-Line - adalah kasus khusus dari segiempat yang memiliki sepasang sisi sejajar adalah.Istilah "Keystone" berasal dari kata τράπεζα Yunani, yang berarti "meja", "meja".Pada artikel ini kita mempertimbangkan jenis trapeze dan sifat-sifatnya.Juga, kita melihat bagaimana menghitung elemen individual dari sosok geometris.Sebagai contoh, diagonal trapesium sama sisi, garis tengah, daerah, dan lain-lain. Materi yang disajikan dalam gaya geometri dasar populer, t. E. Dalam bentuk yang mudah diakses.
Umum
Pertama, mari kita memahami apa yang segi empat tersebut.Angka ini adalah kasus khusus dari poligon yang memiliki empat sisi dan empat simpul.Dua simpul dari segi empat yang tidak berdekatan disebut berlawanan.Hal yang sama dapat dikatakan dari kedua belah pihak non-berdekatan.Jenis utama dari quadrangles - genjang, persegi panjang, berlian, persegi, trapesium dan deltoid.
Jadi kembali ke tali itu.Seperti yang telah kami katakan, angka ini dua sisi sejajar.Mereka disebut basa.Dua lainnya (non-paralel) - sisi.Bahan dari berbagai ujian dan pemeriksaan sangat sering Anda dapat menemukan tugas yang berhubungan dengan trapesium yang solusinya sering membutuhkan pengetahuan siswa, tidak disediakan oleh program.Kursus geometri sekolah memperkenalkan siswa untuk sifat-sifat sudut dan diagonal, dan garis tengah trapesium sama kaki.Tapi selain itu disebut sosok geometris memiliki fitur lain.Tapi tentang mereka nanti ... Jenis
trapeze
Ada banyak jenis angka ini.Namun, sebagian besar setuju untuk mempertimbangkan dua dari mereka - sama kaki dan persegi panjang.
1. Rectangular Trapesium - sosok yang memiliki salah satu sisi tegak lurus ke dasar.Dia memiliki dua sudut yang selalu sama dengan sembilan puluh derajat.
2. sama kaki trapesium - sosok geometris yang sisi adalah sama.Dan itu berarti, dan sudut di pasangan basa juga sama.
prinsip utama metodologi untuk mempelajari sifat-sifat trapesium
dengan prinsip-prinsip dasar meliputi penggunaan disebut pendekatan tugas.Bahkan, tidak ada kebutuhan untuk masuk ke dalam Geometri saja teoritis sifat baru dari angka ini.Mereka dapat terbuka atau dalam proses merumuskan berbagai tugas (sistem yang lebih baik).Hal ini sangat penting bahwa guru tahu apa tugas yang Anda butuhkan untuk diletakkan di depan siswa di saat tertentu dari proses pendidikan.Selanjutnya, setiap trapeze properti dapat direpresentasikan sebagai tugas utama dalam tugas.
Prinsip kedua adalah yang disebut organisasi spiral dari studi "luar biasa" trapeze properti.Ini berarti kembali ke proses belajar setiap fitur dari sosok geometris.Dengan demikian, lebih mudah bagi siswa untuk menghafal mereka.Misalnya, empat poin fitur.Hal ini dapat dibuktikan seperti dalam studi kesamaan, dan kemudian menggunakan vektor.Dan segitiga sama berdekatan dengan sisi gambar, adalah mungkin untuk membuktikan, menggunakan tidak hanya sifat-sifat segitiga dengan ketinggian yang sama, dilakukan untuk sisi, yang terletak pada garis lurus, tetapi juga dengan rumus S = 1/2 (ab * sinα).Selain itu, adalah mungkin untuk bekerja di luar hukum sinus tertulis pada trapeze atau segitiga siku-siku yang dijelaskan pada trapeze, dan penggunaan D.
