Ennek köszönhetően, van: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.
megszilárdítása példa-megoldások határozatlan integrál.
kell találni az ∫ (3sinx + 4cosx) dx:
- ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx -3cosx + C
A példa arra lehet következtetni, hogy nem tudod, hogyan kell kezelni a határozatlan integrál?Csak megtalálja a primitívek!De a keresést alábbiakban tárgyalt elvek.
módszerek és példák
Annak érdekében, hogy megoldja a szerves, akkor igénybe a következő módszerek:
- asztal használatra kész;
- integrálja a részek;
- integrált helyett a változó;
- település jegyében a differencia.
asztalok
legegyszerűbb és kellemes módja.Abban a pillanatban, a matematikai analízis büszkélkedhet meglehetősen kiterjedt táblázatokat, amely pontosan meghatározta az alapvető képleteket határozatlan integrál.Más szóval, vannak minták származnak, és Ön csak kihasználják őket.Itt van egy lista a alaptáblázatot pozíciók, amely képes megjeleníteni szinte minden esetben, miután egy megoldás:
- ∫0dy = C, ahol C - állandó;
- ∫dy = y + C, ahol C - állandó;
- ∫yndy = (YN + 1) / (n + 1) + C, ahol C - állandó, és az n - eltér az egységek száma;
- ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, ahol C - állandó;
- ∫eydy = ey + C, ahol C - állandó;
- ∫kydy = (KY / ln k) + C, ahol C - állandó;
- ∫cosydy = siny + C, ahol C - állandó;
- ∫sinydy = Hangulatos + C, ahol C - állandó;
- ∫dy / cos2y = TGY + C, ahol C - állandó;
- ∫dy / sin2y = -ctgy + C, ahol C - állandó;
- ∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, ahol C - állandó;
- ∫chydy = félénk + C, ahol C - állandó;
- ∫shydy = chy + C, ahol C - állandó.
Ha azt szeretnénk, hogy egy pár lépcső vezet integrandus egy táblázatos nézetet, és élvezze a győzelmet.Példa: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C
A határozat szerint egyértelmű, hogy a táblaPéldául integrandus hiányzik szorzó 5. adjuk hozzá, ezzel párhuzamosan szorozza 1/5 általános arckifejezése nem változott.
integrálás
Vegyünk két funkció - z (y) és x (y).Úgy kell folytonosan differenciálható a saját domain.Mint az egyik ingatlan a differenciálás van: d (XZ) + = Xdz ZDX.Integráló mindkét oldalon, megkapjuk: ∫d (XZ) = ∫ (Xdz + ZDX) = & gt;ZX = ∫zdx + ∫xdz.
átírása a kapott egyenletet, megkapjuk a képlet, amely leírja a módszert integrálás: ∫zdx = ZX - ∫xdz.
Miért van erre szükség?Az a tény, hogy néhány példát egyszerűsítheti, viszonylag szerény, hogy csökkentse ∫zdx ∫xdz, ha az utóbbi közel egy táblázatos formában.Továbbá, ez a képlet használható többször, az optimális eredmény érdekében.
Hogyan lehet megoldani határozatlan integrálok így:
- kiszámításához szükséges ∫ (s + 1) e2sds
∫ (x + 1) e2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e2s, dy= e2xds} = ((k + 1) E2S) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((k + 1) E2S) / 2-E2S / 4 + C;
- kell számítani ∫lnsds
∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = SLN - ∫s x DS / s = SLN - ∫ds = SLN -s+ C = s (LNS-1) + C
cseréje változó
Ez az elv határozatával határozatlan integrál a kereslet nem kevesebb, mint az előző kettő, mégis bonyolult.A módszer a következő: Legyen V (x) - a beépített néhány függvény v (x).Abban az esetben, önmagában szerves fogások slozhnosochinenny például valószínűleg összezavarodnak, és megy a rossz megoldások.Ennek elkerülése érdekében a gyakorlott átmenet változó X-Z, amelyben egy általános kifejezés vizuálisan egyszerűsített miközben Z függően x.
matematika nyelvén a következő: ∫v (x) dx = ∫v (y (Z)) y '(Z) dz = V (z) = V (y-1 (x)), ahol x =y (z) - cserét.És persze, az inverz függvény z = y-1 (x) teljesen leírja a kapcsolatot, és a kapcsolat a változók.Fontos - eltérés dx feltétlenül helyére az új eltérés dz, váltás óta változó a határozatlan integrál magába helyette mindenhol, nem csak a integrandust.
Példa:
- kell találni ∫ (s + 1) / (S2 + 2s - 5) ds
alkalmazni a helyettesítés z = (s + 1) / (S2 + 2s-5).Aztán 2sds = dz = 2 + 2 (s + 1) ds & lt; = & gt;(k + 1) ds = dz / 2.Ennek eredményeként, a következő kifejezést, ami nagyon könnyen kiszámítható:
∫ (s + 1) / (S2 + 2s-5) DS = ∫ (DZ / 2) / z = 1 / 2ln | Z | + C = 1 / 2ln| s2 + 2s-5 | + C;
- kell találni szerves ∫2sesdx
foglalkozzanak átírni a kifejezést az alábbi formában:
∫2sesds = ∫ (2e) SDS.
jelölnek = 2e (felváltva az érv ez a lépés nem, még mindig ok), hogy mi a látszólag bonyolult, szerves része az alap táblázatos formában:
∫ (2e) SDS = ∫asds = a / LNA+ C = (2e) s / ln (2E) + C = 2ses / ln (2 + LNE) + C = 2ses / (ln2 + 1) + C
Wrap jegyében a differenciálmű
Nagyjából ez a módszerhatározatlan integrál - ikertestvére elvének a változás a változó, de vannak különbségek a folyamat a regisztráció.Fontolja meg részletesen.
Ha ∫v (x) dx = V (x) + C és y = z (x), akkor ∫v (y) dy = V (y) + C
Nem szabad elfelejteni a triviális szerves átalakítások közöttahol:
- dx = d (x + a), és ahol - egyes állandó;
- dx = (1 / a), d (ax + b), ahol egy - állandó újra, de nem nulla;
- xdx = 1 / 2D (x2 + b);
- sinxdx = -d (cosx);
- cosxdx = d (sinx).
Ha figyelembe vesszük az általános esetben, amikor kiszámítja a határozatlan integrál, példákat lehet hozni az általános képlet w '(x) dx = DW (x).
Példák:
- kell találni ∫ (2s + 3) 2DS, ds = 1 / 2d (2s + 3)
∫ (2s + 3) 2DS = 1 / 2∫ (2s + 3) 2d (2S+ 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;
∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / Coss = -ln | Coss | + C
Online segítség
Egyes esetekben a hiba, amely lehet, vagy lustaság, vagy sürgős szükség, akkor aOnline tippeket, vagy inkább, hogy egy számológépet határozatlan integrál.Annak ellenére, hogy a látszólagos összetettsége és ellentmondásos jellege integrálok, hogy a döntés a bizonyos algoritmus, ami épül elve ", ha nem ... akkor ...".
természetesen nagyon bonyolult példa erre a kalkulátor nem mester, hiszen olyan esetek, amikor egy döntést, hogy megtalálják a mesterségesen "kénytelen" bevezetésével bizonyos elemei a folyamat, mert az eredmény nem egyértelmű módon lehet elérni.Annak ellenére, hogy az ellentmondásos jellegét ez az állítás igaz, mint a matematika, elvileg egy elvont tudomány, és elsődleges célja úgy véli, hogy bővíteni kell a határokat a lehetőségeket.Sőt, a sima futás az elméletek nagyon nehéz, hogy ki és fejlődnek, ezért ne hidd, hogy példát a megoldás a határozatlan integrál, amely adott nekünk - ez a magasság a lehetőségek.De térjünk vissza a technikai oldala a dolgoknak.Legalábbis, hogy ellenőrizze a számításokat, akkor használja a szolgáltatást, amelyben kifejtették, hogy számunkra.Ha szükség van az automatikus kiszámításához komplex kifejezések, akkor azok nem kell igénybe egy komolyabb szoftver.Meg kell figyelni, elsősorban a környezetre MatLab.
Application
határozat határozatlan integrál első pillantásra úgy tűnik, teljesen elvált a valóságtól, mert nehéz látni a nyilvánvaló használatát a gépet.Valóban, azok használatát bárhol közvetlenül lehetetlen, azonban szükségesnek tekintik közbenső elemet a folyamat visszavonása megoldások a gyakorlatban használt.Szóval, vissza az integráció a differenciálás, ezáltal aktívan részt vesz a folyamatban egyenletek megoldására.
Viszont ezek egyenletek közvetlen hatással a döntés egy műszaki probléma, a számítás pályáira és hővezető - egyszóval mindent, ami jelenti a jelen és a jövő formálásában.A határozatlan integrál, amelyek példái már úgy fentiek csupán triviális első pillantásra, mint a bázis, hogy többet és többet az új felfedezések.