dari "ekstrakurikuler" seterusnya fitur sosok geometris dalam isi kursus sekolah -. Tasking adalah teknologi pengajaran mereka.Referensi konstan untuk mempelajari sifat dari bagian yang lain memungkinkan siswa dalam belajar trapeze dan memastikan keberhasilan tugas.Jadi, kita lanjutkan untuk mempelajari sosok yang luar biasa ini.Elemen
dan sifat trapesium sama kaki
Seperti yang kita ketahui, di angka geometris ini sisi yang sama.Namun dikenal sebagai trapesium yang tepat.Dan apa yang dia begitu luar biasa dan mengapa mendapat namanya?Fitur khusus dari angka ini adalah bahwa ia tidak hanya sama sisi dan sudut di pangkalan, tetapi juga secara diagonal.Selain itu, sudut trapesium sama kaki adalah sama dengan 360 derajat.Tapi itu tidak semua!Dari semua trapesium sama kaki hanya sekitar lingkaran dapat dijelaskan.Hal ini disebabkan fakta bahwa jumlah sudut yang berlawanan pada gambar adalah 180 derajat, tetapi hanya di bawah kondisi tersebut dapat dijelaskan oleh lingkaran di sekitar quad.Berikut sifat-sifat geometris angka dianggap bahwa jarak dari puncak dasar berlawanan dengan proyeksi titik pada garis lurus yang berisi dasar ini akan sama dengan garis tengah.
Sekarang mari kita lihat bagaimana menemukan sudut-sudut trapesium sama kaki.Pertimbangkan kasus solusi untuk masalah ini dengan ketentuan bahwa dimensi dikenal dari sisi gambar.Keputusan
biasanya persegi panjang dilambangkan dengan huruf A, B, C, D, di mana SM dan AD - yayasan.Sisi trapesium sama kaki adalah sama.Kami berasumsi bahwa X sama dengan ukuran mereka, dan ukuran dasar adalah Y, dan Z (, kecil dan besar masing-masing).Untuk perhitungan sudut kebutuhan untuk menghabiskan di H. tinggi Hasilnya adalah siku-siku segitiga ABN, di mana AB - miring, dan BN dan AN - kaki yang.Kami menghitung ukuran AN kaki: Dengan alasan kurang untuk mengambil dan membagi hasilnya dengan 2. Kami menulis sebagai rumus: (ZY) / 2 = F. Sekarang, untuk perhitungan sudut akut segitiga kita menggunakan cos fungsi.Kami mendapatkan entri berikut: cos (β) = X / F.Sekarang kita menghitung sudut: β = arcos (X / F).Selanjutnya, mengetahui salah satu sudut, kita dapat menentukan kedua, untuk pembuatan operasi aritmatika dasar: 180 - β.Semua sudut didefinisikan.
Ada solusi kedua untuk masalah ini.Pada awalnya kita menghilangkan dari sudut untuk menghitung nilai ketinggian H. kaki BN.Kita tahu bahwa kuadrat dari sisi miring dari segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kaki.Dapatkan: BN = √ (X2 F2).Berikutnya, kita menggunakan fungsi tg trigonometri.Hasilnya adalah: β = arctg (BN / F).Sudut akut yang ditemukan.Berikutnya, kita mendefinisikan sebuah sudut tumpul mirip dengan metode pertama.
Diagonal milik trapesium sama kaki
menulis pertama empat aturan.Jika diagonal dalam sama kaki trapesium tegak lurus, maka:
- ketinggian sosok itu adalah jumlah dari basis, dibagi dua;
- tinggi dan garis tengah adalah sama;
- daerah trapesium sama dengan kuadrat tinggi (garis tengah, setengah jumlah dari basa);
- diagonal persegi adalah setengah jumlah dari persegi dasar atau dua kali kuadrat dari garis tengah (tinggi).
Sekarang perhatikan rumus menentukan diagonal trapesium sama sisi.Ini bagian dari informasi dapat dibagi menjadi empat bagian:
panjang 1. Formula diagonal nya.
menerima bahwa A - dasar yang lebih rendah, B - C atas - sama sisi, D - diagonal.Dalam hal ini, panjang dapat ditentukan sebagai berikut:
D = √ (C 2 + A * B).
2. Formula panjang diagonal kosinus.
menerima bahwa A - dasar yang lebih rendah, B - C atas - sama sisi, D - diagonal, α (di dasar lebih rendah) dan β (basis atas) - sudut trapesium.Kami mendapatkan rumus berikut, dengan mana Anda dapat menghitung panjang diagonal:
- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);
- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);
- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).
3. panjang Formula dari diagonal dari trapesium sama kaki.
menerima bahwa A - dasar yang lebih rendah, B - atas, D - diagonal, M - garis tengah, H - tinggi, P - daerah trapesium, α dan β - sudut antara diagonal.Menentukan panjang rumus berikut:
- D = √ (M2 + H2);
- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);
- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M + H / sinα).
Adhoc kesetaraan: sinα = sinβ.
4. Formula diagonal panjang dan tinggi bagian.
menerima bahwa A - dasar yang lebih rendah, B - C atas - sisi, D - diagonal, H - tinggi, α - sudut dasar yang lebih rendah.
Tentukan panjang rumus berikut:
- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);
- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);
- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C 2 H) 2).Elemen
dan sifat trapesium persegi panjang
Mari kita lihat apa ini bentuk geometris yang menarik.Seperti yang telah kami katakan, kami memiliki trapesium persegi panjang dua sudut kanan.
Selain definisi klasik, ada orang lain.Sebagai contoh, sebuah trapezium persegi panjang - trapesium, satu sisi yang tegak lurus terhadap substrat.Atau bentuk memiliki pada sudut sisi.Dalam jenis ini tinggi trapesium adalah sisi yang tegak lurus terhadap basis.Garis tengah - segmen yang menghubungkan titik-titik tengah dari kedua belah pihak.Properti dari elemen dikatakan adalah bahwa itu adalah sejajar dengan basis, dan sama dengan setengah dari jumlah mereka.
Sekarang mari kita mempertimbangkan formula dasar yang menentukan bentuk geometris.Untuk melakukan hal ini kita mengasumsikan bahwa A dan B - dasar;C (tegak lurus ke dasar) dan D - bagian dari trapesium persegi panjang, M - garis tengah, α - sudut akut, P - daerah.
1. Sisi, tegak lurus ke dasar, angka sama dengan tinggi (C = N), dan sama dengan panjang sisi kedua A dan sinus dari α sudut di dasar lebih tinggi (C = A * sinα).Selain itu, sama dengan produk dari tangen dari α sudut lancip dan perbedaan basis: C = (A-B) * tgα.
2. sisi D (tidak tegak lurus ke dasar) adalah sama dengan perbedaan antara swasta dan B dan cosinus (α) sudut akut atau tinggi angka pribadi H dan sinus sudut akut: A = (A-B) / cos α = C / sinα.
3. Sisi yang tegak lurus ke dasar sama dengan akar kuadrat dari perbedaan antara persegi D - sisi kedua - dan persegi perbedaan antara dasar:
C = √ (q2 (AB 2)).
4. Pihak A trapesium persegi panjang adalah sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat sisi C, dan perbedaan antara dasar persegi bentuk geometris: D = √ (C2 + (A-B) 2).
5. sisi C adalah sama dengan hasil bagi dari jumlah ganda daerah pekarangan: C = P / M = 2n / (A + B).
6. Lokasi yang didefinisikan oleh M produk (garis tengah dari trapesium persegi panjang) dengan tinggi atau samping, tegak lurus ke dasar: P = M = M * N * C.
7. Partai C adalah sama dengan hasil bagi dari dua kali luas dari sosok dalam karya sudut akut sinus dan jumlah basis nya: C = P / M * sinα = 2n / ((A + B) * sinα).
8. Formula sisi trapesium persegi panjang di diagonal dan sudut antara mereka:
- sinα = sinβ;
- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,
mana D1 dan D2 - trapesium diagonal;α dan β - sudut antara mereka.
9. Formula sisi melalui sudut di dasar bawah dan pihak-pihak lain: D = (A-B) / cosα = C / N = sinα / sinα.
Karena trapesium dengan sudut yang tepat adalah kasus khusus trapesium, rumus lain menentukan angka-angka ini akan bertemu dan persegi panjang.
Properti tertulis lingkaran
Jika kondisi ini mengatakan bahwa dalam lingkaran trapesium persegi panjang tertulis, Anda dapat menggunakan properti berikut:
- jumlah dari basis adalah jumlah dari sisi;
- jarak dari atas bentuk persegi panjang dengan titik kontak dari lingkaran tertulis selalu sama;
- sama dengan tinggi dari sisi trapesium, tegak lurus ke dasar, dan sama dengan diameter lingkaran;
- pusat lingkaran adalah titik di mana berpotongan bisectors dari sudut;
- jika sisi dibagi menjadi segmen titik kontak H dan M, maka jari-jari lingkaran adalah sama dengan akar kuadrat dari produk segmen ini;
- segi empat, yang membentuk titik kontak, puncak dari trapesium dan pusat lingkaran tertulis - persegi yang timnya sama dengan jari-jari;
- daerah angka tersebut sama dengan produk dari secara setengah-sum dan alasan pada puncaknya.
trapeze Mirip
Topik ini sangat berguna untuk mempelajari sifat-sifat geometris angka.Misalnya, diagonal dibagi menjadi empat trapeze segitiga, dan berdekatan dengan basis yang sama, dan untuk sisi - oleh yang sama.Pernyataan ini dapat disebut properti dari segitiga, yang rusak trapeze diagonalnya.Bagian pertama dari pernyataan ini dibuktikan dengan indikasi kesamaan dalam dua sudut.Untuk membuktikan bagian kedua lebih baik menggunakan metode di bawah ini.
Bukti
menerima bahwa angka ABSD (AD dan BC - dasar trapesium) adalah diagonal rusak HP dan AC.Titik persimpangan - O. Kami mendapatkan empat segitiga: AOC - di dasar lebih rendah, BOS - di dasar atas, ABO dan SOD di sisi.Segitiga SOD dan biofeedback memiliki ketinggian umum dalam kasus itu, jika segmen CD dan OD adalah basis mereka.Kami menemukan bahwa perbedaan di daerah mereka (P) adalah sama dengan perbedaan antara segmen ini: PBOS / PSOD = BO / ML = K. Oleh karena itu PSOD PBOS = / K.Demikian pula, segitiga AOB dan biofeedback memiliki ketinggian yang sama.Kami menerima segmen basis mereka SB dan OA.Dapatkan PBOS / PAOB = CO / OA = K dan PAOB PBOS = / K.Oleh karena itu PSOD = PAOB.
Untuk mengkonsolidasikan bahan dianjurkan bagi siswa untuk menemukan hubungan antara daerah segitiga yang diperoleh, yang merupakan trapeze rusak diagonalnya, memutuskan tugas berikutnya.Hal ini diketahui bahwa segitiga BOS dan ADP daerah yang sama, perlu untuk menemukan daerah trapesium.Sejak PSOD = PAOB, maka PABSD PBOS + = pAOD 2 * PSOD.Dari kesamaan segitiga BOS dan ADP berikut yang CP / OD = √ (PBOS / pAOD).Akibatnya, PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / pAOD).Dapatkan PSOD = √ (* PBOS pAOD).Kemudian PABSD PBOS + = pAOD 2 * √ (pAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.
Properti kesamaan
terus mengembangkan tema ini, Anda dapat membuktikan fitur menarik lainnya dari trapesium.Jadi, dengan menggunakan kesamaan dapat membuktikan bagian properti yang melewati titik yang dibentuk oleh perpotongan diagonal dari sosok geometris ini, sejajar dengan dasar.Untuk melakukan hal ini akan memecahkan masalah berikut: Anda perlu menemukan panjang segmen RK, yang melewati titik O. Dari kesamaan segitiga ADP dan biofeedback berikut yang AO / OS = BP / BS.Dari kesamaan segitiga ADP dan ASB berikut yang AB / AC = PO / BS = AD / (BS + BP).Ini berarti bahwa PO = BS * BP / (BS + BP).Demikian pula, dari kesamaan segitiga MLC dan DBS berikut yang OK = BS * BP / (BS + BP).Ini berarti bahwa PO = OK dan RC = 2 * BS * BP / (BS + BP).Segmen melewati titik persimpangan diagonal, sejajar dengan dasar dan menghubungkan dua sisi dari titik dibagi dari persimpangan dua.Panjangnya - adalah mean harmonik satu dasar dari gambar.
Pertimbangkan kualitas trapesium berikut, yang disebut milik empat poin.Titik-titik persimpangan diagonal (D), persimpangan terus sisi (E) dan basis tengah (T dan G) selalu terletak pada garis yang sama.Hal ini mudah dibuktikan dengan kesamaan.Segitiga ini BES dan AED serupa, dan di masing-masing, dan median ET landak membagi sudut apex E di bagian yang sama.Oleh karena itu, titik E, T, dan F adalah collinear.Demikian pula, pada baris yang sama diatur dalam hal T, D dan G. Ini mengikuti dari kesamaan segitiga BOS dan ADP.Oleh karena itu, kami menyimpulkan bahwa semua empat poin - E, T, G dan H - berbaring di garis lurus.
Menggunakan trapesium sama, dapat ditawarkan kepada siswa untuk menemukan panjang segmen (LF), yang membagi menjadi dua sosok yang sama.Segmen ini harus sejajar dengan basis.Sejak diperoleh trapeze ALFD dan LBSF serupa, BS / LF = LF / AD.Ini berarti bahwa LF = √ (BS * BP).Kami menemukan bahwa segmen melanggar seperti trapesium menjadi dua, memiliki panjang sama dengan panjang rata-rata geometris dari angka dasar.
Pertimbangkan properti berikut kesamaan.Hal ini didasarkan pada segmen, yang membagi trapesium menjadi dua bagian sama besar.Kami menerima bahwa segmen Keystone ABSD EN dibagi menjadi dua seperti.Dari puncak B menurunkan ketinggian segmen yang terbagi menjadi dua bagian EN - B1 dan B2.Kami memperoleh PABSD / 2 = (BS EN +) * B1 / 2 = (Ag + EN) * B2 / 2 dan PABSD = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Selanjutnya kita menyusun sistem, yang merupakan persamaan pertama (BS EN +) * B1 = (Ag + EN) * B2 dan yang kedua (BS EN +) * B1 = (BS + BP) * (B1 + B2) / 2.Oleh karena itu B2 / B1 = (BS EH +) / (AD + EH) dan BS EN + = ((BP + BS) / 2) * (1 + B2 / B1).Kami menemukan bahwa panjang segmen, membagi trapesium menjadi dua ukuran yang sama, sama dengan panjang kuadrat rata-rata dasar: √ ((BS2 + w2) / 2).
Kesimpulan kemiripan
demikian, kami telah membuktikan bahwa:
1. segmen yang menghubungkan tengah trapesium di sisi, sejajar dengan AD dan BC dan sama dengan SM rata-rata dan AD (panjang dasar trapesium).
2. Garis melewati titik persimpangan diagonal paralel AD dan BC akan sama dengan rata-rata angka BP harmonik dan BS (2 * BS * BP / (BS + BP)).
3. Cut, memecah di trapeze sejenisnya, memiliki panjang rata-rata geometris dari basis SM dan AD.
4. Unsur yang membagi gambar menjadi dua ukuran yang sama, memiliki panjang nomor persegi rata-rata AD dan BC.
Untuk mengkonsolidasikan materi dan pemahaman hubungan antara segmen siswa perlu untuk membangun mereka untuk trapeze tertentu.Apa artinya ini?
